Сравнение двух методов профилирования контуров сверхзвуковых частей сопл, реализующих равномерный поток Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XII

19 8 1

№ 4

УДК 533.6.011.5

СРАВНЕНИЕ ДВУХ МЕТОДОВ ПРОФИЛИРОВАНИЯ КОНТУРОВ СВЕРХЗВУКОВЫХ ЧАСТЕЙ СОПЛ, РЕАЛИЗУЮЩИХ РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК

А. Н. Крайко, В. В. Шеломовский

Сравниваются результаты применения двух методов профилирования контуров сверхзвуковых частей сопл: традиционного („прямого”) и „обратного". В прямом методе при заданной дозвуковой части сопла сверхзвуковая часть определяется из условия минимума ее длины. При отсутствии ограничений на кривизну образующей это дает сверхзвуковую часть с изломом в минимальном сечении. Обратный метод опирается на решение задачи Коши, в которой задается распределение скорости газа на оси, а за образующую сопла берется одна из линий тока найденного течения. Выяснялось влияние на форму и длину наикратчайших сопл ограничения на кривизну образующей и неравномерности потока в минимальном сечении.

1. Прежде чем приступить к сравнению результатов профилирования сопл прямым и обратным методами, остановимся на некоторых особенностях постановки задач при том и другом подходах. В первом случае профилируется только сверхзвуковая часть, а дозвуковая задается или выбирается из некоторого фиксированного семейства. Форма дозвуковой части определяется при этом соображениями простоты и имеющимися экспериментальными и расчетными данными. Поэтому требуемые образующие удобнее всего составлять из отрезков прямых и дуг окружностей. После этого расчет до- и трансзвукового течения, необходимый для начала профилирования сверхзвуковой части, может быть выполнен в процессе решения так называемой „прямой* задачи (см. [1] и цитированную там литературу). Хотя, на первый взгляд, профилирование только сверхзвуковой части представляется недостатком, его вряд ли можно признать серьезным. Во-первых, свобода в выборе образующих дозвуковой части в приближении идеального газа сильно ограничена из-за возможных отрывов пограничного слоя в областях возрастания давления. Во-вторых, с ростом числа М на выходе из сопла вклад более

или менее разумно выбранной дозвуковой части в общую длину сопла быстро уменьшается, становясь незначительным уже при умеренных сверхзвуковых скоростях. Наконец, нетрудно сообразить, что для чисел М, не слишком близких к единице, сверхзвуковая часть сопла, построенного из условия минимума полной длины, должна быть оптимальна (в смысле длины) и сама по себе, и поэтому метод ее профилирования не зависит от того, считается ли дозвуковая часть заданной или профилируется в процессе решения полной задачи. Влияние формы дозвуковой части при этом проявляется лишь через поля параметров вблизи минимального сечения и, как будет показано ниже, незначительно.

К достоинствам обратного метода принято относить, во-первых, однородность численного алгоритма и, во-вторых, возможность строить сразу все сопло, а не только его сверхзвуковую часть. И то, и другое, однако, не может служить достаточно веским доводом для замены прямого метода профилирования обратным, поскольку окончательная оценка должна вестись по свойствам профилируемого объекта, которые, как будет показано ниже, при использовании обратного подхода оказываются отнюдь не наилучшими. Дело в том, что характерной особенностью конфигураций, обеспечивающих получение равномерного сверхзвукового потока при минимальных габаритах сопла, является наличие точек излома или участков максимально допустимой кривизны. Если даже оставить в стороне трудности реализации численных алгоритмов решения обратной задачи вблизи точек излома, то и тогда для построения указанных течений необходимо знать распределения параметров вдоль оси сопла на так называемом разгонном участке. Последние же, в свою" очередь, можно найти, лишь решив предварительно прямую задачу. Отнюдь не оптимальными оказываются и сужающиеся части профилируемых обратным методом сопл, что, конечно, не служит препятствием для их возможного использования, в том числе и в прямой задаче построения сверхзвуковых частей. Что касается неоднородности алгоритма решения прямой задачи, то она обусловлена не какими-то недостатками метода (решение ведется по классической схеме метода характеристик), а особенностями самой задачи.

