Исследование пространственного течения газа около плоского треугольного крыла с затупленными вершиной и передними кромками Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЩАГИ Том XX111 1992 М 1

УДК 533.6.011.3/.55 : 629.7.025.1

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ОКОЛО ПЛОСКОГО ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА С ЗАТУПЛЕННЫМИ ВЕРШИНОЙ И ПЕРЕДНИМИ КРОМКАМИ

А. П. Косых

Представлены результаты расчетного исследования невязкого пространственного обтекания затупленного по сфере крыла с цилиндрическими передними кромками (х = 81°) при числах 2 ^ М,,, ^ 20 и значениях угла атаки 16°. Получены новые данные об особенностях течения около крыла как на малом, так и на большом расстоянии от сферического носового затупления. Рассмотрен вопрос о влиянии числа Маха, угла атаки и относительного радиуса затупления крыла на структуру течения, на процесс формирования и развития высокоэнтропийного слоя газа вблизи поверхности крыла.

Исследования обтекания крыла с затупленными вершиной и передними кромками при сверх- и гиперзвуковых скоростях полета представляют большой практический интерес. Например, затупленное крыло как один из основных несущих элементов самолетной компоновки типа «низкоплан» вносит главный вклад в подъемную аэродинамическую силу и в значительной мере определяет поле течения около наветренной поверхности компоновки. Затупление вершины и передних кромок крыла может решающим образом влиять на газодинамику возмущенного потока, в частности, через интенсивный энтропийный пристенный слой изменять характеристики воздухозаборников силовых установок, аэродинамическое качество крыла [!]•

Исследования пространственного обтекания затупленного крыла интересны также с теоретической точки зрения, поскольку пространственные течения около такого типа крыльев сложны и недостаточно полно изучены из-за отсутствия систематических расчетных данных.

Исследованию данной проблемы посвящен ряд теоретических и экспериментальных работ [2—8]. По-видимому, одной их первых работ, где рассмотрено плоское крыло со сферическим затуплением вершин и цилиндрическими передними кромками, было экспериментальное исследование [2]. Среди экспериментально-теоретических работ, посвященных исследованию затупленных крыльев, отметим статью [4], в которой подробно изучен вопрос о влиянии затупления передних кромок на аэродинамические характеристики крыльев при сверхзвуковых скоростях полета.

На гиперзвуковых скоростях полета исследование аэродинамических свойств плоских затупленных крыльев расчетно-теоретическим и экспериментальным методами проведено в работах [5—7]. В этих работах изучено влияние вязкости, степени затупленности и угла стреловидности крыла на его

аэродинамические характеристики. Опытные данные получены в широком диапазоне чисел Рейнольдса, при этом были испытаны крылья различной степени затупленности и умеренных линейных размеров (/,/гзат< 60, I;— длина корневой хорды без учета затупления). В работе [8] экспериментально исследовались вопросы аэродинамического нагревания плоских треугольных крыльев с затупленными передними кромками.

Однако до настоящего времени отсутствуют сообщения о систематических расчетах затупленных крыльев. Среди расчетных работ отметим исследования [9—11], где рассмотрены плоские затупленные крылья с корневой хордой малых линейных размеров (Ь/гзат« 10). В известном расчетном исследовании [12, 13] основное внимание уделено разработке универсального метода и алгоритмов расчета сверхзвукового обтекания гладких профилированных крыльев. Однако авторы этих работ при решении прикладных задач ограничились анализом течений у крыльев также небольших линейных размеров (/./гзат< 10).

Но, как известно, при сверхзвуковых скоростях полета для уменьшения сопротивления и повышения аэродинамического качества крыла необходимо уменьшать радиус затупления крыла, что равносильно рассмотрению крыла достаточно больших линейных размеров (£/гзат» 10).

В данной работе изложены результаты параметрического расчетного исследования, когда определяющие течение параметры и а изменялись в широких диапазонах. Исследование отличается от описанных выше работ тем, что пространственное течение около затупленного крыла (х = 81°) изучено не'только на малых и средних, но и на больших расстояниях от затупленной вершины.

