Закон подобия при обтекании крыла малого удлинения гиперзвуковым потоком равновесно реагирующего воздуха Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV T9 J3

№ 3

УДК 533.6.011.5

ЗАКОН ПОДОБИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ ГИПЕРЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ РАВНОВЕСНО РЕАГИРУЮЩЕГО ВОЗДУХА

А. И. Голубинский, В. В. Негода

Предлагается обобщение теории гиперзвукового обтекания тонких пространственных крыльев малого удлинения [1, 2] на случай, когда в возмущенном течении имеют место равновесные физико-химические процессы (диссоциация, колебательное возбуждение молекул воздуха, ионизация и т. д.). Показано, что для крыльев рассматриваемого класса основные уравнения теории [1, 2] сохраняют свой вид, но появляются два новых параметра подобия, учитывающие эффекты реальных свойств воздуха.

1. Задача об обтекании тонкого пространственного крыла малого удлинения, расположенного в гиперзвуковом потоке невязкого совершенного газа под конечным углом атаки а без скольжения, рассматривалась впервые в [1, 2]. Малым параметром в асимптотической теории [2] является отношение плотностей е на плоском скачке уплотнения, наклоненном под углом а к набегающему потоку, вычисленное для совершенного газа с показателем адиабаты х:

3 = -^—------- -------1___________________________ (11)

х + 1 х + 1 Sin2 а ’ ‘ ’

где Мсо—число М набегающего потока. Здесь и далее нижним индексом „оо“ обозначены параметры набегающего потока.

Отношение плотностей = рсо/на пространственном головном скачке равно е с точностью О (s3). Предельный переход £ -> 0, осуществляемый при дополнительном предположении гМет sin2 а = = 0(1), соответствует стремлению х к 1 как в набегающем потоке, так и в возмущенном течении —тонком ударном слое. С использованием соотношений на скачке и предположения о сохранении порядков величин всюду в ударном слое в работе [2] получены разложения газодинамических функций по малому параметру е и выведены уравнения ударного слоя [2] в безразмерных переменных порядка единицы:

Х = х, Y = у/е tg a, Z = zjy't tga, (1.2)

Рис. 1

где л, у, z — исходные декартовы координаты: начало координат О расположено в вершине крыла, ось Ох направлена параллельно хорде крыла, вектор скорости набегающего потока Vac лежит в плоскости Оху (рис. 1).

2. Изложенная постановка задачи может быть обобщена на более близкий к реальным условиям полета случай путем учета физико-химических процессов, происходящих в результате сильного разогрева воздуха в головном скачке (диссоциация, возбуждение колебательных уровней энергии молекул, ионизация при высоких температурах и т. д.). В набегающем потоке воздух по-прежнему полагаем совершенным газом; его состояние характеризуется давлением роэ, температурой Тсс, плотностью р^, показателем адиабаты и числом Мсо- Релаксацией физико-химических процессов после перехода через скачок будем пренебрегать, что оправдано в достаточно большом диапазоне высот полета и чисел Ми (см. [3]). Течение за скачком уплотнения предполагаем равновесным, подчиняющимся точному уравнению состояния, результаты расчетов по которому затабулированы в [4]. Как и в [2], будем исходить из того, что поверхность крыла не имеет участков большой кривизны, при этом порядки газодинамических функций сохраняются всюду в возмущенном течении. Следовательно, для обоснования предельных переходов при построении аналога асимптотической теории [2] в случае равновесного несовершенного воздуха достаточно проверить малость соответствующих величин на скачке уплотнения. Рассмотрим кратко метод и результаты расчета этих величин. Соотношения на скачке запишем в виде:

P.S У.sn = ?°°

Ps ~Ь Pi ^sn Рсо Ч- роо Vо

hs + v!nl2 = h00+ Vlon2-

htx — ■

-1

-/Wpoo; ps = f(Ps> hs),

(2.1)

где к ■—энтальпия воздуха.

Индекс 5 относится к течению непосредственно за скачком; индексы п и і указывают соответственно на нормальную к скачку и тангенциальную составляющие векторов скорости !/<»„, У3. Удобно ввести местный угол скачка 6: б (если скачок

плоский, то 9 равно углу его наклона по отношению к вектору Коз)-

Последнее равенство в (2.1) представляет собой записанное в общем виде уравнение состояния термодинамически равновесного воздуха; для аппроксимации этого уравнения при больших температурах существует ряд полуэмпирических формул, таких, например, как выведенные в [5, 6]. Однако эти формулы весьма громоздки и поэтому неудобны при аналитических преобразованиях. Что же касается численных расчетов и оценок, то проще использовать имеющиеся программы для ЭЦВМ. В данной работе применялась подпрограмма [7], позволяющая вычислять термодинамические параметры равновесно-диссоциирующего воздуха с высокой точностью путем интерполяции по таблицам [4].

