av = Vi
2 m . Vw"+8-3w л!т +8 + w4 ■m'+— (arctg - —arctg----------), (15)
л/2
2v2\'T
/77"
2V2
0.4 A
связывающее исходный параметр a и m.
На рис. 3 в плоскости X,Y изображена картина нерегулярной рефракции ударной волны в воде со значением исходного параметра av = 0.5. Линии равных значений давления (совпадающие с линиями ц - const) построены согласно решениям (10) при т=0.667, ц"=0.555, (12), (14) из [1].
Построенное численное решение качественно и достаточно точно согласуется с аналитическим решением, которое было построено в [1].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Шиндяпин Г. П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жесткой стенки в идеальном газе // ЖВМ и МФ. 1980. № 1. С. 249-254.
2 .Шиндяпин Г. П., Матутин A.A. Аналитическое исследование ударно-волновых структур при нелинейной рефракции ударных волн на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды // Механика и процессы управления: Сб. науч. гр. Екатеринбург: УРОРАН, 2004. С. 190 - 197.
УДК. 533.6.01 1
Е. О. Немцова, И. А. Чернов
ПОЛУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ТРАНСЗВУКОВЫХ РЕШЕНИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
В статье рассматривается параметрический метод Б. И. Заславского [1, 2], позволяющий получить точные решения, которые являются обобщением некоторых известных автомодельных решений [3].
Рассмотрим классическое трансзвуковое течение идеального газа. Будем считать, что поток стационарный изэнергетический и изэнтропиче-ский. Основная система уравнений, характеризующих плоскопараллельные течения, имеет вид
иих=уу, Ух=иу. (1)
Известен несимметричный класс решений Заславского - Клепиковой для системы (1), в - параметр:
и = и0 ) + Ы, (5)у + и2 О )у2 , V = У0(лО + ц(.г)у + У2(л:)у2 + У3(л)у3,
Х = Х0($) + Х1 + (2)
Подставляя (2) в (1), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов в (2), с целью упрощения записи опускаем аргументы у функций:
_ ц0-*Г - _-(4х1д-Ц1)
- 2' 1 - . 2 ' м2 - и2 - 4 5
, —2(и2*1 - у2 + , _ Зу3 - 4« и2
и2 --
и2 ■■
, _-(И|Х1-У1)
"о - рг~> и2 - 45
_ »о^-У^!
о _ . т ' и-, - 4$
, щ - + 2^0"-. - 2У)5 , __ 3(И]М2 - у-,*, ) - 4г>2.? , _ -2(Зу35 - к,)
V; =-----—^-У2_---, У3- —-2 ■
Из этой системы можно выделить нелинейное ядро (из пятого и девятого уравнений) для и'2, у3.
Применим технологию восстановления остальных коэффициентов. Известным считаем коэффициент м2(5)- Действительно, нелинейное ядро можно свести к одному уравнению 2-го порядка относительно ¡^(.г), частное решение которого «2(д)=52. Восстановленное решение для (2) имеет вид =
4 4 4
27 В3С32 , 9 С4С3В2 3 С5В
2156 г11 56 г
и = В216уг +1
18 В С-
3,
2.6
7 /
+ г-ВС, +САВ^
5 I5
2 784 г8
9 С4С3В3 7 /
+ + ^С2в¥ -+ + |г4С2,
? '4 1 4
Г
V = Л/в+ |^с4В3,-9 -/8С:В2^2 + ^ ^,9В3С;
117
28 г
^
1>3/-2
-4 "
-/4В2С, - 6/С5В3 - ^/' ЙС2 +1/ВГ,С, - Г8В2С4С, +
27 В5 С2 117,04„_ , ^
-----+ — / В С4С3 у +
49 с5 28 1
12 10976 г2
-ВС,С,Г --ВСгГ4' +
27С,В3С, 27 С,84С\2
28 ¿3 784 /6 187
27 СЩС± + Ш 4 2 2 _1С С2В¥ бсз +с _
28 /5 112 3 4 4 1 4 12 ' 7 _ 27 0^ _ звзСС{ _ 1ССВ2?4 + 9 с з 1
28 г6 2 2 8 ' 4 |
Здесь Си С2, С3, С4, С5, С6, С7, 5 - константы.
