CC BY
51
Int Conference on Biomechanics. September 7-9. 2005. Benidorm, Spain, 2006.
10. Leung JH, Wright AR, Cheshire N. et al. Fluid Structure Interaction of Patient Specific Abdominal Aortic Aneurysms: a Comparison with Solid Stress Models // BioMedical Engineering OnLine. 2006. V. 5:33 doi:10.1186/1475-925X-5-33.
11. Younis H.F., Kaazempur-Mofrad M.R., ChanR.C. et al. Hemodynamics and Wall Mechanics in Human Carotid Bifurcation and its Consequences for Atherosclerosis: Investigation of Inter-Individual Variation // Biomechan. Model Mechanobiol. 2004. V. 3. P. 17-32.
12. Delfino A., Stergiopulos N., Moore J.E. et al. Residual Strain Effects on the Stress Field in a Thick Wall Finite Element Model of the Human Carotid Bifurcation // J. of Biomech. 1997. V. 30, № 8. P. 777-786.
13. Malek A.M., Alper S.L., Izumo S. Hemodynamics
УДК 533.6.011
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ТРАНСЗВУКОВЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Е.О. Кузнецова, И.А. Чернов
Саратовский государственный университет, кафедра вычислительного эксперимента в механике E-mail: Jane-83@yandex.ru, ChernovIA@info.sgu.ru
Дан обзор точных, описываемых алгебраическими функциями, решений трансзвуковой системы уравнений Кармана-Фальковича. Рассмотрены автомодельные решения и два класса параметрических решений, ассоциированных с автомодельными при показателях автомодельности n = 2 и n = 3. Указана связь с локальным описанием особенностей трансзвуковых течений, в частности, в соплах Лаваля.
Shear Stress and its Role in Atherosclerosis // JAMA. 1999. V. 282, № 21. P. 2035-2042.
14. Howard B.V., Macarak E.I., Gunson D., Kefalides N.A. Characterization of the Collagen Synthesized by Endothelial Cells in Culture // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1976. V. 73. P. 2361-2364.
15. Haust M.D. Arterial Endothelium and its Potentials. N.Y.: Plenum Press, 1977. P. 34.
16. Weinbaum S., Tzeghai G., Ganatos P. et al. Effect of Cell Turnover and Leaky Junctions on Arterial Macromolecular Transport // Amer. J. Physiol. 1985. V. 248. P. H945-H960.
17. Tropea BI, Schwarzacher SP, Chang A et al. Reduction of Aortic Wall Motion Inhibits HypertensionMediated Experimental Atherosclerosis // Artherioscler. Thromb. Vasc. Biol. 2000. V. 20. P. 2127-2133.
Exact Solutions of the Transonic Equations of Gas Dynamics E.O. Kuznetsova, I.A. Chernov
The review exact (described by algebraic functions) solutions of a transonic set of Karman-Falkovitch equations is given. Self-similar solutions and two classes of the polynomial-parametrical solutions associated with self-similar at indexes n = 2 and n = 3 are considered. Connection with local exposition of singularities of transonic flows is specified , in particular in Laval nozzles.
Рассмотрим классическое трансзвуковое течение идеального газа. Будем считать, что поток стационарный, изэнергетический и изэнтропический. Приближенная система уравнений Кармана-Фальковича в случае плоского (и = 0) и осесимметричного (и = 1) околозвукового потока имеет вид
ППХ = Уу + и(у/у), Пу = ьх. (1)
Здесь и и у — приведенные проекции скорости возмущения основного звукового потока на оси прямоугольной системы координат.
1. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
Возьмем автомодельные решения уравнения (1) вида
и = у2п-2 и (С) У = у3п-3 V (С) с = ху-п,
где п — показатель автомодельности. С помощью перехода к переменным Ь, т
(= с-2и, т = С-3у
система уравнений (1) сводится к уравнению в плоскости (Ь,т):
¿т (2п — 2)Ь2 — 3тЬ + (3п — ип)т Р\ (I, т, п)
^ 2^2 — 2п£ + (3 — 3п — и)т Р2 (I, т, п)
При и = 0 существует решение этого уравнения в форме т = ±(2/3)£3/2
Уравнение (2) имеет частное семейство решений вида
т = А + Е1 ± (С + 1)^0 + ЕЬ.
(2)
интеграл Жермена.
© Е.О. Кузнецова, И.А. Чернов, 2007
Класс таких решений был изучен в [1]. Список частных решений (3) приведен в табл. 1.
Таблица 1
Показ. автомод. Решение при ш = 0 Интерпретация
А В С Э Е
п = 5 625/12 5/4 -25 75/16 3/8 ?