Степень удаленности от затупленной вершины имеет принципиальное значение для формирования режима обтекания нижней поверхности крыла. Удаленность от вершины крыла, в конечном итоге, существенным образом влияет на характеристики потока газа за головной ударной волной. В частности, градиентный высокоэнтропийный слой газа вблизи наветренной поверхности крыла вызывает большую неравномерность потока. При этом относительная толщина градиентного слоя зависит от расстояния, отсчитываемого от вершины, или от радиуса затупления гзат. К тому же в реальном полете энтропийный слой оказывает значительное воздействие на развитие вязкого пограничного слоя и, тем самым, может повлиять на теплообмен у наветренной поверхности и на аэродинамические характеристики крыла.

1. Пространственное течение около затупленного по сфере плоского крыла с большим углом стреловидности х по передней кромке имеет две характерные области £2,1 и £2г (рис. 1): область где поток до- и сверхзвуковой

г

ос-в°,у-0

М-7

-50

50

0

о -501 м-'Ч

У

Рис. 1

(М^1), и область й2 всюду сверхзвукового течения (М > 1). Здесь сразу же отметим, что линия сопряжения сферы с пластиной и цилиндрическими кромками полностью лежит в сверхзвуковой области течения. Ясно, что исследованию обтекания крыла в областях &1 и й2 соответствуют две основные расчетные задачи.

Сформулируем постановку этих задач и опишем методы их решения. Постановка задачи о смешанном течении около сферического затупления в области £2| (подобласть й1а) общеизвестна — на тупое тело набегает сверхзвуковой поток, перед телом образуется головная ударная волна, течение за которой является трансзвуковым. Необходимо численно построить решение в подобласти 0|а, включающей в себя как дозвуковую, так и малую часть сверхзвукового течения и ограниченной поверхностями тела, ударной волны и некоторой замыкающей поверхностью пространственного типа.

На ударной волне, рассчитываемой как поверхность сильного разрыва, выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии. На поверхности тела реализуется условие непротекания. Замыкающая поверхность пространственного типа является свободной границей. Расчет смешанного течения в подобласти Д овыполнялся с помощью программного комплекса АРГОЛА [14]. Расчет осуществлялся установлением по времени, т. е. проводилось численное интегрирование по временной координате ^ нестационарных уравнений Эйлера. Метод установления базировался на схеме Томаса [15], явной двухшаговой схеме Маккормака [16] и алгоритмах, разработанных в [17].

Алгоритмы [17] достаточно универсальны и позволяют использовать в расчетах носовых затуплений систему координат с подвижным центром и функциями сгущения по всем пространственным переменным. Эти алгоритмы обладают достаточной гибкостью, чтобы их можно было применять в расчетах обтекания затуплений различной формы. Программные реализации алгоритмов были применены, в частности, в большой серии расчетов осесимметричного обтекания сферы сотрудниками ЦАГИ И. Ф. Челышевой и И. И. Шитиковым Расчетные поля течений около сферы хранятся в банке данных на магнитных носителях и были использованы в расчетах сверхзвуковой подобласти течения О|боколо носового затупления крыла.

Расчетная сетка около сферического затупления равномерна и образована множеством лучей, представляющих собой радиус-векторы полярной системы координат с началом в центре сферического затупления и разбитых на одинаковое число отрезков между волной и телом. Сетка имела 19 расчетные лучей и на каждом луче располагалось 11. узлов. Точность результатов расчета контролировалась путем проверки выполнения законов сохранения: энергии — в каждой точке, массы и импульса — интегрально. Погрешность проведенных расчетов обтекания сферического затупления не превышала долей процента.