Введем эффективный показатель адиабаты хэф (см., например,

[3]):

гэф = А/Р*)- (2.2)

На основании (2.1) значения р^, ра, и Смогут быть выражены через отношение плотностей на скачке е4. При этом взаимосвязь между и хэф имеет вид:

£

= А-УА?=В, А = ——5— ( 1

В =±*=±-11

Хэф I 1

Хэф + 1 V *00 „

2

(хсо- !)М4„

(2.3)

где Мсоп = М» вт 6.

Отметим полезное в дальнейшем соотношение

7-Эф 1 1 2 1 (хэф 1)/(7-00 I) ^^Эф/^со т

Г * “ ГТ "772

со п

переходящее при хэф = х00 = 7( в формулу (1.1).

Для определения хэф [одновременно с решением системы (2.1)] обычно применяют метод последовательных приближений [3]. В данной работе использована следующая схема итераций: задавалось начальное приближение у4ф^^> затем из формул (2.3) по х<^, ч>0, углу скачка 0 и числу Мсо находилось отношение плотностей е£>. По еИ из (2.1) определялись значения р^>, р(р и АМ, после чего из (2.2) находилось новое приближение 4^1)- Процесс итераций заканчивался, когда достигалась заданная точность:

М’+и _ х(«!| ^ ю~4. .

I эф эф| ^

На рис. 2—4 показаны границы изменения хэф, г5 и |^/Эф/й0| в зависимости от угла 0 для воздуха в достаточно широком диапазоне параметров набегающего потока: р^ =0,0001 -г- 0,1 атм; Т^—-= 200-ь 300° К; Мс„ = 15 ч-25 при х00=1,4. На основании результатов расчета можно сделать следующие выводы:

а) для углов скачка —1 рад (35° <; 0 < 90°) во всем рассмотренном диапазоне параметров набегающего потока разница хэф — 1 мала и не превышает 0,31. Такой же порядок имеет отношение плотностей на скачке, т. е. -/.эф — 1 — е5;

б) в указанном интервале углов 0 производная £?хэф/^0 по модулю не превосходит 0,48, т. е. Г^хэф/<20|—$4. .Это означает, что измене-

0,2

35*1

iSO

О

1 //?>»_

/// /// //////// У/

////////

1 1 1 1 I 1 .1 1

10

20° 30° 40° 50

Рис. 2. Границы изменения эффективного показателя адиабаты хЭф в диапазоне р= =0,0001+0,1 Па; Тх = 200^-300 К; = 15н-25;

Рис. 3. Границы изменения отношения плотности на скачке г3 = ?ajjps в диапазоне

рх = 0,0001н-0,1 Па; = 200-^300 К; Ми = 15—25;

Рис. 4. Границы изменения абсолютной величины производной «Гт-эф/йб в диапазоне = 0,0001+0,1 Па; 7^=200-^300 К; М^=15ч-25;

35*8*90°

нне *,ф при приращении угла скачка 6 на величину —составит

О («*);

в) величины (у.эф— 1)/М« и г3/м1 по порядку не превосходят 6Д. .

3. На основе анализа результатов расчета в п. 2 малый параметр г можно ввести следующим образом:

Х3ф=:1+2сД, Д = 0(1) при 6-0, (3.1)

где коэффициент Д порядка единицы зависит в общем случае от выбора расчетной точки на скачке.

Подставляя (3.1) в (2.4) и учитывая, что для рассматриваемых углов атаки (35°<!а<90о) справедлива оценка М^п^Мос, получаем, пренебрегая членами порядка О (г2) и О (М~2):

(3-2)

Рассматривается крыло такого же типа, как и в [2], а именно: с толщиной порядка толщины ударного слоя и удлинением порядка угла Маха в возмущенном течении. Оценив расход воздуха через ударный слой, находим, что его толщина пропорциональна е^а или гtgа, так как Д = 0(1). Скорость звука а3 в воздухе за скачком равна чр$!ря, где коэффициент т для воздуха, как показывают расчеты, близок к 1 (^ = 1,1-4-1,3). Поэтому для угла Маха в ударном слое [1 = М-1 имеем:

V* sin2 а /

I/ 7 ------- ; Уж cos а ~ У е, tg а ~ ]/в tg а.