п = 3 9 1 9 1 1/3 Течение Р.Г.Баранцева
п=2 4/3 1 -4 1/9 2/9 Сопло Мейера
п = 5/3 -125/81 5/3 25/9 25/3 -3 Обтекание угла со струей при |у| < 1
п = 5/4 -125/48 5/2 -25/16 25/9 -16/9 Обтекание угла при |у| < 1
п = 6/5 0 1 0 1 -2/3 Струя при |у| < 1
п = 5/6 0 -5/6 0 25/36 -2/3 Струя при |у| > 1
п = 4/5 4/3 -2 -1 16/9 16/9 Течение Ф.И.Франкля при |у| > 1
п = 3/5 1/3 -1 -1 1/9 1/9 Обтекание угла со струей при |у| > 1
п = 1/2 -1/6 -1/2 -1 1/36 2/9 ?
п = 1/3 -1/3 -1/3 -1 1/9 1/3 ?
п = 1/5 -5/12 -1/4 -1 3/16 3/8 ?
Решение при ш = 1
п = 4 128/5 4/5 -16 208/75 26/75 ?
п = 2 2 1/2 -4 1/4 1/4 Сопло Мейера
п = 7/6 -343/486 7/9 -49/36 196/729 -16/81 Обтекание угла |у| < 1
п = 4/7 8/9 -2 -2/3 16/9 -8/3 Течение Гудерлея-Йошихары при |у| > 1
п = 1/3 -2/9 -1/3 -2/3 1/9 2/3 ?
п = 1/6 -8/27 -2/9 -2/3 52/243 52/81 ?
С помощью формул
111 СС = / т— ) ■ и (‘) = * (‘)2’ у № =т (‘к (*)3
для решений вида (3) получены автомодельные представители для и и V, приведенные в табл. 2, некоторый решения в табл. 2 сведены к параметрическому виду [2].
Таблица 2
= = 0
п = 5 п = 3
< ' и = £ + Сху3 + С4у8 V = — 2 X3 + 3 Сх2у2 + 2, С2 ху7+ + 1 С3 у12 1 + 648С у Г и = 6Сху + 3С2 у4 | V = 3Сх2 + 12С2ху3 + 3С3у6
п = 2 Г и = Сх + Яг У2 V = С2ху + СтУ3 п = 5/3 [ х = р-4у3 + Ср5 < и = р-8 у4 + 10Сру [ V = — 3р-12у6 + 50Ср-3у3 + 25С2р6
п = 6/5 ( х = — р-3У3 + Ср2 < и = —6Ср-1 у у V = — 12рС п = 5/6 С(^) = (^-1)6/12(5^-1)11/36 (г + 1)б/18 ТТ (~) = 25 (г2-1)12 Т (^) = 24 (г-1)Б/6(5г-1)11/18(2+1)6/9 V (~) = 125 (^2-1)с3 К (^) 144 (г + 1)5/6(5 г — 1)11/12(г — 1)1 / 4
Окончание табл. 2
е II о
n = 4/5 ( x = p-3y2 — C2p2 < u = p-6y2 — 2C2p-1 ^ v = — 2p-9y3 + 2C2p-4y n = 3/5 [ x = p-4y3 + C1 p < u = p-8 y4 + 2C1p-3y ^ v = — 3p-12y6 — 2C1 p-7y3 — C2p-2
n = 1/2 Z— C n = 1/3 Z (z) — C
Z (z) (z-1)1/4(z+3)1/4 (z-3)1/2 U (z) = 1 (z2-1)C Z (z) (z-1)1/9 (z-2)2/3 (z+2)2/9 TT (z) = 1 (z2-1)c2
U (z) = 8 (z-1)1/2(z+3)1/2(z-3) V(~) 1 (z+5)(z- 1)6/4C3 U (z) = 3 (z-1)2/9(z-2)4/3(z+2)4/9 V(~) 1 (z2+2z-2)(z-1)2/3c3
V (z) = 48 (z+3)3/4(z-3)3/2 V (z) = 9 (z-2)2(z+2)2/3
n = 1/5 Z (z) = (z-1)4/6(z + 1)1/5 и ) = 3(z2-1)c2 U (z) = 2(z-1)8/5(z + 1)2/5 V (z) 1 (7+9z2+27z3-27z)C3 V (z) 24 (z-1)12/5(z + 1)3/6 n = 5/4 f x = —Cp5 + p-3y2 < u = p-6 y2 — 5Cp2 ^ v = — fp-9y3 — 10Cp-1y
е = 1
n = 2 r u = Cx + C2 y2 /4 1 v = C 2xy/2 + C3 y3/16 n = 4 f u = 3 X2 + Cxy2 + шC2y6 1 v = — 9 X3 + Cx2 y + 52C2 xy5 + d4n C 3y9
n = 4/7 i x = —p-5y2 + 3p2C J u = 2p-10y2 — 4p-3C [ v = 4p-15y3 — 4Cp-8y n = 7/6 [ x = p-5y2 — 9p7C < u = fp-10y2 — 42p2C [ v = — 4p-15y3 — 28Cp-3y
