CC BY
48
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXXIV
200 3
№ 3—4
УДК 533.6.011.55:629.7.025.1
ВЛИЯНИЕ ЗАТУПЛЕНИЯ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ НА ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ КРЫЛА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
Разработан приближенный численно-аналитический метод решения задачи о повышении аэродинамического качества тонкого крыла малого удлинения с затупленной передней кромкой, находящегося в невязком гиперзвуковом потоке под углом атаки. Исследованы влияние затупления передней кромки на форму оптимального крыла и его аэродинамические характеристики. Представлены характерные формы оптимальных крыльев и зависимости их аэродинамического качества от угла атаки
Одной из важных задач аэродинамики является определение формы крыльев, обладающих наилучшими аэродинамическими характеристиками. Существует несколько подходов к решению данной проблемы. Один из них — численное решение задачи оптимизации, предъявляющий, однако, очень высокие требования к ресурсам ЭВМ, поскольку для получения приемлемого решения задача должна быть многопараметрической, с большим числом варьируемых параметров [1]. Другой метод, основанный на точных решениях — поиск оптимальных форм в классе волнолетов, т. е. тел, поверхности которых образованы поверхностями тока течений за скачком уплотнения (плоским, коническим и т. д.) и невозмущенного потока [2] — [4]. В этом случае многообразие форм для поиска решения является ограниченным. Поэтому на практике широко используются приближенные подходы и методы решения, например, линейная теория или теория второго приближения Буземана [5], а при гиперзвуковых скоростях — теория Ньютона [6], или более точные локальные методы расчета [7]. Еще один подход, более точный по сравнению с теорией Ньютона, базируется на теории тонкого ударного слоя [8] и позволяет существенно уточнить ньютоновские результаты. Его применение позволило разработать методику решения вариационной задачи об определении формы тонкого крыла малого удлинения с заостренной передней кромкой, имеющего максимальное аэродинамическое качество как в невязком потоке [10] — [12], так и с учетом вязкости [13] — [14].
Данная работа связана с дальнейшим уточнением постановки задачи оптимизации и выявлением особенностей, вызванных затуплением передней кромки крыла в невязком потоке. Определен параметр подобия, характеризующий влияние затупления. Рассмотрен случай, когда затупленная кромка влияет на качество в первом приближении к ньютоновскому. Исследовано влияние затупления передней кромки на форм-параметры оптимального крыла и величину его аэродинамического качества в допустимом диапазоне углов атаки.
1. Постановка задачи. Формула для аэродинамического качества крыла — целевой функции задачи оптимизации — при конечных углах атаки имеет вид:
В. Н. ГОЛУБКИН, В. В. СЫСОЕВ
У 008 а-X 8Іп а К =-----------------------
У 8Іп а+X 008 а ’
X=Х№ + Хь, У=У№ + Уь,
v v ^ /'Л 0 0 0
где X, Y — продольная и нормальная силы в связанной с телом системе координат Ox y z , а их составляющие Xw, Yw обусловлены обтеканием нижней поверхности крыла, Xb, Yb — затуплением передней кромки. В качестве базового рассматривалось плоское крыло, лежащее в плоскости у0 = 0, поэтому угол атаки а — это угол между вектором скорости набегающего потока Vo и продольной осью Ox . Для определения аэродинамического качества оптимального крыла при больших сверхзвуковых скоростях достаточно знать аэродинамические силы, действующие на его нижнюю поверхность, поскольку верхняя поверхность крыла находится в области «аэродинамической тени» и добавочное давление там достаточно мало.
Для нахождения Xw и Yw используется разработанная на основе общей методологии [8] теория тонкого пространственного ударного слоя, описывающая гиперзвуковое обтекание тонкого крыла малого удлинения под углом атаки а [9]. При этом удлинение крыла по порядку величины совпадает с углом Маха (Vs tg а) в возмущенном течении (что соответствует наиболее интересному случаю пространственного обтекания), а толщина крыла, отсчитываемая от плоскости у0 = 0, сравнима с относительной толщиной ударного слоя s tg а . Малый параметр s теории ударного слоя имеет вид:
s=p^=xd+Л—2 1
р, Y+1 Y+1 Mo sin2 а
где у — показатель адиабаты, Мо — число Маха набегающего потока. Предельный переход s^0 (у^1, Ми^оо) осуществляется при условии:
0=syM2 sin2 а=O (1),
так как в этом случае при у^1 правая часть выражения для s равна s.
