Пример трансзвукового обтекания конечного тела по схеме Гельмгольца Текст научной статьи по специальности «Физика»

В табл. 1 приведены значения перемещений поплавка (м) при отсутствии избытка массы (нулевой плавучести) в приборах с упругим и твёрдым корпусом при гармоническом законе виброускорения с амплитудой 25ё.

Таблица 1

Частота, рад/с 2.40Е+03 3.42Е+04 5,22Е+04

Упругий, м 8Д2Е-09 1,66Е-09 6,59Е-10

Твёрдый, м 0,ООЕ+00 0,ООЕ+00 О.ООЕ+ОО

В табл. 2 приведены значения перемещений поплавка при избытке в 5% массы в приборах с упругим и твёрдым корпусом при том же самом виброускорении.

Таблица 2

Частота, рад/с 2,40Е+03 3,42Е+04 5,22Е+04

Упругий, м 7,41Е-09 1,68Е-09 6,69Е-10

Твердый, м 4.53Е-09 5.02Е-11 2.22Е-11

Расчёты показали, что при твёрдом корпусе прибора при отсутствии избытка массы - Лот перемещений не происходит, а при упругом корпусе прибора появляются перемещения. При избытке массы влияние упругости на перемещение поплавка значительно возрастает.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коновалов С. Ф., Медведева И. И., Трунов A.A. Экспериментальное исследование движения поплавка внутри поплавковой камеры, заполненной вязкой жидкостью // Прикладная гидродинамика поплавковых приборов: Тр. МВТУ им. Н. Э. Баумана. М., 1982. № 375. С. 60-65.

2. Коновалов С. Ф., Трунов A.A. Влияние упругих деформаций сильфона и кронштейна выносного элемента на виброустойчивость поплавкового прибора // Прикладная гидродинамика поплавковых приборов: Тр. МВТУ им. Н. Э. Баумана. М., 1982. № 372. С. 25 - 29.

3. Андрейченко К. П., Могилевич Л. И. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. 160 с.

УДК 533.6.011

И. А. Чернов

ПРИМЕР ТРАНСЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ КОНЕЧНОГО ТЕЛА ПО СХЕМЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Рассмотрим обтекание тела однородным трансзвуковым потоком идеального газа. Потенциал скоростей ф(Х,У) (вектор скорости V равен grad Ф(Д,У)) может быть записан в виде

Ф{Х,У) = и ■ {X + Я • § • (ф(х,.у,К)+ К ■ х) +...}.

Здесь X, Г - две первые из трёх цилиндрических координат, при этом ось X направлена вдоль оси тела, ось У - перпендикулярна к ней, Л - радиус поперечного сечения тела, 8 - малый параметр, связанный с относительной толщиной тела, К = (1 -М2 )• о~1/3 - трансзвуковой параметр подобия, который считается величиной порядка единицы, М - число Маха (безразмерная скорость тела), х = X -5~1/3 у = У-Я'1.

Для потенциала ср(х,у,К) получается уравнение трансзвуковой теории [1]

-ФХ-Фхг+Ф^+Ю— = 0. (1)

У

Здесь со = 0 или 1 для плоского или осесимметричного случаев соответственно.

Уравнение (1) называют уравнением Кармана-Фальковича, оно обладает классом автомодельных решений вида

9 = ■ (и - показатель автомодельности).

Функция удовлетворяет уравнению [д -п2 -<;2)-? + (5и-5 +со)-и•<;•</ - (3и-2)(3п-3 + ш)-^ = 0. (2)

В [2] был приведён список точных решений этого уравнения, которые играют важную роль при асимптотическом описании различных особенностей трансзвукового потока.

1. Отметим два из них, полезные при описании течений с отрывом струи (схема Гельмгольца), они характеризуются выполнением условия 9Х —> 0 при у -> 0. В случае со = 0 имеем:

1) " = 7 > б

х = //6 £(5 _ 3^36 _ !)г5/1 V1 - параметр)

(это течение описывает дальнее поле при обтекании тела с образованием бесконечной каверны с границей в виде параболы х~ у5'2 на оо, при этом сопротивление тела будет конечным);

и = С2г у«-»9у=С32, (4)

х = у5'6£)2-\Ъ25 + 2). 6

Система (4) описывает ближнее поле при обтекании тела с образованием струи.