n = 1/3 Z C(z-V5)(-T2V5)(z+y5)( (z-1)1/4 Z = (-z2 +5-5z+z3)5/12 TT = (z2-1)C2 (z-V5)(- 11 л/5) (z+V5) ( 6V5) TZ-T 6(-z2+5-5z+z3 )5/6 V = (z-1)3/4(z+V5)( 1V5) (z-V5)(- 1V5) C 3(z2 +2z-3) 18(-z2+5-5z+z3 )1/4(z2-5) n =1/6 Z = C (z — 1)(-1 -12 T^)(z + 1)(-1 + 12 T^) U = 3 (3z2 — 1)C 2(z — 1)(-1-6лЛ3) (z + 1)(-1+1лЛ3) V = — 2 (1 + z2 + V13z3 — ^13z )C3 (z — 1)(-3 - 4V13)(z + 1)(-3+1лЛ3)
При и = 0 справедливы две теоремы, первая из которых позволяет размножать решения, а вторая — отражает свойство парности решений в табл. 1.
Теорема 1. Если имеется автомодельное решение с {п, ¿,т, (}, то также будет решение с {п1,*1 ,тх,С1}, где
3 — 2п £(2п£ — 3т )2 т (2П — 3т )3
П1 4 — 3п’ ^1 (2^2 — 3пт)2 , т1 (2£2 — 3пт)3 ’
(1 = £- (п — 1)-3-4 (2^2 — 3пт )(2п — 3т)-(4£3 — 9т2)-3-1.
Теорема 2. Если имеется автомодельное решение с {п, ¿,т, С}, то также будет решение с {П2,^2,т2,С2}, где
1 t т , „ _п+А ._1 / л 3 ^ 2 \_ п + 1
П2 = -, ¿2 = -2, т2 =-3, С2 = 2 3п С п (4^ — 9т ) .
п п2 п3
Заметим, что некоторые из полученных решений укладываются в три основных полиномопараметрических класса: известные симметричный и несимметричный классы решений Заславского-Гриба (ассоциированные с показателем автомодельности п = 2) и менее известный (изученный в [4],[5]) класс решений, ассоциированный с п = 3.
2. ПОЛИНОМО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
2.1. Рассмотрим класс решений, ассоциированный с п = 3 (и = 0) (включает известные автомодельные решения для показателя автомодельности п = 3, 5/3, 6/5,3/5). Для этого случая решение системы уравнений (1) представляется в следующем виде (здесь и далее 5 обозначает параметр):
X = Жо(з)+ 5У3, и = И1(в)у + и4 (5)у4, V = Уо(^)+ ^3(^)у3 + ^е(5)у6. (4)
Подстановка (4) в (1) при и = 0 дает систему ОДУ, разрешенную относительно первых производных от коэффициентов:
, и1 , 3(v3 — 5и1) , 6(v6 — 25и4)
и1 — - , Цл —
и4 — 952 ’ 1 и4 — 952 ’ ™4 и4 — 952
(5)
и2 , 5(и1и4 — 9^3) , 4и4 — 18^6
и4 — 9з2 ’ и4 — 952 и4 — 952
В (5) можно выделить нелинейное ядро относительно коэффициентов и4(з) и v6(s), которое сводится к одному ДУ второго порядка для и4 (5)
и"(и4 — 952) + (и4 )2 + 125и4 — 12и4 = 0. (6)
В [4] приведено общее решение (6) в следующей параметрической форме (г — параметр; Е, Н —
постоянные интегрирования):
и4 = —3^3Н2 (г4 — 2^3г2 — 1)£(г)(Е + г)-4, 5 = Х3 = Нд(г)(Е + г)-3,
ф(г) = 1 + л/ЭЕг — л/Эг2 + Ег3.
Рассмотрим технологию восстановления остальных коэффициентов подробнее [2]. Если функция и4(5) известна, то следует использовать замену переменных: Ц = д + и4х0, V = х0. Отсюда выводятся линейные ОДУ первого порядка для д, V:
д/ (и4 — 952) — 65Д + 2ди4 = 0, v/(u4 — 952) — 18^ — д = 0.