Тогда в переменных тонкого ударного слоя
0 0 0 x у z
x=—, у=—;------, z=—-------,
L s L tg а s L tg а
параметры течения могут быть разложены в ряды по малому параметру s, учитывающие поправки следующего порядка к предельной ньютоновской теории [10]:
0 2 и /V00=cosа+s sinаtgаи(x,у,z)+O(s ),
0 2 v / V0=s sin а v(x, y, z)+O(s ),
w0 / V0=s1/2 sin а w(x, y, z)+O(s3/2),
(^0-Po)/(pooVi)=sin2а [1+s p(x,y,z)]+O(s2), p0/ Po=s-1 + O(1),
T 0/ TO=0+O(s),
где u°, v°, w0 — компоненты вектора скорости; p°, p0, T0 — давление, плотность и температура в ударном слое; L — корневая хорда крыла.
Из законов сохранения массы и количества движения для объема газа, ограниченного поверхностью скачка, наветренной стороной крыла и сечением ударного слоя плоскостью x = 1, с использованием полученных разложений можно получить выражения для аэродинамических сил, действующих на крыло с присоединенным к острым кромкам скачком уплотнения [10]:
----2 =g3/2 sin2 a tg2 a -—Qw + O(s5/2),
Po V00 L
----Yw—т=B1/2sin2 a tg a -p (1+sP)+O(s3/2),
Po V2 L p
P,QW =O(1), Qw =-
- p 1
( 1 ^
1 +— JJ udydz V -
P=——+—JJ(v+p+u tg a) dydz
—
s, Q
где ср =———р-=2 ГГ 1—хе (г)! dz — приведенная площадь крыла в плане,
в1/2 1} 18 а
=ГГ dydz — приведенная площадь кормового сечения ударного слоя. Здесь хе(г) —
3/2 ,-2. 2
s L tg a
форма проекции передней кромки на плоскость y0=0, Q= max-------------приведенный полуразмах
Vs L tg a
крыла; sp — площадь проекции крыла на плоскость Ox°z°, а ss — площадь, ограниченная сечениями поверхности крыла и ударного слоя плоскостью x = 1. Кроме того, из сохранения расхода газа в указанном контрольном объеме следует, что —р=—. Подстановка этих разложений в формулу для качества дает:
K=ctg a —- Qw +O (s2), sin 2a
при этом интегральный функционал Р дает в качество вклад ~s2.
В главном порядке, как и следовало ожидать, получено ньютоновское значение качества К = ctga, а дальнейшее его увеличение возможно за счет уменьшения величины функционала Qw, который с использованием аналитического решения задачи в следующем приближении к ньютоновскому преобразуется к виду [10]:
2 Q
Qw =- J[5(1,z)-S(xe(z),z)] dz-1,
-
0
где S(x, z) — параметрически заданная форма скачка уплотнения.
Задача оптимизации для крыла с острой передней кромкой была решена в [10]. Было установлено, что для крыльев с острой кромкой характерны два типа оптимальных форм в плане: с широким носовым срезом и с острой вершиной, причем каждому из них соответствует своя ветвь решения задачи оптимизации.
2. Учет затупления. Затупленная передняя кромка является источником дополнительных сил Xb и Yb, действующих на крыло. Для их определения рассмотрим обтекание сечения передней кромки тонкого крыла, расположенного под углом атаки a, набегающим потоком. Аналогично [15], будем считать, что в сечении по нормали к кромке затупление представляет собой дугу окружности постоянного по длине кромки радиуса г. Согласно модифицированной формуле Ньютона давление в каждой точке передней кромки равно
—=cp0 cos2 S+—sin2 S,
где & — угол между вектором скорости набегающего потока и нормалью к поверхности сечения в данной точке, — скоростной напор набегающего потока. Коэффициент давления в начальной точке сечения крыла по нормали к кромке ср0 определяется следующим выражением:
cp0 = 2
Y+l |у-1
Y—1 Y
Г1л
Y-1
M
N
M
со у
гг Р 1
При этом второе слагаемое в выражении для — имеет порядок ——, поэтому им можно
Чо М2
пренебречь.
Интегрируя выражение для давления по длине сечения передней кромки, получим выражения для проекций подъемной силы и силы сопротивления на оси скоростной системы координат. Переходя к связанной системе координат, получим:
P V2 (1—cos а)
F = с ГО О r \ )
Гv —С „п Г
Po Vi „ Г 2
x p0 2 3 ’ y p0 2 І 3
—sin а(1—cos а) I.
