Рис. 3
В случае (рис. 3) близких значений скоростей звука Cg(y+), Cq(у~) (с,,- 0(1)) в отличие от случая с существенно различающимися скоростями звука (рис. 2) интенсивность возмущений в области, занятой газом, сравнима с интенсивностью возмущений в области ГЖС и в процессе рефракции значительная часть энергии передается из газожидкостной среды в газовую.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шинднпин Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997, 104 с.
2. Кедринскии В. К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 435 с.
3. Шиндяпин Г. П., Маркушин А. Г. Рефракция ударной волны на свободной поверхности в газожидкостной среде с образованием волны разрежения // Аэродинамика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 12 (15). С. 24 - 32.
УДК 517.958:536.2
Ю. Н. Нагар
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
РАЗДЕЛА В ЗАДАЧЕ ТЕРМОРАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим процесс термического расщепления предварительно окисленного графита (ОГ), проходящий между двумя нагреваемыми пластинами пресс-формы. Ограничимся одномерным случаем, когда координата х отсчитывается по толщине слоя. Пусть первоначальная толщина слоя ОГ равна , расстояние между пластинами - Ь.
До начала процесса в момент / = Г0 слой ОГ должен нагреться до температуры термического расщепления (вспенивания) ОГ' и,. В рассматриваемом процессе выделим несколько стадий:
1) возникает фаза терморасщепленного графита (ТРГ) и начинается вспенивание, происходит свободное увеличение толщины пакета слоев ТРГ-ОГ до момента г = , когда ОГ коснется верхней пластины;
2) слой ОГ нагревается через верхнее основание вплоть до момента
г = г2;
3) в момент I = 12 появляется второй, верхний слой ТРГ. Эта стадия характеризуется изменением плотности ТРГ вследствие того, что весь объем между пластинами занят графитом. При этом
Р2.=Р2.=Р.|М1-1/к), (Л\ лД^н^Ьг1^- (1) I ^Лч+^Ач) 1-1/к
Здесь Р2н>Р2в> Р| ~ плотность нижнего, верхнего слоёв ТРГ и ОГ соответственно, !:„(?), - толщина этих слоёв; к = сопз1(к>1) -
относительное изменение объёма при вспенивании ОГ.
Процесс завершается в момент времени г = /3, когда границы раздела х = и х = 1-4в(') встречаются.
Будем рассматривать последнюю стадию, для которой получаем краевую задачу нестационарной теплопроводности. Распределения температур удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям (первого рода), в которые входят неизвестные положения границ Е,н(г)
и $,(/):
= , ¿ = 1,2,3, Р,а1, р2=рз=р(?)=р2н/р1, (2)
дг ох\ дх )
м2(0,/) = из(1>г) = нао >1; (3)
Щ {ШЛ= "2 = щ 0-^(0-0 = "3 (1 - 4в (0-0 = 1, (4)
г дих к2 ди2 дх к{ дх
= л(4н-Ц
к2 диъ дщ дх дх
=л(4в+4г). (5)
Здесь и - температура, к - коэффициент теплопроводности, г = 1 для ОГ,
А.
I = 2,3 для нижнего и верхнего слоев ТРГ соответственно; Л =--
( /•" - число Фурье, Л. - количество тепла, затрачиваемое на переход единицы массы ОГ в ТРГ), 4г (0 — скорость движения всей массы ОГ.
Коэффициент теплопроводности ТРГ считаем известной функцией от его плотности: к2 = к2(р) = к2 -/(р)
Исходя из значений теплофизических параметров ОГ и ТРГ, можно ввести малый параметр Е -шк^/к^ . Для одного из типовых наборов таких параметров имеем: к®/к, = 0,1; = 3,9; Р® =51,4; Л = 0,21; к = 20. При
этом можно положить Т7, ~ 1, = к2 /е = к2 ■ е 1, Л = Л ■ в. Применим асимптотические разложения
4 =0 4=0
00 00 00
"1 (*>')= IX "2<>>0 = 2Х 'и2к(хЛ «з(*.0 = -и3к(х>0-(6)
4-0 4=0 4=0
Для главных членов этих разложений получим уравнения
V- /(р)
ох
ди
20
сяс
зо
&
= 0,
Эи
ю
а/
я
52«
причем и10 должен удовлетворять условиям
аГ
= 0, ^
= 0.