, ^Сверхзвуковую часть минимальной длины, течение в которой содержит такие структурно отличные „элементы11, как разгонный и выравнивающий участки, просто невозможно построить при помощи полностью однородного алгоритма. Наконец, сам „инструмент решения — метод характеристик не только схватывает все особенности сверхзвукового течения (например, почти автоматически выделяет характеристики, являющиеся линиями разрыва про-; изводных от параметров потока), но, что весьма важно, применительно к задаче профилирования не встречает каких-либо серьезных трудностей для своей реализации.

2. Начиная сравнения, укажем, что для плоских симметричных и осесимметричных сопл используемый ниже прямой метод профилирования применялся многими авторами (см. [1—6]). Метод решения обратной задачи, некорректной по Адамару при дозвуковых скоростях, был развит в работах [7, 8]. Недавно на его основе были составлены обширные таблицы плоских симметричных сопл [9], которые и привлекаются для дальнейших сравнений. Эти таблицы позволили составить достаточно полное представле^

ние о размерах указанных сопл для широкого диапазона значений показателя адиабаты х и числа Мй потока в выходном сечении.

Четыре пары контуров сверхзвуковых частей, построенных обоими методами для разных значений х и Мь, приведены на рис. 1, причем над осью л: изображены контуры из работы [9], а под ней—построенные прямым методом. За единицу длины здесь и всюду далее взята полувысота минимального сечения (или его радиус—в осесимметричном случае); стрелки над каждым верхним контуром дают длину, при которой число М на стенке на \% меньше, чем М6, двойные стрелки—длину, при которой числа Маха на стенке и на оси сопла различаются на 1%. Разумеется, нижние контуры обеспечивают равномерный поток с МЬ) указанными на

х=1,15;м.=з,о

50 100X

х=1,бб:,мь--^ |

—,: не.

, 50 100 х

х=1р;Мь=^,5

I

10 га х .

Рис. 1

рис. 1. Подчеркнем, что на рис. 1 и далее для каждой пары значений * и М4 из [9] бралось самое короткое сопло. Нижние образующие рассчитывались в предположении плоской поверхности перехода (прямой звуковой линии) и имели в минимальном сечении точки излома. Однако, как будет показано ниже, отказ от предположения о равномерности течения при л: = 0 и разумное скругление угловых точек не ведут к существенному изменению результатов сравнения.

Из приведенных на рис. 1 контуров, построенных обратным методом, два нижних следует отнести к наиболее удачным, а два верхних — к самым неудачным. Это подтверждает и рис. 2, на котором для четырех значений * в зависимости от Мь приведены отношения 8 длин сверхзвуковых частей сопл из работы [9], отвечающих верхним стрелкам на рис. 1, к длинам сверхзвуковых частей сопл с изломом в минимальном сечении. Последние при минимальных габаритах реализуют равномерный поток с тем же значением Мй, в то время как в выходных сечениях сопл из работы [9] неравномерность чисел М близка к 1%.

Выбросы, которые на рис. 2 имеют место при' Мй = 3 для х=1,Д5 и при М6 = 4 для х=1,4, по-видимому, нетипичны для обратного метода. Они обусловлены переходом в работе [9] к меньшим значениям функции тока ф, что, по • всей вероятности, было связано с пересечением одноименных характеристик в области

сверхзвукового течения. Можно надеяться, что для его устранения достаточно лишь незначительно изменить заданные распределения параметров на оси. Тем не менее, если даже не рассматривать „выпадающие" точки, то рис. 2 достаточно наглядно демонстрирует превосходство прямого метода профилирования. Действительно, контуры сопл из работы [9] всегда на несколько десятков,

. - ! а то и на 100—150 процентов длиннее сверхзвуковых частей минимальной длины. Такое увеличение длины является следствием излишней длины участков, поперечное сечение которых близко 'к минимальному. Аналогичные участки в соплах из работы [9] имеются и в дозвуковой части. В последнем, однако, нет никакой необходимости, поскольку сужающиеся участки, вполне приемлемые как по распределению давления вдоль стенки, так и по степени неравномерности потока в минимальном сечении, можно построить при длинах в несколько полувысот минимального сечения.