V 9ool£s I

\Vs\ У Pooh

Таким образом, оценки [2] сохраняют свой вид и в случае несовершенного равновесного воздуха, если малый параметр вводить с помощью (3.1) через эффективный показатель адиабаты.

По предположению, поверхность крыла не имеет участков большой кривизны. Уточним это условие. Пусть b(x, z) и B(X,Z)— функции, описывающие форму крыла соответственно в физических и безразмерных координатах [порядка О (1) в ударном слое]: В{Х, Z) — b(x, z)/etga. Тогда для обобщения основных уравнений [2] на течения реального воздуха достаточно потребовать отсутствия больших местных наклонов поверхности крыла в продольном направлении (вдоль оси х, рис. 1), т. е. производная дВ дХ должна быть ограничена. В самом деле, если это так, то нормаль к поверхности крыла в различных его точках отклоняется от вертикали (оси у) в направлении оси л: на углы порядка е. Ввиду малой ('—' е) толщины ударного слоя, то же самое верно и для нормали п к скачку. Но вектор скорости набегающего потока Voo расположен в плоскости Ох у, так как скольжения нет. Следовательно, различие в местных углах скачка 0 (sin 0 = (п)/ Voo) для разных его точек характеризуется величиной порядка не более а. Принимая во внимание результаты расчета производной dx^/dO (рис. 4), получаем, что эффективный показатель адиабаты в главном порядке постоянен на скачке, т. е.

х,ф-1 = 2вД0 + О(е»),

где

Д0 — const (по X, Y, Z). (3.3)

параметрам набегающего потока и углу атаки определяется именно хэф, а не Др. Переменные ударного слоя определим по формулам (1.2), заменив в них г на е0. Форму поверхности крыла и скачка в новых переменных будем описывать функциями В (X, Z) и б'(X, Z). Покажем теперь, что уравнения для возмущений давления и скорости, как и в [2], могут рассматриваться независимо от полной системы уравнений газодинамики, а для возмущения плотности получается выражение, содержащее параметры подобия, учитывающие реальные свойства воздуха.

4. Так как порядки газодинамических величин сохраняются всюду в ударном слое, то разложения этих величин по степеням могут быть получены из условий на скачке. Разложения для компонентов скорости и, V, ян) (в системе координат OXYZ) и давления р аналогичны [2] с точностью до замены г на $0. В член главного порядка для плотности р введем функцию Я0{Х, V, Z), так как заранее полагать ее константой нельзя. Запишем ее разложение по £0 для энтальпии, воспользовавшись интегралом энергии:

Л = Ню + -у (Ум — V2). Индексом 5 вверху обозначим значения

функций на скачке:

В уравнение состояния равновесного воздуха р = /(/?, Н) вместо / необходимо ввести другую функцию Р порядка 0(1) при з0 — О,

Так как всюду в ударном слое [см. (4.1)] р — 1 + О(е0) и к = — 1 О (е0), то, разложив Р в ряд Тейлора в окрестности точки (1.1) и подставив вместо р разложение (4.1), имеем

где посредством Рр 0 и Рк о обозначены производные дР др и дР/дк, взятые в точке (1.1). Подстановка (4.1) в уравнения импульсов

Д0 =-тр (*Эф—1)> так как ПРИ численном расчете по заданным

u/V<x> = cos a. -f S0 sin a tgaU(X, Y, Z)-bO($2); Us = — Sx;

vj Voo = s0 Sin 7.V(X, Y, Z) +О (S*); S* - 1 - S| ;

w,i V„ --- 3J'2 sin a (X, Y, Z) + О (ef); Ws = — Sz;

= sin2 a. + £0 sin2 aP (X, Y, Z) + О (eg); Ps = 2SX — 1 —S|; (4‘1)

—2~T— sin2 а — e0 sin2 0. (2U -f- W2) + О (so).

00

.— 2 — / I 2

аргументы которой /? = (/?— /?со)/рсс 1/оо5тга и /г = (Л~/гоо) / у УсоЭт2». также имеют порядок 0(1) при $0 -> 0:

/

/?0 — ^(1,1) = сопэ!^ 1,

поскольку на скачке Ро = 1. Для Р получается выражение

Я = Рр0Р-Р110(2и + \У>),

(4-3)

(4.4)

(4.5)

и неразрывности с учетом /?0=1 дает для II, У, № и Р пе зависимую от /? систему уравнений:

(О = д/дХ + Уд/дУ + ]Уд^);

Ои^О 1Г = 0; ОУ=— Ру\ У у + № г — 0;

граничными условиями для которой служат значения О'5, V'■*, ^, Р* на скачке (4.1), требование о непротекании на поверхности крыла, а также условия на передней кромке, см. [2, 8].