Считая, таким образом, функции и4(з), д, V найденными из соответствующих дифференциальных
уравнений, можно записать решение класса (4) для системы (1) в виде квадратур:
х = / . М* + ау3, и = („(5)и4 (5) — (ф2)„ + Мф4,
,2^^л2, , , Л ^ (в).. , „ч2 Йdv 00 „2
V = (^(з) — 95 ^(5) ¿5 + 64^ + ^3 ^ и4(5) — 6 ^ и4(5)5 +
+1 V(5) ¿и4.д5) и4(5) — 3 + 3V(5) 52 + 2754 — 5^(5)^(5) + 45з3V(5)) у3+
+ (6 н4г и*«—3 ^ ‘'2+2'- (*)) у6-
Поскольку в общем случае квадратуры приводят к сложным и громоздким вычислениям, то ограничимся рассмотрением частных решений ключевого уравнения (6). Возьмем особый интеграл (6) в виде (В — масштабная постоянная):
5(г) = Вг, и4 (г) = В2г2.
Далее воспользуемся идеями из [6],[7], получаем точное решение системы (1) (с целью освобождения от иррациональностей используем замену г = ¿4)
X = — 4 62В + 2Т + 63 + В*4у3, и = (¿3С,В — 8) у + В2(8у4,
•’ = ¥ ^ — 4С1СВ- — 1 ‘2ВС2 + С3 + (—46*3СВ3 — (7С1В2) у3 — 3В'¥У.
Здесь С1, С2,С3,В — произвольные постоянные. Рассмотрим теперь интеграл Жермена для (6)
5 = ±(г — 1)Сг2, и4 = С2 г4.
Соответствующее решение системы (1) имеет вид (с целью освобождения от иррациональностей используем замену г = *2):
9£С2С , 3С2 С С2 С С2С С1 3*61
X = ----------- ил --------- ил ----------- ----------- -р --------- +------------+
1^3*2 — 4 5^3*2 — 4 5*3л/ 3*2 — 4 5*3л/ 3*2 — 4 2^ 3*2 — 4 ^3*2 — 4
+С3 + (±*6С Т *4С)у3,
*3СС1 3*С2С^ 2С2С2 ^ 8 4
и = ± . ± - . " + . " у + С2Гу4,
V \/3^2 - 4 х/З^2—4 ^3£2 - 4 У’
= , С3С22 СС2 4Сз С2 С1С2 3^2С, С3С22 ^
ю = ^ Т 3(3£2 - 4)£6 ± 3(3£2 - 4) - (3£2 - 4) - (3£2 - 4)£2 + (3£2 - 4) ± (3£2 - 4)^ +
/ 4^7СіС2 9£9С2С3 3£9Сі С2 30£5С2С3 40£3С3С2
+ V (3£2 - 4)3/2 Т (3£2 - 4)3/2 + (3£2 - 4)3/2 Т (3£2 - 4)3/2 (3£2 - 4)3/2
27^ТС3С2 N 3 / 8£12С3 2£14С3 \ 6
(3£2 - 4)3/2 У У + V3(3^2 - 4) (3£2 - 4) у У ‘
Здесь С, С1 ,С2,С3 — произвольные постоянные.
В заключение рассмотрим потерянные решения (когда в (4) старшие коэффициенты — константы)
х = в + Еу3, и = и1 (в)у + 9Е2 у4, V = г>0(в) + г>3 (в)у3 + 18В3 у6.
После подстановки в (1) получаем систему ОДУ:
йи1(в) 3(Еи1 (в) - у3(в)) ^0(в) , , ^3(в) 9Е(5Еи1 (в) - ^3(в))
= ui (s),
ds u1(s) ds ’ ds u1(s)
Из первого и третьего уравнений получаем ОДУ для u1(s):
d2ui(s) -12Л^ + 108D2 - (^)2 =o
¿52 и1(5)
Рассмотрим решение данного уравнения в параметрической форме:
5 = С^ + С1 /г3 + С2, Ц =6ЕС1г — 18Д_С1.
г3
Тогда потерянное решение примет вид
х = С1 г + С1 /г3 + С2 + Еу3, и = (6ЯС1*: — 18ЕС1 /г3 )у + 9Е 2у4,
0 „ „2 2 18ЕС2 9ЕС2 ^ 18Е2С1(г4 + 5) 3 1 » 6
v = 3ЕС2 г2 +-------^---------^ + С3 +------------------Ц-1 у3 + 18Е3у6.