Заметим, что в представлении (2) мы брали старшие коэффициенты как функции параметра 5 и тем самым полученный результат не включает так называемые потерянные решения, когда старшие коэффициенты в (2) константы.
' 5г9 + 1 »г6В -15г3С, +15ВУ + ЗОС) +60С^
60Dz
(Bz + z4)y + Dy2,
С 1 ^
— + г2С, --25(3В + г3) \ + (20Вг- 4£>г )у + 402у2,
и з ;
V = {■- Вг9 + В2:6 + - (-35С, + + В3 )г3 + С, ] + ^3 3 У
+ 2Р(ЗС1-6г3С1+12^ + 2/ + ЗЛУ),+ (4д2& +1 4)/ + 16о3/
Зг 3
Здесь С,, С2, С3, О, В - произвольные постоянные.
Наряду с решением Заславского (2) существует класс однопарамет-рических решений, ассоциированный с п- 3 .
Аналогично несимметричному решению (2) можно воспользоваться технологией восстановления коэффициентов и получить следующее точное решение (
х=А£ф+1£1+с3+в{4у\ « = я¥/ +
5 ( 2 г
: ( j = г4) для !/4(î)=52 :
У:
t 3 2 1 у 3 /б t
v = -|>'DSYz+| ——— (3)
--Рве} + С,.
4 1 3
Здесь Ci, С2, С3, В - константы.
Решения вида (2) как обобщение симметричного решения Заславского - Клепиковой описывают трансзвуковые течения для показателей автомодельное™ и = 2, « = 4/5, « = 5/4 при и = 0. А решения вида (3) - для « = 3, « = 5/3, « = 6/5, « = 3/5. Необходимо рассмотреть автомодельные решения для соответствующих показателей автомодельное™, найти для них параметрическое представление и убедиться в его соответствии с решениями вида (2). Таким образом, на базе основных автомодельных решений параметрическим методом могут быть полнены точные решения, являющиеся их обобщением.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Заславский Б. И. О нелинейном взаимодействии сферической ударной волны, возникшей в результате взрыва заглубленного заряда со свободной поверхностью воды /ЛПМТФ. 1964. Вып. 4. С. 57-65.
2. Севастьянов Г. Д. Структура элементарных околозвуковых решений // Аэродинамика. Нелинейные проблемы: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. \н-та. 1997. Вып. 14(17). С. 109-117.
3. Фалъкович С. В., Чернов 11. А. Обтекание тела вращения звуковым потоком газа // ПММ. 1964. Т. 28. С. 280 - 284.
УДК 517.958:536.2 В. Ю. Ольшанский, В. Ю. Михайлов, А. В. Серебряков
РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ГРАНИЦ РАЗДЕЛА КОМПОНЕНТ В ОДНОЙ МОДЕЛИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ТЕРМИЧЕСКОМ РАСЩЕПЛЕНИИ ГРАФИТА
Рассмотрим термическое расщепление предварительно окисленного графита (ОГ) в случае, когда два размера технологической формы много больше третьего. Расчеты проводятся на основе одномерной модели для бесконечного слоя, помещенного между двумя пластинами, через которые осуществляется нагрев. В первоначальной засыпке технологической формы /%/£ <1, где - толщина слоя графита и I - расстояние между пластинами, принятое за характерную длину при переходе к безразмерным величинам.
В рамках предложенной модели процесс термического расщепления разделяется на три стадии. Первая стадия описывает нагрев слоя ОГ за счет конвективного теплообмена через нижнее основание. Между слоем графита и верхней пластиной имеется воздушная прослойка. Интенсивность теплообмена с этой прослойкой считается пренебрежимо малой. Распределение температуры в слое ОГ определяется из решения задачи нестационарной теплопроводности:
^Ро^-^Щ; 0 <х<\/Ь, 0</</„ (1)
дг Вх
К;(х,0)= и0, 0 <х<И0И, (2)
^ - в№ ■ щ(О,/) + Вг^ -их = 0, =0. (3)
&1х=0 3х1х=Л0/£
Здесь Ро, В1 - соответственно числа Фурье и Био. Первая стадия завершается в момент Г = /], для которого и(0, /¡) = и». Здесь и, - температура, при которой возникает фаза терморасщепленного графита (ТРГ).