Кватернионное решение задачи оптимальной переориентации плоскости орбиты космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629

Я. В. Лобанков, Ю. Н. Челноков, И. А. Панкратов

КВАТЕРНИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОИТИМАЛЬНОИ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

В работе рассматривается задача оптимальной переориентации плоскости орбиты космического аппарата (КА) в центральном ньютоновском гравитационном поле посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. Подобные задачи уже изучались в [1, 2]. Для решения задачи используется кватернионное уравнение движения центра масс КА, записанное в орбитальной системе координат; при этом КА рассматривается как точка переменной массы.

Движение центра масс КА рассматривается в инерциальной системе координат OX1X2X3 — геоцентрической экваториальной системе координат с началом в центре O притяжения Земли. Введем орбитальную систему координат п связанную с центром масс К А, и систему координат связанную с плоскостью орбиты.

Считаем, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости его орбиты. Тогда орбита К А в процессе управления движением центра масс К А не меняет своей формы и размеров, а поворачивается

и

Дифференциальные уравнения ориентации орбитальной системы координат имеют вид

2 dX/dt = Л о , = ur/c i1 + c/r2 i3, (1)

df/dt = c/r2, r = p/(1 + e cos f), c = const, (2)

где Л = A0 + Aiii + X2i2 + A3i3 — кватернион ориентации орбитальной системы координат КА в инерциальной системе координат OX1X2X3; ij j = 1, 2,3) — мнимые единицы Гамильтона; f — истинная аномалия (угловая переменная, отсчитываемая в плоскости орбиты от ее перицен-

r

вектора r центра масс КА; p и e — параметр и эксцентриситет орбиты; c — постоянная площадей (модуль вектора момента скорости v = dr/dt центра масс КА); u — проекция вектора ускорения и на направление вектора момента скорости центра масс КА (алгебраическая величина реактивного ускорения, перпендикулярного плоскости орбиты КА);^П -отображение вектора ш на базис ц.

Требуется определить ограниченное по модулю управление и:

umax — u — umax < , u ±| U1,

ортогональное плоскости орбиты КА, движение центра масс которого описывается уравнениями (1), (2), переводящее плоскость орбиты КА из заданного начального состояния, описываемого соотношениями

t = to = 0, p(t0) = p0, A(tc) = Л0,

A(to) = Л0 = Л0 о (cos p/2 + ¿3 sin p/2) в требуемое конечное состояние, описываемое соотношениями

t = t*, p(t*) = p*, n*(n1,n2,n3), n1 = 2(Л1Л3 + Л0Л2), n2 = 2(Л2Л3 - Л0Л1), n3 = (Л0)2 - (Л1)2 - (Л2)2 + (Л3)2

и минимизирующее комбинированный функционал качества процесса

t*

J = J(«1 + a2u2)dt, «i, a2 = const > 0,

to

характеризующий время управляемого движения и энергетические затраты на управление.

Здесь n*(i = 1, 2,3) — заданные значения проекций единичного вектора n*, ортогонального плоскости орбиты КА, па оси инерциальной системы координат OX1X2X3 для конечного момента времени t*.

Величины c Р e Р0, Л0 (Л0) и n* заданы. Переменная Л характеризуют собой ориентацию орбиты КА. Начальные значения кватерни-Л

долготы восходящего узла наклонения орбиты I и аргумента перицентра ¡х>п. Подлежат определению оптимальный закон управленияu(t), величины t* и p*.

Задача решается с использованием принципа максимума Понтрягина. В соответствии с ним были введены переменные^ = й +Mi«i +^¿2+^¿3 и х сопряженные по отношению к фазовым переменным Л и p соответственно; а также вспомогательная кватернионная переменная v = = Л о где верхняя волна — символ сопряжения; построены функция Гамильтона I loin рягина. система дифференциальных уравнений для сопряженных переменных и закон оптимального управления. Важно отметить, что кватернионное сопряженное уравнение имеет вид кватернион-ного фазового уравнения в силу самосопряженности последнего.

Функция Гамильтона Понтрягина имеет вид

тт ( r С (V3 \

H = -(ai + a2u ) + u—Vi + Г2 [у + XJ ■

Дифференциальные уравнения для сопряженных переменных найдены в виде

2 d^/dt = ^ о шя, шя = ur/c i1 + c/r2 i3,

dx/dt = dr/dt [(v3 + 2x)/r - v1ur2/2c2] ■

Здесь вектор ш может трактоваться как вектор абсолютной угловой скорости некоторой системы координат q (сопряженной по отношению к орбитальной системе координат п), отображение этого вектора

на базис q.

Закон оптимального управления, найденный из условия максимума

u

u=

rvi/4a2c, если r|vi|/4a2c < umax, Umax sign(vi), если r| Vi|/4a2c > ur

0.8

0.4

Х-, о

-0.4

-0.8

5U—

>

0.4 0.8

1.2

гяН

1,6

2.4 2.8

Рис. 1. Фазовые переменные Рис. 2. Оптимальное управление

Для реализации численного решения краевой задачи была разработана программа, использующая комбинацию метода Рунге Кутта 4-го порядка точности, модифицированного метода Ньютона и метода градиентного спуска. Построены примеры численного решения задачи оптимальной переориентации плоскости орбиты КА из заданного начального положения в конечное со значениями абсолютной долготы восходящего узла 215°15/ и наклонения орбиты 64°8/, соответствующими плоскости орбиты спутников орбитальной группировки ГЛОНАСС. На рис. 1, рис. 2 приведены законы изменения фазовых переменных и управления для случая, когда отличие в угловой мере между начальным и конечным положениями орбит составляло порядка 15°; е = 0; а\ = 1, а2 = 1.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 1201-00365).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2012, Т, 12, вып. 3, С, 87-95,

2, Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 895-912,

УДК 629

И. А. Панкратов, Я. Г. Сапунков, Ю. Н. Челноков

ОСОБЫЙ РЕЖИМ В ЗАДАЧЕ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

В настоящей работе исследуется следующая задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА): необходимо определить ограниченное по модулю управление и :

итах — и — итах < ОС^ и ±|и1,

ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями

„¿А г . с .

2— = А о , = и-г1 +—^ гз, а£ с г2

dp c p

dt r2 ' 1 + e cos p ' из заданного начального состояния

c = con st,

t = t0 = 0, p(0) = po, A(0) = A(0) = Л0 о (cos P0 + ¿3 sin p

2

2

в конечное состояние

t = ti =?, p(ti) = pi, vect A(ti) о Л* о (cos p + i3sin P) =0.

22

При этом необходимо минимизировать функционал

г h

J = (ai + a2|u|) dt, ai,a2 = const > 0. 0

A

Л - кватернион ориентации op биты К A, r - модуль радиуса-в ектора r