Общее решение системы (4.4) получено в работе [8 в переменных X, Ч7, Z, где Ч7 = \У— функция тока в ударном слое. Согласно [8] задача сводится к решению интегро-функциональной системы уравнений для формы скачка 5 (X, Z) и функции Г(¥, 7. — ^Х) [разложение поточного компонента вихря имеет в рассматриваемом случае вид: шп = 1 /(е*.'2 Г) + . . . ]. Если Ч7®' значение Ч" на крыле, то

-5г (X, г)

я(х, г) = в(X, г)-ь Г г(Ф\ г — чх)<№,

Г* = Г (— Z + ХБг) — [Зг 5z,г —

Выражение в правой части второго уравнения в (4.5) получается в результате подстановки асимптотических рядов (4.1) в формулу для поточного компонента вихря на скачке [9]. Поскольку при выводе этой формулы уравнение состояния не используется, а вид разложений (4.1) не изменился (так как /?0 = 1), то снова приходим к (4.5).

Таким образом, задача определения возмущений скорости и давления с учетом реальных свойств воздуха надлежащим выбором малого параметра сведена к уравнениям [2, 8], выведенным вначале для совершенного газа. Методы приближенного аналитического решения системы (4.5) рассмотрены, например, в работах [10, 11]. Если функции 5 и Г известны, то и, У, \У и Р находятся из квадратур [8]. Затем вычисляется возмущение плотности /? по (4.3). Входящие в (4.3) коэффициенты Рр0 и 0 являются новыми параметрами подобия (подробнее см. ниже п. 5).

Отметим следующее свойство функции /?. Для совершенного газа соответствующая функция Рс. г удовлетворяет согласно [2], соотношению (/?с. г — Р) = 0. Из (4.3) и (4.4) £) (/? — Рр 0 Р) = 0, так как по доказанному функция Р одна и та же для совершенного и реального газа. Отсюда О (Я — Рр0Рс. г) = 0, т. е. поправка на плотность (а значит и на температуру) сохраняется постоянной вдоль линий тока в ударном слое. Это свойство может быть использовано при численных расчетах.

5. Закон подобия [1, 2] выведен для треугольных крыльев малого удлинения, обтекаемых потоком совершенного ^аза. Параметр подобия имеет вид 0, — 'р1г112\£о., где <р — полуугол раствора при вершине крыла. Величина 2 содержится в уравнении передней кромки крыла, записанном в безразмерных координатах, и входит, таким образом, в граничное условие на ней. В данной работе предлагается обобщение закона подобия [2] на случай обтекания крыльев произвольной неконической формы равновесно-редгирую-щим воздухом. В выбранных безразмерных координатах X, У, Z удлинение крыла совпадает с его размахом X. Рассматривается класс крыльев, для которого форма передней кромки в исходных

координатах х, у, г описывается функцией ге(х) = )Ее(X), где функция ZI,(X) одинакова для всех крыльев данного класса. Поэтому в безразмерных переменных ударного слоя (1.2) (с учетом замены з на е0) уравнения передней кромки и поверхности крыла приобретают вид:

г=аге{Х), в(х, г) = ь(х, 2г)/Эо (5.1)

где Й = А/£^/2 (у-со, Рас, Тх, Моо, а^а.

Если ограничиться нахождением скорости и давления в ударном слое, то для газодинамического подобия достаточно сохранить постоянным параметр О в (5.1). Однако в связи с вопросами теплообмена большое значение приобретает также определение плотности и температуры. В выражение (4.3) для возмущения плотности входят коэффициенты Р'р0 и Р н 0. Поскольку Я—безразмерная величина, то они являются дополнительными параметрами подобия, характеризующими эффекты реальных свойств воздуха:

FПО ---- Roo То

F,

Р о ------- ' v СО 1 СО

r‘L т~

7-

Л о — -ос 2Р"

M"Jsin2a-s0(/.oo> Poo, Тсс, Мес, &) ■ J (Qco, //со); ML sin2 я -s0 (-/«,, рх, Too, Moo, a) • (Q<*>, Яоо).