(l)
Эти формулы справедливы только для прямого участка передней кромки. Скошенный же участок кромки оптимального крыла малого удлинения, отклоненный вниз на некоторый угол у от плоскости у0 = 0 (у — угол между касательной к передней кромке и сечением плоскости у0 = О плоскостью, перпендикулярной к передней кромке) [10] — [12], обтекается в плоскости
п
нормального сечения под углом атаки а ^ «— скоростью
VoN =Vo ■sjsin2 а—cos2 х cos2 а «V» sin а ,
где х — угол стреловидности скошенного участка кромки. Поэтому для скошенного участка кромки в проекции на оси связанной системы координат имеем:
р Po^m2 а r
Fx1~ cp0 » r
Г 3 Л Г *2 л л
а tg cos у г -Ws 3 2 —— sin у 3 1 sin у 2 1 3cos у 3 —O(s)
V V у у
3
2 sin у
—- sin у--------------------
3 3
-vs
. 2 , cos2 у
sin2 у -1--------------
(2)
—O(s)
Тогда, производя интегрирование (1) и (2) по длине передней кромки, включающей в общем случае прямой участок (носовой срез) и скошенные боковые участки, и принимая во
внимание, что для рассматриваемых крыльев sin у= vs и cos у«1, получим выражения для сил,
вызванных затуплением в связанной системе координат:
b---=s3/2 sin2 а tg2 а а
r с
(
p0
2L sa tg а
f
(l—cos а)2 3sin2а 0 1—s tg2а^3 3
z0— є tgа2 (г -l(O-zo)
P» V2 L
b = s1/2 sin2 а tg а a
r с
p0
2La
2 1—cos а
3 sin а
где z0 — приведенная полуширина носового среза.
—^ГтН(2-^) (O-z)
1—s tg а 3 '
г
Величина N-------------является параметром подобия, и при N~\ (соответственно
2Ь в а
г
—-О (в)) сопротивление затупленной передней кромки по порядку величины соизмеримо с
волновым сопротивлением нижней поверхности [16]. В настоящей работе рассмотрены крылья, для которых данное условие выполнено.
Полученные силы, определяющие влияние затупленной передней кромки на аэродинамические характеристики крыла при невязком обтекании, позволяют определить функционал для
вычисления аэродинамического качества, оставляя в выражении для Qь только члены главного порядка по в:
К=С18 а-^^^^в3'2),
81л2а
Q .ТСР0 (1+С°8а)2 _
-N ~~1 г0-
а 381П а
При этом будем считать, что вершина крыла в плане всегда является затупленной и минимальная величина носового среза равна радиусу затупления передней кромки. Поэтому при оптимизации мы всегда будем получать крылья с ненулевым носовым срезом.
3. Метод решения. Из полученного двучленного разложения ^ по в видно, что для нахождения максимума аэродинамического качества необходимо минимизировать функционал Q = ^
который зависит от формы скачка уплотнения £(х, г) и проекции передней кромки в плане хе(г) (или ге(х)). Изопериметрическим условием считаем заданную площадь крыла в плане:
с p = 2 J[1-xe (z)] dz=2^ ze (x)dx=2c0.
Положительную добавку к аэродинамическому качеству по сравнению с ньютоновским значением К = ctga можно получить, если Qmin<0. Этого можно добиться, если волновая составляющая Qw< 0, так как добавка Qb, связанная с затуплением, всегда положительна. Согласно [10] это имеет место, если проекция передней кромки на замыкающую плоскость кормового сечения
х = 1 лежит ниже сечения скачка уплотнения этой плоскостью, что можно обеспечить путем отгибания вниз передней части крыла. Для этого, аналогично [10], форму скачка уплотнения
ищем в классе поверхностей S (x, z)=a(x) zn, причем sign(a'(x)) = const. Варьируя функцию a(x)
и показатель степени n, можно описать достаточно широкий класс головных скачков уплотнения. В данной работе исследования были проведены для конкретного вида функции a(x)=k ln(8+x),
где n, k, 5 — свободные форм-параметры задачи.