г2 г6 г3
Здесь Е,С1,С2, С3 — произвольные постоянные.
2.2. Рассмотрим несимметричное решение Заславского-Гриба
X = Х0 (5) + Х1(5)у + 5у2, и = и0 (5) + и1 (5)у + и2(,§)у2,
v = Vо (5) + Vl (в)у + V2 (5)у2 + Vз(s)y3. (7)
Подставим (7) в основную систему трансзвуковых уравнений (1)
. и0 — х1 . — (4х15 — и1) . —(и1 Х1 — V;!.) , — 2(и2 Х1 — V2 + и15)
х0 =--------, Х1 =---------Т2—, и0 =--------------------71—, и1 =-Т2----------------,
и2 — 452 и2 — 452 и2 — 452 и2 — 452
, 3v3 — 45и2 , и0и1 — V;!. Х1 , и1 — 2v2 Х1 + 2и0 и2 — 2v15
и2 =--------2-, v0 =---------------, v1 =-------------------------------—2-----------------, (8)
2 и2 — 452 0 и2 — 452 1 и2 — 452
, 3(и1и2 — v3x1) — 4v2s , — 2^35 — и2)
V2 и2 — 4з2 Vз и2 — 4з2 .
В (8) можно выделить нелинейное ядро относительно коэффициентов и2 (5) и v3 (5), которое сво-
дится к одному ОДУ второго порядка для и2(з):
и2 (и2 — 452) + (и2 )2 + 25и2 — 2и2 = 0. (9)
Общее решение этого уравнения в параметрической форме имеет вид (г — параметр; Е, Н —
постоянные интегрирования)
и2 = В2 [4(1 + г2) + Ег], 5 = х2 = В (г2 — 1).
Используя переход к переменным д, V, £,П
и0 = д + и2 V, х0 = V, и1 = С + и2 П, х1 = п,
выводятся линейные уравнения первого порядка:
С(и2 — 4з2) — 2^С + 2^и2 = 0, п/(и2 — 452) — 4^п — С + 4х1 = 0,
д/(и2 — 452) + 2Сх1 + 2и2 д — 6зд = 0, v/ (и2 — 4з2) — 8^ — д + 2х1 п = 0.
Считая функции и2(5), С, п, д, V известными после решения системы соответствующих дифференциальных уравнений, записываем решение
х = / V М* + /« + V,
и = ^(5)и2(5) — 4v(5)52 + п(5)^^ ^ + ^п(5)и2(5) — 4п(5)52 + 4^ ^ п(^)^^ у + и2(5)у2,
V = (^—^J 52п(5^(5)^5 + 4 У 52 J п(5)^5“"^("")¿5 + 12 J sv(^У п(5)^5^5 +
+ I V(5)и2(5)п(5)^5 — 2^ ^I п(^)^^ п(5)^5 — I I п(5)^5и2(5)¿5 — n(s)dsv (5) ¿5) + ( -^Т~ и2 (5)2 + и2 (5) V (5) -Ц” — 8и2 (5) 52 —
—8и2(,§),^(5) + 3 /п(s)dsп(s)u2(s) — 45^(5)+ 16^4(5) + 3252V(5) —
ц —S Ци
1 —п(s) / ч2 1 / ч / (5)
-12 У п(в)^вп(в)в2 +4^1 п(в)^ |у + ^ и2(в)2 + 2и2(в)п(в)
¿в
4и2(в)в2 - вп(в)и2(в) + 3и2(в^п(в)“в - 2в2п(в)¿и2в(в) + 8в4”Пз(в")+ +4П(в)в3 - 4в2 У п(в)“в^ у2 + (3 “и“в(в) и2(в) - 3 “и“в(в) в2 + 3ви2(в)) у3.
Функции £,п, Д, V выражаются в квадратурах через и2(в) как решения линейных ОДУ 1-го порядка. Поскольку в общем случае квадратуры приводят к сложным и громоздким вычислениям, то ограничимся рассмотрением частного решения. Возьмем особый интеграл уравнения (9) в виде (В — масштабная постоянная)
в(г) = Вг, и2 (г) = В2г2.
