CC BY
18
Для неоднородного кольца отношение критической силы к весу будет вычисляться по формуле
н -о 2л+ 3а2л +12,2 +2.8а2
Р =Р -г—-• (6)
2л+ 4 а
Сравнивая формулы (5) и (6) для различных значений а, можно заметить, что неоднородное кольцо в весовом отношении более выгодно, чем неоднородное. Более точные значения для критической силы потери устойчивости неоднородного стержня и кольца можно получить из дифференциальных уравнений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Антоненко Э. В., Хлопцева Н. С. Устойчивость неоднородных элементов обо-лочечных конструкций // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 39 - 42.
2. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник: В 3 т. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. 568 с.
3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1974. 640 с.
УДК 629
Ю. Н. Челноков
ОПТИМАЛЬНАЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПОСРЕДСТВОМ РЕАКТИВНОЙ ТЯГИ, ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ*
Рассматривается задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА) с помощью управления, ортогонального плоскости орбиты. При таком управлении орбита КА поворачивается в пространстве как неизменяемая фигура. Для решения задачи используется кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты и принцип максимума.
1. Постановка задачи. Требуется определить ограниченное по модулю управление и:
" "max < " £ "max < M=±|u|, (1)
ортогональное плоскости орбиты космического аппарата, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями
IcüJdt = к о юп, шл = со[ii + со212+ шз>з = {г/с) и ii + (с/г2) ¡з, (2) dyldt = clr2, с = const, г =p/(l + е costp), (3)
из заданного начального состояния
i = i0= 0, ф(0) = сро, Х(0) = Х(0)= А(0) о (cos(9o/2) + i3 sin(<p0/2)) (4)
' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-01-00347).
231
в конечное состояние, принадлежащее многообразию
t = tu Х.<1)= = Л* о (cos(vi/2) + ¡з sin((pi/2)), (5)
и минимизирующее функционал
J= j0'' (а, + а2 и2) dt, а,, а2 = const > О (6)
или функционал
J= J'1 (ai + а2 | и\) dt, а|, а2 = const > 0, (7)
Мри <Х| = 1, а2 = 0 имеем задачу переориентации орбиты, оптимальную в смысле быстродействия.
Фигурирующая в краевых условиях кватернионная переменная Л характеризует ориентацию орбиты КА. Эта переменная связана с фазовой кватернионной переменной >. соотношением
i-= Ло (cos(<p/2) + ij sin(<p/2)), где ср - истинная аномалия.
В уравнениях (2), (3) г - модуль радиуса-вектора г центра масс КА, с - постоянная площадей, ^ - кватернион ориентации системы координат г), ось г), которой направлена вдоль радиуса-вектора КА, а ось г|3 перпендикулярна плоскости орбиты, р не- параметр и эксцентриситет орбиты. Величины с, р, е, фо, и А заданы. Подлежит определению оптимальный закон управления и = u{t) и величины Л, фь
Компоненты Л,, (J = 0,3) кватерниона Л удовлетворяют условию Ло"+ Ai2 + Л22 + Аз2 = 1, поэтому краевое условие (5) заменим на условие
vect [ X (f,) о А' о (cos(<pi/2) + i3 sin((p,/2))] =0, (8)
где верхняя волна означает сопряженный кватернион.
Из (8) получаются следующие скалярные условия на правом конце траектории:
при t = а, = 0, а2 = 0, а0 зт(ф/2) + соз(ф/2) = 0, (9)
или следующие условия:
при t - t\ а\ = 0, а2 = 0, а} + вш(ф/2) = 0, где aJ5 (J = 0,3) - компоненты кватерниона а = к с Л'
2. Законы оптимального управления. Поставленную задачу будем решать с помощью принципа максимума. Для этого введем дополнительные переменные ц и сопряженные по отношению к фазовым переменным X и ф. Функция Гамильтона - Понтрягина имеет вид Н = - а + 'Л [(r/ф, и + (с/гг)(щ+ 2 х)], где Uj, (/=0,3) - компоненты кватерниона и = 1 о ц; для функционала (6) а = а| + а2 и2, для функционала (7) а = <Х| + а2 | и |, в случае быстродействия 0=1.
