Кватернионное решение задачи оптимальной коррекции угловых элементов плоскости орбиты космического аппарата для задачи быстродействия Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ориентации орбиты упрощаются. Показано, что размерность краевой задачи может быть понижена на шесть единиц без усложнения уравнений задачи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 1201-00165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. ч. II // Космические исследования. 2003. Т. 41. № 1. С. 92-107.

2. Крыщенко Ю. В., Челноков Ю. Н. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата как деформируемой фигуры // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. 4, С, 125-138,

УДК 629

Я. В. Лобанков, Ю. Н. Челноков, И. А. Панкратов

КВАТЕРНИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ КОРРЕКЦИИ УГЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ДЛЯ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

В работе рассматривается задача оптимальной коррекции угловых элементов плоскости орбиты космического аппарата (КА) в центральном ньютоновском гравитационном поле посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. Подобные задачи уже рассматривались в [1, 2]. Для решения задачи используется кватернионное уравнение движения центра масс КА, записанное в орбитальной системе координат; при этом КА рассматривается как точка переменной массы.

Движение центра масс КА рассматривается в инерциальной системе координат ОХ1Х2Х3 - геоцентрической экваториальной системе координат с началом в центре О притяжения Земли. Введем орбитальную систему координат п связанную с центром масс К А, и систему координат связанную с плоскостью орбиты.

Считаем, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости его орбиты. Тогда орбита К А в процессе управления движением центра масс КА не меняет своей формы и размеров, а поворачивается в про-

и

Дифференциальные уравнения ориентации орбитальной системы координат имеют вид

2 (Л/(Ь = Л о , = иг/с г1 + с/г2 г3, (1)

d^>/dt = c/r2, r = p/(1 + e cos ^>), c = const, (2)

где Л = Ao + Aiii + A2i2 + A3i3 - кватернион ориентации орбитальной системы координат КА в инерциальной системе координат OX1X2X3; ij j = 1, 2,3) - мнимые единицы Гамильтона; ^ - истинная аномалия (угловая переменная, отсчитываемая в плоскости орбиты от ее перицен-

r

вектора r центра масс КА; ре - параметр и эксцентриситет орбиты; c _ постоянная площадей (модуль вектора момента скорости v = dr/dt центра масс КА); u - проекция вектора ускорения и на направление вектора момента скорости центра масс КА (алгебраическая величина реактивного ускорения, перпендикулярного плоскости орбиты КА);шп -отображение вектора ш на базис п

и

-Umax < U < Umax < Ю, U = ±|и|,

ортогональное плоскости орбиты КА, движение центра масс которого описывается уравнениями (1), (2), переводящее плоскость орбиты КА из заданного начального состояния, описываемого соотношениями

t = to = 0, p(to) = <Ao, Л (to) = Л0,

Л(^) = Л0 = Л0 о (cos /2 + i3 sin <£0/2), в требуемое конечное состояние, описываемое соотношениями

t = t*, p(t*) = р*, n*(n1,n2,n *), n* = 2(А*А3 + А*А*),

n2 = 2(А2А3 - А0А*), n3 = (А0)2 - (А1)2 - (A2)2 + (A3)2,

и минимизирующее функционал качества процесса

t*

J = / 1dt = t* - t0,

to

характеризующего время управляемого движения. Здесь n*(i = 1, 2,3) -заданные значения проекций единичного вектора n*, ортогонального плоскости орбиты КА, на оси инерциальной системы координат OX1X2X3 для конечного момента времени t*. Величины c, p е, ^0,

Л0 Л0

и n* заданы. Переменная Л характеризует собой ориентацию орбиты КА. Начальные значения кватерни-Л

долготы восходящего узла наклонения орбиты I и аргумента перицентра ¡х>п. Подлежат определению оптимальный закон управленияи(£), величины Ь* и р*.

Задача решается с использованием принципа максимума Понтрягина. В соответствии с ним были введены переменные^ = до+^1 +^2+Мзгз и х сопряженные по отношению к фазовым переменным Л и р соответственно, а также вспомогательная кватернионная переменная V = = Л о где верхняя волна - символ сопряжения; построены функция Гамильтона I кип рягина. система дифференциальных уравнений для сопряженных переменных и закон оптимального управления. Важно отметить, что кватернионное сопряженное уравнение имеет вид кватернион-ного фазового уравнения в силу самосопряженности последнего.

Функция Гамильтона Iкип рягина имеет вид

г с /из

н = -1 + и2/1 + Г2 (2 + х

Дифференциальные уравнения для сопряженных переменных найдены в виде

2 (ц,/(И = ^ о шя, шя = иг/с г1 + с/г2 г3,

(х/(Ь = (г/(Ь [(и3 + 2х)/г - и1иг2/2с2] .

Здесь вектор ш может трактоваться как вектор абсолютной угловой скорости некоторой системы координат $ (сопряженной по отношению к орбитальной системе координат ц), аш^ - отображение этого вектора на базис

Закон оптимального управления, найденный из условия максимума

и

( ишах, если Vl > 0,

и=

[ -итах, если V! < 0.

Для реализации численного решения краевой задачи была разработана программа, использующая комбинацию метода Рунге Купа 4-го порядка точности, модифицированного метода Ньютона и метода градиентного спуска. Построены примеры численного решения задачи оптимальной переориентации плоскости орбиты КА из заданного начального положения в конечное со значениями абсолютной долготы восходящего узла 215о15' и наклонения орбиты 64о8/, соответствующих плоскости орбиты спутниковой системы ГЛОНАСС. На рис. 1, 2 приведены законы изменения фазовых переменных и управления для случая, когда отличие в угловой мере между начальным и конечным положениями орбит составляет порядка 1о; эксцентриситет орбиты е = 0.

Рис. 1. Фазовые переменные Рис. 2. Оптимальное управление

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 87-95.

2. Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76, вып. 6. С. 895-912.

УДК 531.38; 681.5

Е. И. Ломовцева, Ю.Н. Челноков

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ СТЭНФОРДСКОГО МАНИПУЛЯТОРА С ПРИМЕНЕНИЕМ БИКВАТЕРНИОННОЙ ТЕОРИИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

1. Методология решения обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов. Обратная задача кинематики заключается в определении обобщенных координат робота-манипулятора по известному угловому и линейному местоположению выходного звена (схвата) манипулятора. Применяется метод решения обратных задач кинематики роботов-манипуляторов [1], основанный на бикватернионной кинематической теории управления движением свободного твердого тела по принципу обратной связи. Он заключается в решении задачи Коши для дифференциальных кинематических уравнений движения схвата манипулятора. Векторы абсолютных линейной и угловой скоростей схвата манипулятора, содержащиеся в уравнениях, рассматриваются как управления и формируются по принципу обратной связи (см. [1]). В результате решения задачи Коши для любых заданных начальных значений обобщенных координат манипулятора его обобщенные координаты примут