Решение задачи Стефана методом выпрямления фронтов для расчета процесса термического расщепления графита Текст научной статьи по специальности «Физика»

Проведённый вычислительный эксперимент показал, что в потоке за волной разряжения формируется «висячая» УВ. Впервые указанный эффект возникает при av = 2,098. Протяженность УВ возрастает при возрастании параметра av (av >2,098).

Распределение линий равного давления (ц и v - параметры скорости) за фронтом УВ характеризует область больших градиентов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шиндяпин Г. П. Об особенности «сверхзвукового» взаимодействия слабых ударных волн и задача преломления слабой ударной волны в воде на свободной поверхности // Аэродинамика. Саратов, 1974. Вып. 3 (6).

2. Шиндяпин Г. П., Ковалев А. Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. Саратов, 1990. 4.2.

3. Шиндяпин Г. П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жёсткой стенки в идеальном газе // ВМ и МФ. 1980. № 1.

УДК 517.958:536.2 В. Ю. Михайлов, В. Ю. Ольшанский, A.B. Серебряков

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА МЕТОДОМ

ВЫПРЯМЛЕНИЯ ФРОНТОВ ДЛЯ РАСЧЁТА ПРОЦЕССА ТЕРМИЧЕСКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА

Рассматривается модель процесса термического расщепления предварительного окисленного графита. Процесс состоит из нескольких стадий, которые различаются по условиям нагрева, расширения и наличию фаз окисленного графита (ОГ) и терморасщеплённого графита (ТРГ).

Рассмотрим тонкий слой окисленного графита, который находится между пластинами и подвергается нагреву через нижнее основание. Между верхним основанием слоя и верхней пластиной оставлен воздушный зазор. Это необходимо для свободного расширения графита, так как при термическом расщеплении (вспенивании) объём графита значительно увеличивается.

В рамках данной статьи ограничимся рассмотрением стадии, на которой возле нижнего основания идёт процесс термического расщепления графита до момента его касания с верхней пластиной.

Введём неподвижную систему отсчёта Ох и подвижную систему О'х , располагая О' на свободной поверхности графита х = ф(г) и положив х' = х- ф(г).

Обозначим х = £(/) - координата границы фаз ОГ и ТРГ" в неподвижной системе отсчёта. Пусть к = const, к > 1 - относительное изменение объёма графита при термическом расщеплении. Тогда имеет место ра-

венство ф(?)= /¡о + (1 - — ] ■ £(/)> гДе ^о ~ первоначальная толщина слоя

графита. Выберем за начало отсчёта / = 0 момент времени, в который начинается вспенивание. Рассматриваемая стадия завершается в момент ? = ?), когда слой графита касается верхней пластины, то есть ф(/,) = /. При

этом £(*,) = —т-(/-А0). к -1

Распределение температуры может быть найдено как решение

следующей краевой задачи:

0<х<ф), 0 < / < ; (1)

от дх

0 < ? < ; (2)

щ(х',0)=и0, — к0 < х' < 0 ; (3) ди

—= 0 при х' = 0; (4)

дх

и, (*',/) = м, при х' = ^(/)-ф(/); (5)

и2{х,1)=ив при х = (6)

и2{х,()= и, при х = £,(г); (7)

дх

= к2-

8х

*=£(/) ж

В формулах (1) - (8) обозначено: (/ = 1,2) - коэффициенты теплопроводности и температуропроводности соответственно; и0, и., ив -начальная температура графита, температура фазового перехода и температура внешней среды соответственно; X ■ Р) - энтальпия фазового перехода, отнесённая к единице объёма. Индекс / = 1 относится к ОГ, г = 2 - к ТРГ. Условие на свободной поверхности графита принято в виде (4), исходя из сравнительно малой величины коэффициента теплообмена с воздухом.

Краевая задача при наличии условий (5), (7), (8) известна как задача Стефана. Используем для её решения метод выпрямления фронтов [1]. Перейдём в области ОГ к переменным

4(0-ф(')

и в области ТРГ к переменным

1=^- (ю)

Замены вида (9), (10) позволяют искать решение в прямоугольных областях лхт = [0;1]х[0;т(1)] и С х т = [0;1]х [о;т(|)]. Уравнения (1), (2) приводятся соответственно к виду

2-х дх

2

ои 7 ■ — = а? дх 1

д2и / г\ Е, сГс, ди

д2и (1-л)-(с,-ф) ди

2

(И

(12)

2 ■ т дх ' дг\2 2 • т • к с/х дг| Так как т-сх(т), где а(т) - ограниченная функция, то коэффициент при производной по времени в уравнении (11) обращается в ноль

А

при т = 0. Замена т = е позволяет избежать этой особенности при организации вычислительного процесса. Начальному моменту времени соответствует 0о<О, ¡90|»1. Начальное распределение температур при 0 = 6О бралось из асимптотического разложения при г а 0 (учитывалась главная часть, даваемая автомодельным решением).

В дальнейшем используется аппроксимация вида £,(()= ^(т2 )= т • а(т), где а(т) - кусочно-линейная функция. Отрезок [0;т(1)] разбивается на шаги по времени. Полагаем

а(т)=аДт) = а,_1(т,.)+Р, • —-1

х,-

при Т; < т < т<+1.

Коэффициент Р, для очередного шага по времени определяется из условия (8), которое в новых переменных принимает вид

1

ди.

Ф(*М(/) Зп

л=о

_ 2 т *

+ Х.-Р,

4=0

л

Л '

Тогда при Г = I, получим

р,.=-а(х,) +

2-х,-

Эи,( 0, г,)

ои2(0,т,)]

0.4

0 3

0.1

Граница раздела фач /

Свободная

поверхность

графита

0.4

06

0 8

После того, как определена зависимость

ймИ

при те[т;;т/+1] распределения м,(г1,т), и2(с.х) находим численно с помощью метода конечных элементов. На рисунке в безразмерных переменных приведены результаты расчётов

движения границы раздела фаз и свободной поверхности графита при следующих значениях параметров:

ив/и.=2,а22/а* =13.18, к21кх = 0.1, /г0// = 0.4, к = 100.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самарский А. А., Вабкщевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едито-риал УРСС, 2003. 784 с.

УДК 533.6.011

Е. О. Немцова, И. А. Чернов

СТРУКТУРНАЯ ФУНКЦИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ КВАЗИТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ

При сверхзвуковом течении около крыла, передняя кромка которого имеет угол стреловидности, близкий к углу Маха, компонента скорости потока, нормальная к кромке, близка к скорости звука, В результате проявляются свойства трансзвукового течения. При изучении конических течений около треугольного крыла используют рассмотрение течения в плоскости, перпендикулярной скорости набегающего потока, где возникает система двумерных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа. Обсуждается однопараметрический метод построения её частных решений, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Рассмотрим систему уравнений для компонент скорости в за-

висимости от координат (х,у)

(Аи + Вх + К)их+уу+Си = 0, иу-ух=0 (А, В, К, С = сош!). (1)

Здесь:

1) в случае классических трансзвуковых плоскопараллельных течений [1, с. 43]

/ ? \'2,ъ

Л = -(у + 1), В = 0, К = [\-Мп) - параметр трансзвукового подобия,

С = 0; (2)

2) для квазитрансзвуковых конических течений [1, с. 356]

^ = -(у + 1)М^/р2, В = 2Л, К = 0, С = -1; (3)

3) в теории коротких волн [2, с. 189]

А = 2, В = -2, К = 0, С = 1. (4)

Система (1) эквивалентна одному уравнению для и = и(х,з>)

[_2(Аи + Вх)их+Си\=и^: (5)