Тогда решение системы (1) примет вид (с целью освобождения от иррациональностей используем замену г = «3)
х 1 С2 „«3 , 1 СС,2 , 1 С2 27 В3 С32 + 9 С4 С3В2 3 С5В | С |
х = 4СВ« + 4С1С4‘ +272 - 5^“ + 56 «4 - 5~ + Сб+
+ (1 С!*2 + ^ + С4ВІЛ у + В«3у2,
28 «4
B 27 B4^ + 9 C^B3 + 115С C B , 1 C2 „2,6 3С5B2 +
“ - 2B - 784 t8 + 7 t +2fC4ClB +4СBt - 31^+
+ 9 СзB22gi + 114c2 + /18B3C1 + t5BCi + С4B2te^ y + B2t6y2,
28 t2 4 1 V 7 t y
í 1 C3p319 243 c3b6 1 BC С t3 1 pe2С t7 I 27 СзB3C2
V -\“ 12C4Bt “ 10576“ “ 2BCiC2Í “ 4BClC4‘ + 28 t3
27 C1B4C3 + 27 C3B5C4 + 117e B4e2t2 1 e С2 B2t8 1 t6e3 + С
784—í6— + 58^^ + 112СзB С4* - IС1С4B * - 15‘ С1 + С-
27 055403 - 3B3G5С41 - 1 C2C4P2t4 + 9CзP3ClС4O +
28 *6 2 8
+ Г— 2 ¿9 В 3С42 — ¿4 В2 С2 — 6*С5 В3 — 2 *7ВС2 + 4 ¿В3 С1С3 — *8 В2С4С1 +
+49В5? + 187*2В4С4С3) у + ( С4В3¿9 + 18*2В4С3 — ¿8С1В2) у2 — 3В3¿9у3.
Здесь С1, С2, С3, С4, С5, С6, С7, В — константы. Рассмотрим потерянное решение для несимметричного класса (когда старшие коэффициенты в (7) — константы)
х = 5 + х1 (з)у + х20у2, и = и0 (5) + и1 (5) у + 4х20 у2,
v = -и0(5) + vl (5)у + ^ (5)у2 + 16 х20 у3. (10)
Подстановка (10) в (1) дает систему уравнений, записанную относительно производных от коэффи-
циентов в (10). Разрешая ее, получим следующее точное решение системы (1) (в процессе решения системы был сделан переход к новому параметру г)
40г9 х20 + 144Вг6 х20 + 15С0г5 — 120г3С2 х20 + 120х20 В 2г3 + 15С0Вг2 + 240х20С1 + 480С4 гх30 Х = 480гх20 +
(16х20Вг + 16х20г4 + С0 ^ , 2
+-------------16Х2-----------+ Х20у ,
16х20
С1 (-768Bz5 - 256z8)x40 - 96С0 (-1B + z3) zx20 + 3С2
2 ' '
20
(-8x2oBz + 16x20z4 - С0) y + 4x20y2
4X20
1„ 9 С0г8 2 6 PC0z5 z4С02 3 3 1 o 3
v - 3Bz° + 24X10 + B2z6 + + 6^ +z3С- z^ + 3z3B3-
z2С0С2 , z2B2С0 , Bz^2 , С0С1 , ^
I-------Г7;—ó-Г —A--г ^ o-----Г С3 +
8x20 16x20 256x40 16x20z
+(-768x40 z 3С2 + 384x40 С1 + 48x20Bz2 С0 + 192x20z5 С0 + 1536x20 Bz6 + 256x20 z 9+
1
2
+384x40 b2 z3 + 3zC'0!) 192zx3 + (4x20Bz + 16x20z4 + 2 С0 )y2 + 16 х30У3 • (11)
Здесь С0,С1 ,С2,С3,С4,x20,B — произвольные постоянные.
2.3. Симметричное решение Заславского-Гриба, ассоциированное с автомодельным (п = 2, и = 0) (включает автомодельные решения для показателей автомодельности п = 2, 5/4,4/5 из табл. 1) является частным случаем несимметричного класса (достаточно занулить коэффициенты х1 (5), и1(5), v0(s) и v2(5)). Возьмем в качестве частного решения уравнения (9) — интеграл Жермена
5(г) = ±(г — 1)гС, и2 (г) = С2г2.
Тогда получаем следующее решение системы (1) (с целью освобождения от иррациональности используем замену г = *3)
С1 С2С 3С2 С С1 6*С2С
х = ---------------- Л- --------------т------------------ +---------------Ч-1 г\/ С\>г>--------------------------------------------------------------Л\1 /0|К ^ 1 |-/гч,0 оМ/‘3.0±
10(2*3 — 3)1/3*5 5(2*3 — 3)1/3*5 ^ 5(2*3 — 3)1/3*2 5(2*3 — 3)1/3*2 5(2*3 — 3)1/3
+ С3 + (т*6С ± *3С)у2,
5(2*3 — 3)1/3
. . 2С2*Со СС1 + С2С2 + С2,6 2
и (2*3 — 3)1/3 2*2 (2*3 — 3)1/3 + *2 (2*3 — 3)1/3 + С у ,
( С2*4С1 , 2С3*С2 С2*С1 ) 2 „3 9 3
V = V (2*3 — 3)1/3 (2*3 — 3)1/3 + (2*3 — 3)1/3 У у ^ 3 С*у.
