CC BY
23
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Germain P. Ecoulements transsoniques homogenes // Progress in Aeronautical Sciences. 1964. Vol. 5. P. 143-273.
2. Фалъкович С. В., Чернов И. А. Обтекание тела вращения звуковым потоком газа // Прикл. матем. и мех. 1964. Т. 28, № 2. С. 280 - 284.
3. Чернов И. А. Автомодельные решения в околозвуковой газовой динамике // Трансзвуковые течения газа. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1964. С. 63 - 100.
УДК 533.6.011:532.529 Г. П. Шиндяпин, Е. Н. Гамаюнова
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР И ПАРАМЕТРОВ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ УДАРНЫХ ВОЛН*
1. Проблема аналитического исследования ударно-волновых структур и полей давлений за ними при различных режимах нерегулярных и регулярных взаимодействий относительно слабых (интенсивности
Р,0 = (Р\ - Ро)/во > р20 = (Р2 ~ Ро)/во . Во = РоСо) ударных волн (УВ) (с углом наклона а к вертикали) в газе и газожидкостной среде, характеризуемой параметром /?0(у), вызывает неизменный интерес исследователей [1, 2], связанный с попытками построения достаточно простых моделей ударно-волновых взаимодействий, адекватно описывающих процесс.
Экспериментально установленные [3, 4] режимы отражения и взаимодействия развитого маховского (простого маховского - SM, с невырожденными отражёнными волнами); вырожденного маховского (Неймановского - NM, с вырождением одной из отражённых волн); регулярного (R) теоретически найдены [1,5] (режимы С, В, А - соответственно) с помощью асимптотики коротких волн, позволяющей рассчитать возникающие УВ, структуры и поля потока за ними. На рисунке в верхней части изображены схема взаимодействия УВ и интерферограмма [3], характеризующая распределение плотностей (давления и продольной скорости в случае относительно слабых УВ).
2. Исследование сводится к анализу в области взаимодействия во внутренних переменных X,Y(5, Y) решения краевой задачи для компонент скорости ц, V системы уравнений коротких волн
2(H-5K+VY+H = 0, HY=V5, Ц = Р« = #(1), (1)
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 02-01-00029.
удовлетворяющего на фронтах УВ 5 = 5*(У)(А]А2 -Маха, дп =0; А,В, -отражённого, =1; А2В2 - отражённого, qn=r^ )условиям
(М*)2 ох ( ^8* (,)
Слг, V1! V а Р10
Р10 Ш 20
и асимптотическим условиям сращивания на границах с областями линейного и квазиодномерного решения. Предполагается, что поперечная составляющая скорости за тройными точками может иметь разрыв (Ау„ -у~, п = 1,2). ау, г| - параметры подобия задачи.
Для описания течений в области взаимодействия УВ используется класс точных решений (1), удовлетворяющий точно условиям на фронте (2) при q = q* = const (q* = q0 на А,А2; q* = q] на А,В,; q* = q2 на А2В2)
И = Ф2 {q)Y2 + <Pi{& + Фо (я); 5 = qY1 + х, [q)Y + Хо (?) v = y3{q)Y3+\V2(q)Y2+y](q)Y + \Vo{q). (3)
Систему условий для определения функций ф2(<у *)---Хо(<7*) на фронтах УВ получим при подстановке (3) в (2)
Фг(ч *) = 2? * (1 - 2? *), ср, (?*)= 2(1 - 2? (<?*)> ч/3(?*)=-4?*2 (1-2?*),
у, (? *) = 2(3? * -1)х? И ~ V Хо (? *) + (4* * -I)?,,, (4)
у2(?*) = -6?* (1-2? % (<?*),
Фо И = "2Хо (Л И+X? (Ч *)+ Чп (2X1 {ч*):+ а?) -
хМ*) = -Ъч*Чп+ап, Хо(<7*)=8л+?*У„2±я„У„> ап = - ~ дп.
Здесь для отражённых волн АЛВ„, проходящих через точку А„(5„, У„), берётся <?* = ?! и верхний знак для верхней волны ( дп = 1) и д* = д2 и нижний знак для нижней волны (дп = г)).