2. В случае со = 1 осесимметричным аналогом (3) является решение 2

(2) при и = —. Обозначим г = q (<;), тогда из (2) получаем

г-р2У~рг = 0. (5)

В [3] указано, что (5) сводится к линейному уравнению для с,2 = /(г). Общий интеграл находится в виде г3 ~^q2r2 = Dx, где Dx - произвольная постоянная. В зависимости от q и Dx это кубическое уравнение имеет либо одно, либо три действительных решения (не считая с; = const). Выделим частное решение, которое соответствует струйной задаче

2/зС2__2/. з ,¥'3 ______ _ ,,-1 2

и — —у -z

3 (з г'-г1", v«ф, = r'|cV^ (6)

Это осесимметричное течение описывает дальнее поле около тела с образованием струи вида у ~ х~1/4 на оо.

3. При со = 0 есть возможность суммировать частные решения на плоскости годографа, так как уравнение (1) сводится к линейному преобразованием Лежандра. Это эквивалентно рассмотрению вместо зависимостей и = и(х,у), у = у(х ,у) обратных функций х-х (ы,у), у = у (и, у). Решения (4), (3) представляются в виде

ЫЪ V2

х, = — + ■—, 1 3 2

У\ ~и

v:

2 15 v 3

1-т

Р ГЗ Г/3 9 2 2

где ^ = "1-VI , р =

Если взять х = х:+ Кх2; У = У\ + Ку2, где К > 0 (например, К = 1), то получим решение с условием у = 0 при у = 0, и< 0; .у = 0 при и = 0, V > 0; а также у = 0 на некоторой замыкающей кривой Ь в первом квадранте плоскости (и,у), что соответствует обтеканию конечного тела потоком звуковой струи на оо с образованием струи, которая уходит в со.

Вышесказанное демонстрирует общую идею, для большей точности следует вместо (х, у, и, у)использовать потенциал скорости, функцию тока, переменную Франкля, угол скорости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Germain P. Ecoulements transsoniques homogenes // Progress in Aeronautical Sciences. 1964. Vol. 5. P. 143-273.

2. Фалъкович С. В., Чернов И. А. Обтекание тела вращения звуковым потоком газа // Прикл. матем. и мех. 1964. Т. 28, № 2. С. 280 - 284.

3. Чернов И. А. Автомодельные решения в околозвуковой газовой динамике // Трансзвуковые течения газа. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1964. С. 63 - 100.

УДК 533.6.011:532.529 Г. П. Шиндяпин, Е. Н. Гамаюнова

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР И ПАРАМЕТРОВ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ УДАРНЫХ ВОЛН*

1. Проблема аналитического исследования ударно-волновых структур и полей давлений за ними при различных режимах нерегулярных и регулярных взаимодействий относительно слабых (интенсивности

Р,0 = (Р\ - Ро)/во > р20 = (Р2 ~ Ро)/во . Во = РоСо) ударных волн (УВ) (с углом наклона а к вертикали) в газе и газожидкостной среде, характеризуемой параметром /?0(у), вызывает неизменный интерес исследователей [1, 2], связанный с попытками построения достаточно простых моделей ударно-волновых взаимодействий, адекватно описывающих процесс.

Экспериментально установленные [3, 4] режимы отражения и взаимодействия развитого маховского (простого маховского - SM, с невырожденными отражёнными волнами); вырожденного маховского (Неймановского - NM, с вырождением одной из отражённых волн); регулярного (R) теоретически найдены [1,5] (режимы С, В, А - соответственно) с помощью асимптотики коротких волн, позволяющей рассчитать возникающие УВ, структуры и поля потока за ними. На рисунке в верхней части изображены схема взаимодействия УВ и интерферограмма [3], характеризующая распределение плотностей (давления и продольной скорости в случае относительно слабых УВ).

2. Исследование сводится к анализу в области взаимодействия во внутренних переменных X,Y(5, Y) решения краевой задачи для компонент скорости ц, V системы уравнений коротких волн

2(H-5K+VY+H = 0, HY=V5, Ц = Р« = #(1), (1)

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 02-01-00029.