В подобласти £21а поток на замыкающем луче (см. рис. 1) был всюду сверхзвуковым. Далее в сверхзвуковой подобласти течения й1б, примыкающей к й1а, ставилась вспомогательная кор'ректная задача Коши с начальными данными на замыкающем луче подобласти £2,а и краевыми условиями на головной ударной волне и поверхности тела. Постановка вспомогательной задачи необходима для гладкого перехода от расчета смешанного течения у носового затупления к расчету полностью сверхзвукового течения у крыла. Для ее решения использовалась методика и программы так называемого пространственного сверхзвукового разворота потока [18]. В подобласти й16 течение гладкое и решение выстраивалось маршевым способом — переходом от одного луча к другому лучу полярной системы координат с подвижным центром. При этом расчетный координатный луч постепенно переводился в выходную плоскость х = хо, перпендикулярную оси крыла, где начинаются цилиндрические передние кромки крыла. Полученное осесимметричное поле течения на выходном луче затем распространялось на всю плоскость х = х0, и таким образом выстроенное решение бралось в качестве поля начальных данных

для расчета течения в сверхзвуковой области £2и маршевым методом вдоль оси крыла х.

Задача обтекания крыла в сверхзвуковой области £22 рассматривалась в декартовой системе координат х, у, г. Плоскость 2 = 0 совпадала с плоскостью симметрии, ось х лежала в этой плоскости. Передние кромки крыла находились в плоскости у = 0. Головная ударная волна всюду в этой области рассчитывалась как поверхность разрыва газодинамических функций. Задача о расчете пространственного течения около плоского треугольного крыла в области У2 ставилась в предположении, что газ невязкий и нетеплопроводный (х= 1,4).

Остановимся несколько подробнее на маршевом методе расчета полностью сверхзвукового течения. Для расчета поля сверхзвукового течения в области £22 был использован известный метод С. К. Годунова [19]. Реализованный вариант метода для совершенного газа (х = const) только в технических деталях отличается от его описания, данного в работе [20]. Исходные уравнения газодинамики были взяты в декартовой системе координат. Выбор декартовой системы координат позволил записать уравнения пространственного течения в дивергентной форме. Дивергентность записи, как известно, дает, возможность не нарушать законов сохранения на однородных разностных схемах.

В области £22 выполнялось условие ^-гиперболичности системы газодинамических уравнений (ы > а, и — продольная компонента скорости, а — скорость звука). При выполнении этого условия возможны корректная постановка и численный расчет задачи Коши с начальнымй данными, полученными в сечении х = Хо, и соответствующими краевыми условиями на ударной волне, поверхности тела и в плоскости симметрии течения. Счет проводился в направлении оси х маршевым способом — переходом на каждом шаге интегрирования hx от сечения х = х„ к сечению х — х„ -+- hx. Следовательно, поле газодинамических параметров р, р, ы, v, w определялось последовательно в плоскостях, перпендикулярных оси х. Здесь и далее в статье р, р, и, v, w — плотность, давление и компоненты скорости, отнесенные к плотности набегающего потока р»,, произведению р^У^и У тахсоответственно (Ктах — значение предельной газодинамической скорости).

Кратко опишем суть реализации стационарного метода Годунова в декартовой системе координат х, у, г. Более детальное изложение особенностей этой реализации можно найти в работах авторов [21].

Законы сохранения массы и импульса для произвольного элементарного объема (ячейки) Д£2 записываются в интегральной форме:

ИКтг+^+^г)^-0' С)

ли

А.

^ 1 я ри pv p w

где: Л = А2 р + ри2 , я= puv , c= p UW

^3 puv p + pv- pvw

А< р UW pvw p + pw2

Система (1) замыкается условием сохранения полной энтальпии

и2 + »2 + и'2 + 2й = соп8І, /» = (2)

X— 1 р У '

Газодинамические параметры на боковых гранях криволинейной шестигранной ячейки Д£2 определяются из решения вспомогательной задачи о взаимодействии двух равномерных сверхзвуковых потоков. Если же ячейка Д£2 прилегает к поверхности тела, то задача о взаимодействии потоков упрощается и сводится к выполнению условия непротекания.

После интегрирования системы уравнений (1), (2) искомые газодинамические параметры на выходной грани в плоскости х — хп + Л* для всех видов ячеек определяются по формулам:

W =--

il А, ’

Р =

__

(3)

Следует заметить, что выбор шага интегрирования hx диктуется условием устойчивости, физическая интерпретация которого дана в работах [19, 20].

В каждой плоскости х = const применялся достаточно простой алгоритм конструирования разностной сетки, базирующийся на лучевой системе. На внешней границе расчетной области Й2 (головной ударной волне), а также на внутренней границе (контуре тела) в поперечном сечении х = const распределялось фиксированное число узлов /К011 = 37.

