CC BY
15
4, Шиндяпин Г. П., Матутин А. А. О законах подобия рефракции ударных волн в газовых и газожидкостных средах // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып. 10, С, 146-150,
5, Шиндяпин Г. П. Об особенности «сверхзвукового» взаимодействия слабых ударных волн и задача преломления слабой ударной волны в воде на свободной поверхности // Аэродинамика : межвуз, науч. сб. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1974, Вып. 3 (6). С. 92-104.
УДК 629
Д. А. Шишков, Ю. Н. Челноков, И. А. Панкратов
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Представленная работа является развитием [1-2].
Движение центра масс космического аппарата (КА) будем рассматривать в инерциальной системе координат X - геоцентрической экваториальной системе координат ОХ\Х2Х3(Х) с началом в центре О притяжения Земли.
Ось ОХ3 этой системы координат направлена вдоль оси суточного вращения Земли, оси ОХ1 и ОХ2 лежат в плоскости экватора Земли, ось ОХ1 направлена в точку весеннего равноденствия для Земли, ось ОХ2 дополняет систему до правой тройки веторов.
Для решения задачи переориентации орбиты космического аппарата (КА) используем уравнения орбитальной системы координат п в параметрах Эйлера:
dA r. c . dp c p
2— = А О , Wv = U~ il + %3,~T7 = -o, r = —-, c = const, (1)
dt c r dt r2 1 + e cos p
где А = Ao+Aii1+A2i2+A3i3 - кватернион ориентации орбитальной системы координат n в инерциальной системе координат X, i1, i2, i3 - вектор-
О
ния, - отображение вектора w на базис n Aj ,j = 0,1, 2,3 - параметры Эйлера, характеризующие ориентацию орбитальной системы координат.
Кватернион А связан с кватернионом Л ориентации орбиты КА соотношением
А = Л о (cos 2 + Í3 sin Р). (2)
Требуется определить ограниченно по модулю управление и:
umax — u — umax,u — ±|u|j (3)
ортогональное плоскости орбиты К А, переводящее орбиту К А, движение центра масс которого описывается уравнениями (1), из заданного начального состояния
t = to = 0, —(0) = —°, Л(0) = Л° = Л0 О (cos —0 + ¿3 sin —0) (4) в конечное состояние, принадлежащее многообразию
t = t* =?, —(t*) = —*, Л(Г) = Л* = Л* о (cos —* + ¿з sin —) (5)
2 2
и минимизирующее функционал
»г
J = / («i + a2u ); ai,a2 = const > 0. (6)
0
Компоненты Л^ кватерниона Л удовлетворяют условию Л°+Л1+Л2+ +Л3 = 1, поэтому краевое кватерннонное условие (5) заменим на условие
о* о*
vect\\(t*) о Л* о (cos — + ¿з sin —)] = 0. (7)
2 2
Поставленная задача решается с помощью принципа максимума. Для этого введём дополнительные переменные ^ = + д1г1 + д2¿2 + M3¿3 и х сопряжённые по отношению к фазовым переменным Л и —. Функция Гамильтона IЬнпряпша имеет вид
1 — c
H = -а + -Viu + -2 (V3 + 2х)], (8)
2 С —
где v1 , v3 - компонен ты v = Л о Для функцио пала Ja = а1 + a2u2. Система уравнений для сопряжённых переменных примет вид
1х Л, п ч г2 (
2А = д ◦ "", ^ = [г+ 2х>1и - 2С2и Ц. (9)
Закон оптимального управления находится из условий максимума функции Н по переменной и с учётом наложенного ограничения (3) и имеет вид
1 г
и = <
4а2 с
итах819ГШ1
VI,
1 ГI I
"Ы < и
4а2 с 1 г i i
402 См- и
(ю)
Условия трансверсальности, не содержащие неопределённых множителей Лагранжа, имеют вид
тах
А0ДО + А!М1 + Л2М2 + Л3дз = 0,2х + (Л0Мз + Л?М2 + А2м1 + ЛЗйо) = 0 (11)
Таким образом, задача оптимальное переориентации орбиты К А сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений (1), (9), (10) десятого порядка и восемью краевыми условиями (4), (7), которые необходимо дополнить двумя условиями трансверсальности (11) и равенством
= Н0(Л, М, х, и0)|^ = 0. (12)
Рассмотрим понижение размерности сформулированной краевой за-
х х
из рассмотрения. Переходя от переменной ^ к кватернионной переменной V, получим систему восьми дифференциальных уравнений, содержащую уравнения (1) и уравнения для компонент кватерниопа V [3]
С ^2 С Г ^3 Г
= "2 ^ ~ГГ =--2 V1 + "=--(13)
аЬ г2 аЬ г2 с аЬ с
Для численного решения краевой задачи оптимальной переориентации орбиты КА запишем уравнения этой задачи в безразмерных переменных. Безразмерные переменные гъ, Ьъ и управление иъ связаны с размерными переменными г, Ь и управлением и соотношениями: г = = Ягъ, и = итахиъ, Ь = ТЬъ, где Я - характерное расстояние; У,Т - характерные скорость и время соответственно, определяемые соотношениями с Я2
V = ъ,т = Я-.
Яс
Таким образом, вместо системы дифференциальных уравнений краевой задачи десятого порядка имеем систему дифференциальных уравнений восьмого порядка, размерность которой можно понизить ещё на единицу, если перейти к новой независимой переменной р.
dX
~dt
dtp
~dt dv1 ~dt
1X o (ubNrbii + ¿3) 2
= i ,rb =
1
r
1 + e cos t
r
1 dv2 1 . , T b b dv3
= V1 + NrbubV3,
= -Nrbubv2
dt
r
dt
X(0) = X0 = Л0 o (cos ^ + ¿3 sin ^)
2 2
vect[X(t*) o Л* o (cos t- + ¿3 sin t-)] = 0 (15)
22
H % = H 0(v ,u0)|t* =0
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Ks 12-01-00365).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Челноков Ю.Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 895-912,
2, Панкратов И.А., Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат, ун-та. Нов,сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, вып. 1, ч, 1, С, 84-92,
3, Челноков Ю.Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006, Вып. 8, С. 231-234.