Система уравнений для сопряженных переменных имеет вид
2d\i!dt = ц о ю;*, о>/ = сол= <В| i| + (о3 i3 = (r/c) w i, + (с/г2) ¡3, (10) d%!dt = [ (1/гХ из + 2 х) ~ (г2/(1сг)) и,«] dr/dt. (11)
Уравнение (11) может быть записано в другом виде:
232
d(cxlr2)ldt = d((dy!dt) f)/dt = [- '/2 [(u,/c) и + (c/r3) u3] dr/dt. (12) Из (11) или (12) видно, что в случае круговой орбиты
Х = Хо = const, (с/г2) х = const. (13)
Законы оптимального управления находятся из условий максимума функции Н по переменной и с учетом наложенного ограничения (1) и имеют вид:
а) в случае а= 1 (быстродействия)
f 1
, если v, > О, если v, < 0;
с) в случае а = at + а2 и 1 г
1
с) в случае a = a] + а2 | и |
4а 2 с '
umaxsignvl. 0.2
■ V, <un
если
нх2 1 г.
(14)
(15)
4си
lv, > и„
umaxS1gnv[>
о,
1 Г
если---iv
2а-> с
-1>0,
Vue[0,umax],
если
если
2а
1 -|v|| -1 < 0,
(16)
-1 = 0.
3. Условия трансверсальности. Вводя неопределенные множители Лагранжа уь Уг, Уз, получим условия трансверсальности, соответствующие многообразию конечных состояний (5), в следующем виде:
при Г = Г,, Ц- Л* О у = 0, У = У! ¡1 +72 ¡2 +УЗ ¡3,
Х+1/2УзСО5(ф/2) = 0. (17)
Из (17) получаем следующие условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа:
при Г = ?1 Д0* |До + А,* Ц1 + А2* Ц2 + Аз* Из = 0,
2 х + (Ао* цз - А,* м-2 + А2* ц, - А3* ц<,) со5(ср/2) = 0. (18)
Вместо условий (18) могут быть использованы другие формы условий трансверсальности, получаемые из (17) и имеющие вид при Г = Г, у0 соэ(ф/2) - у3 5т(<р/2) = 0,
2 X + [уз соэ(ф/2) + Уо зт(ф/2)] соз(ф/2) = 0
или
при I = 2 х + vз = 0, Уо соэ(ф/2) + 2 х зт(ф/2) = 0.
4. Анализ задачи. Задача сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений (2), (3) (14) (или (15), или (16)), (10), (11) десятого
порядка и восемью краевыми условиями (4), (9), которые необходимо дополнить двумя условиями трансверсальности (18) и равенством
имеющим место для оптимального управления и° и оптимальной траектории.
Уравнения задачи имеют интегралы
II >- II2 = к>2 + h2 + h2 + = || X (0)||2 = 1,
|| ц ||2 = цо2 + Ц.2 + Иг2 + Из2 = II Ц (0)||2 = const,
щк ц,х,"°) = о,
Ц О X = V = V0 + Vi* i| + V2 ¡2 + v3* i3 = const,
V|2 + v22 + v32 = vv2 = v/2 = const, vv = vect (X. о ц).
В случае круговой орбиты уравнения задачи имеют также первый интеграл (13).
Учет первых интегралов и использование в качестве новых переменных компонент vk, (к = 1,2,3) кватерниона v = X о ц позволяют понизить порядок полученной системы дифференциальных уравнений краевой задачи (без ее усложнения) на 6 единиц и привести ее к уравнениям
сЫх! dt = (с! г2) v2, dv2/ dt = - (с! г1) V| + (r/c)v3u, dv}/dt = - (г / с) v2 и, дополняемым уравнением (11). В случае круговой орбиты уравнение (11) заменяется первым интегралом (13), и размерность краевой задачи понижается еще на единицу.
УДК 533.6.011
И. А. Чернов
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ
Получены новые законы сохранения и, в частности, для автомодельного течения, описывающего картину дальнего поля при обтекании тела звуковым потоком.
Система трансзвуковых К-Ф-уравнений в осесимметричном случае с использованием цилиндрических координат (х,у) имеет вид
uux=vy+v/y, uy=vx. (1)
Здесь (u,v) - приведенные компоненты скорости возмущения однородного звукового потока. Если ввести вместо v величину, w = yv, то (1) примет вид
yuux = wy, yuy=wx. (2)