(5.2)

Здесь Qco = /?cc (l + ‘/-ос M^o Sin2 a); Hoo = *coR<X Toe (—4гг + V

\oo J 2 /

/?oo = 287,52 Дж/'(кг-град) -- абсолютная газовая постоянная воздуха. Величина з0 = -у-(•''•эф — 1), а также производные d/'/cfy? и д//дй находятся либо из приближенных формул [5, 6], либо с помощью численного расчета на основе [4, 7]. Если необходимо найти температуру в сжатом слое, то следует использовать отличные от Fp0, Fhо параметры подобия Фр0, Фй0. Выражения для Фр0, Фй0 получаются аналогично выражениям (5.2), если уравнение состояния воздуха записать в виде Т=у(р, h), а температуру Т представить разложением по s0:

Т то , т 1

т — -г ... .

оо *о Т - -Тогда имеем Г = — Ф (р, h), откуда:

Ео

Фро

-- Хоо/?ооГ00М008т2а.30(у.00, рж, Тсс, Мос, л) | ^ j (Qo°j

q2

Фй.0 = *00 9„ °° Мю Sin3«-s0(*oo, Poo, Tap, Moc, a) (~ ) (Qoo//со).

4>oo \ЙА

(5.3)

Итак, пять заданных величин л, а, /7^, 7^, МСо(х00=1,4) связаны между собой тремя параметрами подобия (5.1), (5.2) или (5.1), (5.3). Отметим, что обычно значения р со» Т* со однозначно определяются высотой полета Н, так что фактически имеются лишь четыре независимые величины: X, а, Моо и Н. На рис. 5 показаны кривые, иллюстрирующие закон подобия (5.1), (5.2) в этом случае. Зависимости >.(а), Х(Моо) и (Н) построены численно с использованием [7] при условии Q = const, Fp0 = const, Fft0 = const. Конкретные значе-

л

1,0

Is

0,6

0,5

М

0,7

<t5° 50° 55" 60° 65° 10° ос 20

21 « 50 55 ВО 65 70Н,КМ

ния параметров подобия могут быть заданы непосредственно (кривая 1, 2 = 2; Рр0^= 1,1; /^„ = 0,8) или же вычислены для некоторого базового крыла (кривая 2, X = 0,5; я = 50°; Мсо = 20 и Н =~ = 50 км, откуда 2=1,398; Ррй — 1,119; /7Л0=— 0,6738). Полученные кривые позволяют по размаху X найти режим, при котором течения у данного и базового крыла будут газодинамически подобны с учетом влияния равновесных физико-химических процессов в воздухе.

1. Messiter A. F. A similarity law for the normal force on a delta wing at hypersonic speeds. ,T. Aero/Space Sci*,, vol 29, 1959.

2. Messiter A. F. Lift of slender delta wing according to Newtonian theory. ,AIAA J“., vol. 1, N 4, 1963 (русск. перев. PTK, № 4, 1963).

3. А г а ф о н о в В. П., Вертушкин В. Г., Г л а д к о в А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. Сб. под редакцией Г. И. Майкапара. М., „Машиностроение", 1972.

4. П р е д в о д и т е л е в А. С., Ступоченко Е. В., Самуй-лов Е. В., Стаханов И. П., Плешанов А. С., Рождественский И. Б. Таблицы термодинамических функций воздуха. М., Изд-во АН СССР, 1957.

5. Михайлов В. В. Приближенное аналитическое представление термодинамических функций воздуха. Инженерный сборник, т, XXXI, 1961.

6. Севастьянов Р. М., Здункевич М. Д. Термодинамические функции смеси газов при высоких температурах. Инженерный журнал, т. IV, вып. 4, 1964.

7. Бабиков П. Е. Подпрограмма для расчета теплофизических параметров реального воздуха. Труды НАГИ, вып. 2003, 1979.

8. Голуб и некий. А. И., Голубкин В. И. О пространственном обтекании тонкого крыла гиперзвуковым потоком газа. ДАН СССР. т. 234, № 5, 1977.

9. М а й к а п а р Г. И. Вихри за головной ударной волной.

„Изв. АН СССР, МЖГ“, 1968, № 4. '

10. Голубкин В. Н. Влияние формы передней кромки в плане на гиперзвуковое обтекание крыла малого удлинения. »Уче-ные записки ЦАГИ“, т. IX, ,№ 6, 1978.

11. Голуб и некий А. И., Него да В. В. О гинерзвуковом пространственном обтекании крыла малого удлинения, .Ученые записки ЦАГИ", т. XIV, № 1, 1983.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 17\1Х 1981 г.