Здесь С, С1 ,С2,С3 — произвольные константы.
2.4. Осесимметричный случай при и = 1 описывается симметричным классом решений Заславского-Гриба (включает автомодельные решения для показателя автомодельности п = 2, 7/6,4/7 из табл. 1 при и = 1).
Частное решение системы (1) имеет вид
— 20С2В + 21С1 *5 + 28С3*7 , „ 5 2 В(3С1 *5 — 10С2В) 2 10 2
х =---------------28?-------------------+ В‘у' и =--------3*2-------+3В2* у,
V = (— у,3С2В3 — В'2*8сЛ у — 4ВУ5у3.
Здесь В, С1 ,С2,С3 — произвольные постоянные. Потерянные решения записываются в форме х = 5 + !у2, и = и0 (з)+4Е2 у2, V = v1(s)y + 4!3у3. с и0(,§)^1 (5), найденными через —(а,С1,Е), где —(а,С1,Е) — корень уравнения
—51п(—2 + 4!— — 16!2) — 2^5 arctan ^ ^
— 101п(а) + 5С1 = 0,
ио , ,
[ 1 ^ п 8! и0 (-гтасттсу)^
5 = / — (а, С ,Д)^ — С2, Vl = 4Д + — (а,С1 ,Д) + “0 2,
здесь 5 = 5(и0) — обратная функция к и0(5), С1 ,С2 — постоянные интегрирования, ! — произвольная постоянная.
Заметим, что в случае и = 1 алгебраические решения редки.
3. ПРИЛОЖЕНИЕ НЕСИММЕТРИЧНЫХ РЕШЕНИЙ К СОПЛОВЫМ ТЕЧЕНИЯМ
В качестве примера возьмем течение в сопле Лаваля с параболической ударной волной (УВ). Интересным для изучения является вопрос «склейки» симметричного течения Мейера (М.) до УВ и несимметричного Томотика-Тамады (Т.-Т.) после УВ. Течение после УВ соответствует потерянным решениям (11). Симметричное течение Мейера:
А2 А?
и = А1 х + —1 у2, V = А°ху + —1 у3. (12)
26
Для выполнения условий на параболической УВ вида х = х00 + х10у + х20у2 получены следующие значения параметров х20 и х10 (х00 — произвольно):
1) Х20 = —1/4, Х10 = —1/4, 2) Х20 = 1/2, Х10 = 1/5, 3) Х20 = —1/16, Х10 = 1/32, (13)
где х20 — кривизна УВ на оси параболы, х00 — сдвиг УВ от начала координат по горизонтали, х10 — сдвиг УВ — по вертикали.
Возьмем первый случай в (13). Используя приведенные выше аналитические решения (11) и (12) (предварительно получив значения всех констант в (12) из начальных условий на УВ), удалось построить склейку симметричного и несимметричного течения на УВ. На рис.1 течение происходит слева направо, приведены изолинии u = const, которые встречаются в одной и той же точке на УВ, пунктиром обозначены звуковые линии u = 0 для течения М. слева и для течения Т.-Т. [8] — [9].
Изолинии слева от УВ имеют вид (снизу вверх): и1 = 7, и2 = 6, и3 = 5, и4 = 4, и5 =3, ие = 2,
и7 = 1, и9 = 1, и10 = 2, и11 = 3, и12 = 4, и13 = 5, и14 = 6, и15 = 7. Изолинии справа от УВ: и1 = 5.12, и2 = 2.62, и3 = 0.62, и4 = -0.87, и5 = -1.87, ие = -2.37, и7 = -2.37, и9 = -0.87, ию = 0.62, и11 = 2.62, и12 = 5.12, и13 = 8.12, и14 = 11.62, и15 = 15.62.