Построение процедуры оптимизации выполняется аналогично [13]. Полученная в результате решения экстремаль ze(x) дает максимум функционала Q = Qmax < 0, т. е. любая форма проекции передней кромки в плане дает Q < Qmax и, следовательно, больший выигрыш в качестве. Форма оптимального крыла определяется при дополнительном ограничении на величину полуразмаха Q: Q = 0(1), а проекция передней кромки представляется в виде плоского участка (носового среза) и боковой искривленной части в форме кубической параболы из [10]:
Это дает два свободных форм-параметра кромки: полуширину носового среза г0 и А. При проведении полной оптимизации вместе с ними варьируются и форм-параметры скачка п, к, 5. Находится их комбинация, при которой Q = Qmm< 0 и существует решение задачи построения поверхности крыла. Ранее [10] было выяснено, что параметры оптимального скачка п = 2, к = -
5 = 0,38 не зависят от геометрических параметров О, ст0, но форм-параметры кромки z0 и А и минимальное значение Q чувствительны к их изменению.
4. Результаты расчетов. Численное решение задачи оптимизации показало, что затупление передней кромки оказывает существенное влияние на форму оптимального крыла в плане и на его аэродинамическое качество. Если для крыльев с острой кромкой характерны два типа оптимальных форм: с носовым срезом и с острой вершиной [12], то для крыльев с затупленной кромкой в невязком потоке характерными являются крылья с минимальным носовым срезом, равным радиусу затупления вершины крыла [17]. Соответствующие зависимости форм-параметров кромки г0 и А и величины минимизируемого функционала Q от полуразмаха О представлены на рис. 1. Существование крыльев с широким носовым срезом при малых значениях полуразмаха О объясняется необходимостью соблюдения заданной площади крыла в плане. Характерные формы
0,5,
0,6 —
/
о
0,8
А
£1
1
о
0.8
-0,4 -
- 2
Рис. 1. Зависимости форм-параметров z0 и А и функции Q от величины приведенного полуразмаха крыла О: Мш = 20, а = 30°, ст = 1,75 :
1 — крыло с острой кромкой; 2 — крыло с затупленной кромкой, г/Ь = 0,01
оптимальных крыльев различной площади в плане (стр = 0,75 (а); 1,25 (б); 1,75 (в)) при М» = 20 и угле атаки а = 30° представлены на рис. 2.
Учет затупления передней кромки позволил исследовать поведение аэродинамического качества во всем диапазоне углов атаки, где применима теория тонкого ударного слоя. На рис. 3 представлены сравнительные зависимости К(а) для оптимальных крыльев с затупленной и острой кромками различных площадей в плане (стр = 0,75; 1,25; 1,75,) и для плоской затупленной пластины в невязком потоке. При этом для каждой из группы крыльев поддерживалась постоянной величина полуразмаха О. Остальные геометрические параметры ^0, A) для крыльев выбирались из решения соответствующих оптимизационных задач. Видно, что зависимость К(а) для крыльев с затупленной кромкой носит немонотонный характер и имеет характерный максимум при а ~ 8 — 16° в зависимости от площади крыла в плане и М» При а> 20° влияние затупления на качество оптимального крыла незначительно, выигрыш же в качестве по сравнению с пластиной является существенным и составляет ДК ~ 0,7 — 1,5. При уменьшении а влияние затупления становится более заметным, что связано с увеличением продольной силы, вызванной
а)
Рис. 2. Характерные формы оптимальных крыльев с затупленной передней кромкой: M» = 20; а = 30°; г/Ь = 0,01;
а — стр = 0,75^0 = 0,012); а — стр = 1,25^0 = 0,034); а — стр = 1,75 ^0 = 0,24)
Рис. 3. Зависимости аэродинамического качества оптимальных крыльев различной площади от угла атаки, M» = 20:
1 — крыло с затупленной кромкой; 2 — крыло с острой кромкой;
3 — плоская пластина
затуплением. Именно ее действие приводит к появлению локального максимума на кривой К(а) и дальнейшему уменьшению К с уменьшением а.
Также было выяснено, что существенное влияние на величину максимального аэродинамического качества крыла оптимальной формы оказывает число М набегающего потока. Особенно заметно это влияние для крыльев с узким носовым срезом. Соответствующие зависимости,
а также зависимость угла атаки аКмах(М), при котором достигается Кмах в невязком потоке, представлены на рис. 4. Таким образом, затупление передней кромки приводит к изменениям формы оптимального крыла в плане, а также к снижению его аэродинамического качества, особенно заметному при углах атаки а < 20°.