3. Неравномерность потока в минимальном сечении влияет двояким образом на форму и длину сверхзвуковых частей, профилируемых прямым методом. Во-первых, указанная неравномерность, изменяя течение на разгонном участке, непосредственно сказывается на форме' образующей. Во-вторых, из-за неравномерности полей параметров в минимальном сечении вдоль стенки за точкой излома появляется (см. ниже) участок роста давления. Так как это может вызвать отрыв пограничного слоя, то при профилировании приходится вводить ограничение на минимально допустимый радиус кривизны г образующей сопла. Такое ограничение ведет к замене угловой точки начальным участком максимально допустимой кривизны, т. е. окружностью радиуса г, что, в свою очередь, не только ликвидирует возрастание давления, но и несколько увеличивает длину сопла. Рассмотрим, насколько оба влияния („прямое" и „косвенное") сказываются на длине сверхзвуковой части минимальной длины.

Начнем с того, как замена излома отрезком окружности радиуса г меняет профилируемый контур. На рис. 3 для х=1,4 и трех значений Мй построены образующие, отвечающие разным г. Контуры с угловой точкой (г = 0) изображены сплошными линиями. Штрихпунктиром с двумя точками показано сечение выхода при г = 2, простым штрихпунктиром—при г — 4 и, наконец, штриховыми

4—.Ученые записки" № 4

49

линиями показаны образующие и выходные сечения, получающиеся при г = 6. Контуры сопл с г — 2 и 4 располагаются между сплошной и штриховой кривыми. Для Мй = 1,5 и 3 штриховые, штрих-пунктирные и т. п. стрелки указывают положение концевых точек начальных окружностей. Как видно из рис. 3, относительное удлинение сопла при фиксированном г падает с ростом Мй. Это легко понять, поскольку для рассматриваемых сопл относительный вклад

длины разгонного участка, который только и зависит от г, с увеличением Мй стремится к нулю [10].

Чтобы определить, какие значения 0 достаточны для ликвидации участков торможения на стенке, были выполнены расчеты, состоявшие в следующем. Установлением по времени при помощи

МГ1,И

■~г

ГГ?

й 1 г X

и; III

0 5 10 15 X - —

*•- 1 1 11 >!' ,111..

50 . 100 Рис. 3

150 х

Рис. 5

метода и алгоритма работы [11] рассчитывалось течение в дозвуковых и трансзвуковых частях семейства сопл, контуры которых были образованы плавно сопрягающимися отрезками прямых и дуг окружностей (рис. 4). Каждый контур примыкал к прямой у= У, за которой следовала дуга окружности радиуса /?, отрезок прямой с!у/с1х = (, и дуга окружности радиуса г° с центром в точке: л: = 0, у = 1 -[— г°. Константы У, Л? и С были взяты равными 2,1 и — 1, а г° менялся от 0,2 до 2. Заметим, что в достаточно широком диапазоне значений У, и С течение в трансзвуковых областях, а следовательно, и в расширяющихся частях исследованных сопл почти полностью определяется радиусом кривизны контура г° в минимальном сечении х — 0. Это обеспечивает достаточную степень общности приводимых далее результатов. Для каждого значения г° поля параметров, полученных установлением, позволяли построить линию „начальных данных" аа° (см., рис. 4), используемую затем при решении задачи профилирования. При этом точка а располагалась на оси л: и определялась условием: 1,002, точка а°

бралась на стенке либо в минимальном сечении, либо несколько левее него (газ течет слева направо), а сама линия ааа проводилась правее характеристики второго семейства, приходящей в а. Вслед за тем для каждой дозвуковой части строилось три сопла, . реализующих на срезе равномерный поток с числами М& = 2, 3 и 4,5 и имеющих при минимально допустимом радиусе кривизны г — г° минимальные длины сверхзвуковых частей. Для сравнения аналогичные контуры рассчитывались в предположении плоской поверхности перехода (М = 1 при я: = 0).