На контуре тела узловые точки расставлялись по тригонометрическому закону

где 2кр — аппликата кромки крыла. Узлы сгущались в окрестности передней кромки крыла с целью более точного описания газодинамического решения. Соответствующие узлы на теле и волне соединялись прямолинейными отрезками. Поперек ударного слоя на отрезках прямых располагалось равномерно постоянное число узлов, которое варьировалось от 21 до 41. Таким образом, большинство вариантов проведенных расчетов осуществлено на сетке 21X37 и лишь небольшая часть расчетов, относящихся к малым числам проведена на сетке 41X37. Точность расчета крыла в целом

по выполнению закона сохранения массы колебалась от долей процента

В расчетах движения головной ударной волны, отделяющей возмущенную область течения от равномерного набегающего потока, использовался стационарный аналог алгоритма нелинейной схемы [22]. Стационарный алгоритм разработан айтором [23] в соответствии с идеями работы [24] и имеет сходные черты с алгоритмом, предложенным ранее в работе [25] и широко используемым в численных исследованиях.

2. Параметрические расчеты и проведенный анализ полей течения у крыла с углом стреловидности по передне» кромке % = 81° .позволили выявить ряд нетривиальных свойств исследуемого пространственного течения. Несомненный интерес представляет, прежде всего, общая топология обтекания и структура ударного слоя.

На рис. 1 показаны следы головной ударной волны на плоскости у = 0 и в поперечном сечении х = 100 (здесь и далее на рисунках линейные размеры по х даны в радиусах затупления крыла) при вариации числа М*, и угла атаки а. При постоянном угле атаки а =8° с увеличением от 2 до 20 головная ударная волна монотонно

приближается к нижней поверхности и затупленным передним кромкам крыла. Аналогично поведение ударной волны, когда число М„ невелико и фиксировано, а угол а меняется от 0 до 16° (нижняя часть рисунка).

Совсем иная картина течения наблюдается в случае постоянного гипер-звукового числа М^^‘12 и при вариации угла а. Как показали расчеты,

z,= zKpsin((/— 1)Д«р), А<р= . /= 1, 2,...,/кон,

до 1 — 2%.

с увеличением угла атаки от 12 до 16° у нижней плоской поверхности крыла и в окрестности передних кромок толщина ударного слоя не уменьшается, как в случае, изображенном на рис. 1, а начинает возрастать, т. е. поведение отхода головной ударной волны около нижней поверхности крыла и передних кромок носит ярко выраженный немонотонный характер по углу а.

В верхней части .рис. 2 показано положение головной ударной волны в плоскости симметрии 2 = 0 для а = 8° и [2; 20]. Обращает на себя

внимание тот факт, что при гиперзвуковом числе М„ = 20 даже на сравнительно большом удалении от затупленной вершины крыла ударный слой достаточно тонок. Одновременно в плоскости 2 = 0 течение у нижней поверхности крыла имеет сложное пространственное строение (см. зависимость ди)/дг(х) в нижней части рис. 2). Для чисел М„ = 2; 4 и 6 поток течет всюду от плоскости симметрии (дш/дг > 0), тогда как при гиперзвуковых числах М,» = 8 и 20 существует совсем иная физическая картина тёчения. В плоскости симметрии происходит процесс перехода потока от состояния с линией растекания (дт/дг > 0) к состоянию с линией стекания (дш/дг < 0) и затем снова поток движется от плоскости г = 0 к кромкам крыла (М„ = = 8, дии/дг > 0, когда х > 60, и = 20, дтю/дг > 0, когда х > 100).

На небольшом расстоянии от затупленной вершины крыла в продольном направлении характерны заметные градиенты всех рассчитываемых газодинамических функций, в том числе давления р/р^ и плотности р/р» (рис. 3 и 4).