Для фронта Маха А,А2, проходящего через точку Ал(б„, У„), берётся д* = ?0 и нижний знак для верхней точки А,, верхний знак для нижней точки А2 (?„ = О).
Анализ для фронта Маха А.А, [1] условий (4), дополненных соотношениями динамической совместимости и условиями экстремального поворота потока в тройных точках, вместе с уравнением притока массы сводится к решению системы двух уравнений для А], А2 или г]гг2 /а4,г\ А* -2, А2 = Зг2 - 2г), А] + А2 - 2а? = А , Зг 2 - Ъг2 -1 + т| = (гх - г2 )А,
л[б22 - 4 - л + (г, + - АХ2г, - г2 )] = (5)
= № -2 + ч^22-2П -2 (22-1)3/2+(г22-г1)3/2|
Значения параметров 5„, Уя; V*; у^; д0, определяющих
координаты, скорости и углы наклона УВ в тройных точках, а также геометрию и распределение параметров на фронте Маха найдём по формулам (верхний знак и п= 1 соответствуют верхней, нижний знак и п=2 - нижней точке)
5„=(?„+А2)/2, У„=±(А„-ау) ц„=(?„+2А2)/3, ^„=ТдпАп±-^=(А2п-д„У2, Р* = ±У„ +-^(А2-дп)'\ (6)
V* =+цяС„, у:=+\п+Сп, С„ = ~{2д„ + А2)1'2.
Геометрию фронта Маха и значения параметров на нём согласно (3) определим при д = д0, рассчитывая параметр д0 по формуле
д* = д0=(С1+С2)/2( У,-У2). (7)
Анализ параметров на фронтах отражённых УВ А|В,, А2В2 при
д* = дх и д* = д2 проведём с помощью (4) при условии, что параметры в
195
точке А„ (6 = 8„, ц = ц„, У = Ул) известны, а точка В„ - точка вырождения отражённой УВ. Записывая с помощью (3), (4) при q=q* условия вырождения в точке В„ (¡л„ = д„, 5„ = д„), получим систему двух уравнений относительно ц*, Ув с решением
1*=Л(/П у Ув "п=№„-1Хп-дп. (8)
4(8»
При нерегулярных взаимодействиях, используя (6), получим
д* = \/6, Ув=У„±,/з(А2-«?„). (9)
При регулярных взаимодействиях, используя параметрическое представление [5] для 5 = 6А, = цА, ау через параметры г,г\, найдём «у*, Ув . В симметричном случае Г| = 1 получим
/
1
av2 -1
а > 2.0. (10)
В общем случае для нерегулярных и регулярных взаимодействий определение параметра q* позволяет согласно (3), (4) рассчитать положение и структуру УВ, распределение параметров на фронтах.
На рисунке слева в нижней части проведено сравнение расчётных характеристик (сплошные линии) Рб/Р4> Р5/Р3, %v (характеризующих перепады давлений на отражённых фронтах в тройных точках и угол их распространения %v = ?gXo/s1/2) с экспериментальными данными W. R. Smith [3] (прерывистая линия) при нерегулярном невырожденном взаимодействии при т] = 0.36 и различных av (углах взаимодействия).
На рисунке справа в нижней части построено поле давлений (плотностей), а также ударная конфигурация по результатам интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных при подстановке (3) в (1), при условиях (7), (8) на фронтах УВ для случая г| = 0.4, av = 1.6. Качественное соответствие полученных линий равных давлений поведению интерферометрических полос в физическом эксперименте [3] в верхней части рисунка носит иллюстративный характер.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шиндяпин Г. П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН. МГЖ. 1996. № 2. С. 183 - 190.
2. Collela P., Henderson L. F. The von Neumann paradox for the diffraction of weak shock waves // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 213. P. 71 - 94.
3. Smith W. R. Mutial reflection of two shock waves of arbitrary strengths // Phis. Fluids. 1959. Vol. 2. № 5. P. 533 - 541.
4. Ben-Dor G. Shock wave reflection phenomena. Vol. 2. № 5. P. 533 - 541.
5. Шиндяпин Г. П. Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражении и взаимодействии относительно слабых ударных волн // Аэродинамика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2001. Вып. 15 (18). С. 31 -44.