Некоторые результаты расчетов, выполненных описанным способом для *=1,4, приведены на рис. 5. На ней показаны распределения чисел М вдоль образующих профилированных сверхзвуковых частей. Сплошные линии отвечают неравномерному потоку в минимальном сечении, штриховые—равномерному. Кружки дают концевые точки участков начальных окружностей. Части кривых справа от кружков отвечают течению вдоль профилированных участков. Рис. 5, а и б демонстрируют эволюцию соответствующих распределений при переходе от г = 0,3 к г=1. Для г —0,3 распределения числа Маха и других параметров в\случае равномерного и неравномерного потоков в минимальном сечении различаются при весьма сильно, причем не только количественно, но

и качественно. Так, для неравномерного потока к участку разгона вдоль начальной окружности примыкает зона торможения, в которой число Маха уменьшается примерно на 0,3. Далее начинается повторный разгон, происходящий почти так же, как и при равномерном потоке. При г — \ для сопла с Мй = 4,5 поток разгоняется вдоль всей образующей, а для сопл с Мй = 2 и 3 уменьшение числа Маха значительно слабее, чем при г = 0,3. Дальнейшее увеличение радиуса кривизны до г — 2 приводит к- исчезновению сколь-нибудь значительных зон торможения и для сопл, рассчит танных на числа ЖЬ = Ъ и 2. Эти факты, а также результаты, представленные на рис. 3, позволяют утверждать, что удлинение сверхзвуковых частей минимальной длины, обусловленное необходимостью скругления излома из-за начальной неравномерности потока, не столь значительно, чтобы принципиально изменить данные на рис. 2. Напомним также, что сопла, взятые из работы [9], в отличие от спрофилированных прямым методом, не реализуют равномерный поток на выходе с заданным значением Мй. Соответствующее укорочение сопл минимальной длины привело бы к заметному увеличению 8. Что касается прямого влияния неравномерности, то, как показали результаты расчетов, оно незначительно. Кроме того, нетрудно показать, что при одинаковых полувысотах минимального сечения (или радиусов—в осесимметричном случае) отношение ординат выходного сечения уь сопл, спрофилированных соответственно для неравномерного и равномерного потоков при х — 0, равно коэффициенту расхода сопла ц. для неравномерного потока. В Осесимметричном случае то же отношение равно У\х. Близкими к [1. и ]/|л оказываются и отношения длин сверхзвуковых частей сравниваемых сопл, причем тем ближе, чем больше Мь. Это легко понять: для М6>1 относительный вклад разгонного участка в полную длину X сверхзвуковой части, как уже отмечалось, исчезающе мал и потому Х^уь\^М1—1. Так как обычно [1 близко к единице (например, в осесимметричном случае

и. = 0,96 для г = 0,2), то приведенные соображения служат допол-

нительным подтверждением вывода о несущественности прямого влияния неравномерности.

Отметим, наконец, что для осесимметричных сопл „косвенное" влияние неравномерности в минимальном сечении уменьшает значение г по сравнению со значением для плоских сопл. Последнее связано с растеканием газа от оси симметрии, благодаря которому в осесимметричном случае эффект торможения отсутствует уже при весьма малых г. Это подтверждает рис. 6, на котором для осесимметричных сопл приведены распределения М вдоль стенок, полученные так же, как и на рис. 5. Рис. 6,а отвечает х = 1,4