5. Выводы. Было проведено обобщение постановки задачи оптимизации формы крыла малого удлинения с затупленной передней кромкой. Исследовано влияние затупления передней кромки на форму и аэродинамическое качество оптимального крыла. Проведенные расчеты показали, что:
затупление передней кромки приводит к изменению характерных форм оптимальных крыльев, минимизируя величину носового среза, являющегося источником значительного сопротивления;
зависимость К(а) становится немонотонной и имеет максимум при а~ 8 — 16°; в зависимости от площади крыла в плане Kmax ~ 5 — 8;
затупление передней кромки приводит при а <20° к уменьшению аэродинамического качества оптимального крыла по сравнению с крылом с острой кромкой, выигрыш в качестве по сравнению с пластиной остается существенным (ДК ~ 0,7 — 1,5);
обнаружены зависимости Kmax и aKmax от Мш: выяснено, что с увеличением Мш максимальное качество Kmax уменьшается, а aKmax увеличивается, причем для крыла с острым носовым срезом эти эффекты проявляются гораздо сильнее.
Авторы выражают благодарность В. Я. Нейланду и В. В. Келдыш за полезные советы, замечания и обсуждение результатов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02-01-00757).
ЛИТЕРАТУРА
1. Таковицкий С. А. О выборе системы геометрических параметров оптимизируемого крыла// ПММ. — 1998. Т. 62, № 5.
2. Келдыш В. В. Оптимальные формы несущих тел, обтекаемых с плоским скачком уплотнения// Изв. РАН, МЖГ. — 1996, № 4.
3. Зубин М. А., Остапенко Н. А., Чулков А. А. Аэродинамическое качество треугольного в плане волнолета при гиперзвуковых скорорстях// Изв. РАН, МЖГ.— 1997, № 6.
4. Bowcutt K. G., Anderson J. D., Capriotti D. Viscous optimized hypersonic waveriders// AIAA Paper . — 1987, № 272.
A
0 —|-------------------------------------------------------------1-1-,-1-,-1 М
8 12 16 20
Рис. 4. Зависимости Kmax и а к от числа М набегающего
потока для оптимальных крыльев, ст = 1,25; г/Ь = 0,01:
1 — крыло с 10 = 0,04; О = 1,5; 2 — крыло с 10 = 0,504; О = 1,4
5. Николаев В. С. Треугольное крыло оптимальной формы в сверхзвуковом потоке// Ученые записки ЦАГИ. — 1978. Т. IX, № 6.
6. Майк ап ар Г. И. Крыло с максимальным аэродинамическим качеством при гиперзвуковых скоростях// ПММ. — 1966. Т. 30, № 1.
7. Животов С. Д., Николаев В. С. Метод расчета локальных аэродинамических характеристик в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса// Труды ЦАГИ. — 1998. Вып. 2636.
8. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.— М.: Физматгиз. — 1959.
9. Голубкин В. Н. Пространственное обтекание крыльев гиперзвуковым потоком газа// Изв. РАН, МЖГ. — 1992, № 5.
10. Голубкин В. Н., Негода В. В. Оптимизация пространственной формы несушцх тел малого удлинения при гиперзвуковых скоростях// ЖВММФ. — 1991. Т. 31, № 12.
11. Голубкин В. Н., Негода В. В. О повышении аэродинамического качества крыльев малого удлинения при гиперзвуковых скоростях// ПММ. — 1992. Т. 56, № 3.
12. Голубкин В. Н., Негода В. В. Оптимизация гиперзвуковых крыльев// ЖВММФ. — 1994. Т. 34, № 3.
13. Голубкин В. Н. Несушце крылья оптимальной формы в вязком гиперзвуковом потоке// Изв. РАН, МЖГ. — 1995, № 6.
14. Голубкин В. Н., Емелин Д. С. Расчет максимального гиперзвукового качества и оптимальных форм крыльев малого удлинения с ламинарным и турбулентным пограничным слоем// ЖВММФ. — 1997. Т. 37, № 10.
15. Келдыш В. В. Сопротивление стреловидной затупленной кромки крыла при гиперзвуковых скоростях// Изв. АН СССР, МиМ. — 1964, № 5.
16. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. — М.: Машиностроение. —1975.
17. Голубкин В. Н., Сысоев В. В. Оптимальные крылья с затупленной передней кромкой в гиперзвуковом потоке// Труды 5-го Международного научно-технического симпозиума «Авиационные технологии XXI века». — Жуковский. — 1999.
Рукопись поступила 6/УІІ2000 г. Переработанный вариант поступил 8/Х 2002 г.