Аналогично можно рассмотреть второй случай в (23), картина склейки двух течений отображена на рис.2
Рис. 2
Изолинии слева от УВ имеют вид (снизу вверх): и1 = 3, и2 = 2.2, и3 = 1.4, и4 = 0.6, и5 = 0.2, и6 = 1.0, и7 = 1.8, и8 = 2.6. Изолиний справа от УВ: и1 = 2.28, и2 = —1.4, и3 = —3.8, и4 = —4.92, и5 = —4.76,
В.Ю. Ольшанский и др. Математическое моделирование процесса терморасщепления графита
и6 = —3.32, и7 = —0.6, и8 = 3.4. Эти два случая являются обобщением аналогичных результатов Рыжова [9] при рассмотрении вопроса склейки течения Мейера с симметричным течением Т.-Т.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изучены автомодельные решения, соответствующие основным (имеющим определенный газодинамический смысл) показателям автомодельности. Установлена связь автомодельных решений с полиномо-параметрическими и осуществлен переход к компонентам скорости и, V. Класс полиномопараметрических решений является некоторым обобщением автомодельных, поскольку содержит одновременно несколько автомодельных и поэтому весьма интересен с точки зрения дальнейшего изучения (так как позволяет исследовать несколько различных задач с помощью одного решения). Реализована технология нахождения всех коэффициентов в полиномо-параметрическом представлении при выбранном решении ключевого уравнения. Изучены сопловые течения с параболической УВ, переводящей симметричное течения Мейера в несимметричное относительно продольной оси канала.
Библиографический список
1. Фалькович С.В., Чернов И.А. Обтекание тела вращения звуковым потоком газа // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. С. 280-284.
2. Немцова Е.О. Параметрический метод в изучении трансзвуковых уравнений / Саратов, 2005. Деп. в ВИНИТИ 26.07.05 № 1089-В2005. 18 с.
3. Немцова Е.О. Параметрические решения трансзвукового уравнения и их связь с автомодельными // Материалы Четвертой молодежной науч. школы-конф.: Тр. Матем. центра им. Н.И.Лобачевского. 2005. Т. 31. С. 110-113.
4. Чернов И.А. Полиномо-параметрические решения трансзвуковых уравнений // Аэродинамика. Нелинейные проблемы: Межвуз.сб.науч.тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 1997. Вып. 14(17). С. 91-102.
5. Севостьянов Г.Д. Структура элементарных околозвуковых решений // Аэродинамика: Межвуз. сб. на-
уч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Вып. 14(17).
С. 109-117.
6. Заславский Б.И. О нелинейном взаимодействии сферической ударной волны, возникшей в результате взрыва заглубленного заряда со свободной поверхностью воды // Прикладная математика и техническая физика. 1964. № 4. С. 57-65.
7. Заславский Б.И., Клепикова Н.А. Об одном классе точных частных решений уравнений околозвуковых течений газа // Прикладная математика и техническая физика. 1965. № 6. C. 65-68.
8. Кузнецова Е.О. Модель нерасчетного режима течения в сопле Лаваля // Материалы Пятой молодежной науч. школы-конф.: Тр. Матем. центра им. Н.И.Лобачевского. 2006. Т. 34. C. 136-139.
9. Рыжов О.С. О работе сопел Лаваля в нерасчетных режимах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7, №4.
УДК 517.958:536.2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОРАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА
В.Ю. Ольшанский*, К.Г. Бахтин, В.Ю. Михайлов, Ю.Н. Нагар, А.В. Серебряков
* Саратовский государственный университет, кафедра вычислительного эксперимента в механике, Энгельсский технологический институт (филиал Саратовского государственного технического университета), кафедра высшей математики и механики E-mail: olsh@techn.sstu.ru
Рассмотрена математическая модель процесса получения изделий из порошка окисленного графита путем терморасширения при нагреве в металлической форме. Выявленное в численном эксперименте выравнивание температур к заключительной стадии процесса позволяет построить асимптотическое разложение решения в одномерном случае. Поле температур и скоростей в двумерном осесимметричном случае определяется численно методом сквозного счета.
Mathematical Simulating Thermal Exfoliation of Graphite
V.Y. Olshansky, K.G. Bakhtin, V.Y. Mikhailov, Y.N. Nagar, A.V. Serebrjakov
There has been examined a mathematical model of item obtaining from the oxidized graphite powder by means of exfoliating at heating in a metal mould. Temperature equaling discovered in a numerical experiment by the ultimate stage of the process allows to build asymptotic expansion of the solution in one-dimensional case. Temperature- and speeds fields in two-dimensional axisymmetric case are numerically defined by the shock-capturing method.
Изделия из терморасширенного графита (ТРГ) широко используются в технике в силу своих теплоизолирующих и огнезащитных свойств и устойчивости к агрессивным средам. Одним из перспективных способов получения изделий заданной формы и пористости является терморасширение окисленного графита (ОГ) в газопроницаемой форме [1] — так называемое химическое прессование.
© В.Ю. Ольшанский, К.Г. Бахтин, В.Ю. Михайлов, Ю.Н. Нагар, А.В. Серебряков, 2007
63