Рис. 4

При удалении от носового затупления вниз по потоку происходит эволюция течения — от сильно заторможенного у сферы к течению, формирующемуся у плоского крыла с цилиндрическими кромками. На сильно искривленной передней части крыла поток перерасширяется, а затем резко затормаживается на плоской поверхности. При этом локальное поджатие газа на пластине имеет место не только у верхней, но и у нижней поверхности. Интенсивность поджатия нарастает с увеличением угла атаки а, и она достигает максимума на подветренной стороне крыла. Градиентное течение реализуется также в окрестности затупленных передних кромок (рис. 5).

С удалением от носового затупления у нижней поверхности затупленного крыла в сжатом слоёЧ'аза происходит быстрое выравнивание давления (см. рис. 3). На рис. 3 и 5 для сравнения штрихпунктирной линией нанесены значения давления в плоскости симметрии острого треугольного крыла [21]. Таким образом, давление в плоскости симметрии затупленного крыла с ростом х достаточно быстро приближается-к соответствующему значению давления на крыле с острыми передними кромками.

Совсем иная картина наблюдается в распределении плотности вдоль крыла. Плотность, как менее консервативная функция по сравнению с давлением, даже на достаточно большом удалении от носка крыла (х > 100) продолжает, хотя и слабо, возрастать (см. рис. 4). Ясно, что сопоставление плотности- у затупленного и острого треугольных крыльев большого смысла не имеет, поскольку около затупленного крыла формируется высокоэнтропийный слой газа, а в коническом течении около острого крыла такого рода особенности не существует.

Как известно, при больших числах течению около сферического затупления за искривленной сильной головной ударной волной присущи большие поперечные градиенты энтропии, поток газа здесь сильно завихрен. Из-за большого увеличения энтропии в слое газа, проходящем вблизи поверхности тонкого крыла, формируется градиентный высокоэнтропийный слой. Это та часть возмущенного потока газа, где, например, плотность и соответственно число М поперек ударного слоя резко-падают (рис. 6 и 7).

На рис. 6 и 7 показано влияние числа М^, угла атаки а, значений х на распределение местного числа Маха и, следовательно, на структуру энтропийного слоя поперек ударного слоя с наветренной стороны крыла. Для чисел М„ = 2 и 4 энтропийный слой тонок и имеет малую интенсивность (см. рис. 6). При гипфзвуковых числах М,*, в сечении х = 100 энтропийный слой «взбухший» и занимает значительную часть всего ударного слоя (уя — координата ударной волны). Увеличение угла атаки а приводит к ослаблению интенсивности градиентного энтропийного слоя и уменьшению его толщины.

На малом расстоянии от сферического затупления, что равносильно рассмотрению течения около сильно затупленного тела, происходит переходный процесс с образованием градиентного слоя газа. Этот слой в течении слишком размыт, для того чтобы его можно было назвать энтропийным слоем (см. рис. 7, х = 10). Рис. 7 иллюстрирует эволюцию энтропийного слоя газа. С удалением от сферического затупления энтропийный слой становится тоньше относительно всего ударного слоя газа (см. также работы [26—28]).

Таким образом, при гиперзвуковых числах М^ степень удаленности от затупленной вершины, что равносильно изменению радиуса затупления крыла, оказывает существенное влияние на газодинамические параметры потока у нижней поверхности крыла. Особенно сильно изменяются газодинамические параметры, характеризующие расход газа в пристенной области течения. Этот факт может иметь важное практическое значение, напрймер, при выборе оптимальной формы и местоположения воздухозаборнрго устройства силовой установки (см. [1]).

Приведенные результаты анализа показывают, что несмотря на простоту геометрии плоского затупленного крыла течение около него имеет сложный пространственный характер и включает в себя пристенный энтропийный

Рис. 5

слой. Интенсивность и толщина этого слоя зависят от числа МЮ1 угла атаки а и радиуса затупления крыла гзат.

Автор благодарен Г. Г. Нерсесову за помощь в создании начальных полей течения около сферического затупления с помощью банка расчетных данных, хранящихся на магнитных носителях в ЦАГИ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Б ах а рев С. А., Г у рыл ев В. Г., Косых А. П. Аэродинамические характеристики затупленной треугольной пластины с отбором воздуха через «рамку» воздухозаборника при сверх- и гиперзвуковых скоростях // Ученые записки ЦАГИ.—1991. Т. 22. № 1.