и г = 0,2, рис. 6, б— х=1,25 и г — 0,5. Видно, что в обоих случаях сразу за начальным участком максимально допустимой кривизны во всех соплах наблюдается дальнейший разгон и лишь позднее может иметь место незначительное торможение потока или замедление его разгона. При х= 1,4 и Мй>2 зоны торможения заведомо отсутствуют при г>0,2. Таким образом, ликвидация зон торможения на стенках профилированных осесимметричных сопл возможна при значениях г, почти на'порядок меньших, чем в плоском случае. Хотя при одинаковых значениях: М6 длина осесимметричного сопла много меньше, чем плоского (при Мь > 1 длина первого равна квадратному корню из длины второго), относительное удлинение при г > 0 в осесимметричном случае оказывается еще меньшим, чем в плоском.

В заключение заметим, что длина и форма сопл, построенных обратным методом, зависят от задания распределения скорости по оси х. Так, отвлекаясь от трудностей вычислительного характера, в качестве исходного можно взять распределение, найденное при профилировании сопла минимальной длины прямым методом. В этом случае контуры сопл, построенные прямым и обратным методами, совпадут. Поэтому существенно большие длины сопл, построенных обратным методом в работе [9], свидетельствуют прежде всего о неудачном задании указанных распределений. В дальнейшем опыт решения прямых задач профилирования сопл позволит сформулировать необходимые рекомендации по выбору более удачных распределений для обратных задач. Определенную помощь в выработке этих рекомендаций может оказать знание закономерностей свободного расширения плоских й осесимметричных струй идеального газа [12]. Поскольку обратный метод требует для решения существенно меньших затрат машинного времени, чем прямой, то при наличии такого опыта применение обратного подхода вполне оправдано. Кроме того, обратный метод весьма полезен в ситуациях, в которых размеры сопла не играют существенной роли.

В заключение авторы благодарят М. Я. Иванова и Ф. Л. Идия-туллину, любезно предоставивших им программу расчета до- и трансзвукового течения, и В. А. Вострецову—за помощь в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов М. Я., К р а й к о А. Н. Профилирование двумерных пространственных сопл и расчет течения в них. В сб. „Газодинамические лазеры и лазерная фотохимия”. М., МГУ, 1978.

2. Landsbaum Е. М. Countour nozzles. ARS J., vol. 30, N 3, 1960.

3. Geiger R. E. Short hypersonic countour nozzles. ARS J., vol. 30, N 4, 1960.

4. К а ц к о в а О. H., К р а й к о А. Н. Расчет осесимметричных

изэнтропических течений реального газа. .Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ.“, т. 2, № 1, 1962.

5. К а ц к о в а О. Н. Расчет равновесных течений газа в сверх-

звуковых соплах. Труды ВЦ АН СССР, М., ВЦ АН СССР, 1964.

6. Верховский В. П. Численный расчет плоских сверхзвуковых сопл с изломом контура. Таблицы координат на числа М=3-г-7. Труды ЦАГИ, вып. 1680, 1975.

7. П и р у м о в У. Г. Расчет течения в сопле Лаваля. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1967, № 5.

8. П и р у м о в У. Г. Исследование течения в до- и трансзвуковой областях сопла Лаваля. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, N° 1.

9. Овсянников А. М., Пирумов У. Г., Плетнева Е. М.,

Росляков Г. С. Атлас плоских сопл. М., ВЦ МГУ, 1976.

10. К р а й к о А. Н., Ш е л о м о в с к и й В. В. О профилировании

плоских и осесимметричных сопл и каналов, реализующих заданный сверхзвуковой поток в сечении выхода. „Изв. АН СССР”, МЖГ, 1981, № 4.

11. Иванов М. Я., ИдиятуллинаФ. Л. К расчету гладких ■стационарных течений идеального газа методом третьего порядка точности. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.*, т. 18, № 4, 1978.

12. К р а й к о А. Н., Ш е л о м о в с к и й В. В. О свободном расширении двумерных струй идеального газа. „ПММ”, т. 44, в. 2, 1980.

Рукопись поступила 2/IV 1980 г.