(7) (В) (9)
Из первых двух уравнений (8) с учетом условий (3) находим
И20М = 1 *зоМ= + - х).
ЬнО ЬвО
Численный эксперимент [1] показывает, что к началу третьей стадии распределение температур по координате в ТРГ становится близким к линейному, а в ОГ - близко к постоянному значению и = и,. Поэтому можно положить их = 1. Тогда условия (5) примут вид
Зи30
= л.(4н0-4л), -Лр)•
дх
= л -(4.0+ £,<,). (10)
Перепишем уравнения (10), учитывая (9),
/(Р) = 4н0 " 4г0> Др)^ = + Ьго.
(И)
-нО
= в0
здесь а =(ив - 1)/Л.
Рассмотрим случай, когда теплопроводность ТРГ линейно зависит от плотности, т.е. /(р) = 1 + у(р-р0). Введем новую переменную времени
Г = а • (/ - ) ем систему
и ооозначим г,
= Ы'). = Р = 1 - йо ■ Получа-
=
(1+у)-уР
г2(г]-г2) с начальными условиями
,(1 + у)-УМ
= 1
/
г,(0) = а, (0) = 0.
(12) (13)
Отсюда находим
/ ч г, а
2к2 (г,-р)'
,2 '
4А
2 2 о
г, -а В , ч
2 А А
В1 , г,+В/А а4 ,
— -1п—-----
2 а + 5/Л к4
ЛР
з(л + 1)
1 (л-1)2
а') {2 2(А+1)2) Цг,-(3)2 о2, (_1 К1 Л2(Л-1)2 ^(г.-рХа + ДМ)
А = \ + у, 5 = уР.
В итоге для и £во(0 получаем параметрические задания вида
Г^нО 0)=21 (г,), ¡*в0 (0 = г 2 (г,),
(14)
Г=Г(г |)/а+/2,
/ = Г(г,)/а + /2,
где г-
■1б[а,1]. (15)
По формулам (15) были построены кривые, представляющие собой движение границ раздела х = £н(г) и х = ¿;в(г) с учетом найденных главных членов разложений. На рисунке приведено сравнение результатов для различных значений у с результатом, полученным для случая постоянного коэффициента теплопроводности (у = 0), при их /и, = 2 .
О 35
0.25
1 X
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ольшанский В. Ю., Серебряков А. В., Михайлов В. Ю. Расчет движения границ раздела компонент в одной модели тепломассопереноса при термическом расщеплении графита // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005 Вып. 7. С. 24-28.
УДК 533.6.011
Е. О. Немцова
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА В СОПЛОВОМ ТЕЧЕНИИ
Основной вопрос, который рассматривается в работе - склейка течения Мейера и несимметричного течения Томотики-Тамады на параболической ударной волне. Эта проблема в случае симметричного течения Т.-Т. исследовалась О.С. Рыжовым [1]. Основные уравнения - это уравнения К.-Ф. Строятся точные решения с ударной волной (УВ). Цель данной статьи - осуществление склейки двух различных течений на УВ. Ее форма выбирается в виде параболы 2-й степени общего вида. Для течения Мейера ( А, = const, это ускорение газа в центре сопла):
2
и - А,х н——у , 1 2
.2 А з V = А\ху + —-у
(1)
= и
(2)
и несимметричного решения Т.-Т., полученного в аналитическом виде [2, 3], из условий на УВ
сЬс _ [V] ( сЬс сЫ [г/] \<1у ^ возможны 3 случая склейки:
х2= 1/2,хш= 1/5; х2 = -1/4,х10 = -1/4; х2 = -1/16, х,0= 1/32. (3) Результаты склейки отображены на следующих графиках (рис. 1 — 6).
"0.5- 1.93 и\ = 2.00 Щ.5 = 2.18 «2= 2.50 "2 5 = 2.93 из = 3.5
"о.5 =-1-43 «,= -0.87 щ 5 = -0.18 м2=0.62 «2.5 — 1.56 «3=2.62
Рис. 1. Линии и = const, А \ = 1, х2 = -1/4, х\о~ -1/4