2. В е г t г a m М. Н., Е v а г h а г t Р Е Ап experimental study' of the pressure and heat transfer distribution on a 70° sweep slab delta wing in hypersonic flow // NASA TR.—1963. R-153.

3. Л у и e в В. В. Гиперзвуковое обтекание треугольной пластины с притупленными кромками // Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 3.

4. Келдыш В. В., ill т е й и б е р г Р. И. Влияние скругления передней кромки треугольного крыла на его аэродинамические характеристики при сверхзвуковых скоростях полета // Ученые записки ЦАГИ.— 1976. Т. 7, № 4.

.5. Николаев B.C. Аэродинамическое качество и балансировка крыла с затупленными кромками в гиперзвуковом потоке // Там же.— 1987. Т. 18, № 2.

6. Г о р е н б у х П. И. Аэродинамическое качество плоского треугольного крыла с затупленными кромками при больших сверхзвуковых скоростях обтекания // Tain же.— 1989, Т. 20, № 1.

7. Г о р е н б у х П. И., Н о с о в В. В. Совместное влияние вязкости и затупления на аэродинамическое качество треугольного крыла в потоке с большой сверхзвуковой скоростью // Там же.— 1989, Т. 20, № 3.

8. Д а в ы д о в а Н. А., Ю ш и и А. Я. Экспериментальное исследование теплопередачи при обтекании плоских треугольных крыльев с притупленными кромками // Там же.— 1970. Т. 1. № 6.

•9. Магомедов К. М., Холодов А. С. О сверхзвуковом пространственном обтекании треугольного крыла с притупленными кромками // Изв. АН СССР. МЖГ.—1967, № 4.

10. С h и С. W. Supersonic flow about slab delta wings and wing-body configurations // engineering Notes.— 1973. Nov.

11. Tannehill J. C„ Venkatapathy E., Rakich J. V. Numerical solution of supersonic viscous flow over delta wings // AIAA J.— 1982. Vol. 20, N 2.

12. Воскресенский Г. П., Орлова М. Г., Стебу нов В. А. Сверхзвуковое невязкое обтекание крыльев при отошедшей ударной волне // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР.— 1981. № 152.

13. Воскресенский Г. П. Численный метод расчета сверхзвукового обтекания крыльев летательных аппаратов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 1984. Т. 24, № 6.

14. Михайлов Ю. Я., Юмашев В. Л. Комплекс АРГОЛА: Автоматизированный расчет гиперзвукового обтекания летательного аппарата // Материалы VII Всесоюзного семинара по комплексам программ математической физики.— Новосибирск, 1982.

15. Thomas P. D., Numerical solution for the three-dimensional flow field of a Blunt delta body.— AIAA J. // 1972. Vol. .10, N 7.

16 M а с С о г m а с k R. W. Numerical solution of the interaction of a shock wave with a laminar boundary layer // Proc. second intern, conf. on numerical methods in fluid dynamics, 1971.

17. Б а з ж и н А. П., Пирогова С. В. Алгоритм расчета трех-

мерных смешанных течений газа // Труды ЦАГИ.— 1974. Вып. 1604.

18. Базжин А. П.,. Михайлов Ю. Я., Нерсесов Г. Г. Специализированный алгоритм расчета сверхзвуковых трехмерных течений газа // Труды ЦАГИ,— 1984. Вып. 2248.

19. Г о д у н о в С. К., 3 а б р о д и н А. В., И в а н о в М. Я.; К р а й -ко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики.— М.: Наука, 1976.

20. И в а н о в. М. Я., К р а й к о А. Н., М и х а й Л(0 в Н. В. Метод

сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений//

Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 1972, Т. 12, № 2.

21. Косых А. П., Минайлос А. Н. Расчет сверхзвукового течения у несущих тел и крыльев методом сквозного счета // Труды ЦАГИ.—1977. Вып. 1809.

22. Годунов С. К., 3 а б ро д и н А. В., П р о к о п о в Г. П. Разност- , ная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 1961, т. 1, № 6.

23. Михайлов Ю. Я. Замечание по устойчивости нелинейной схемы расчета движения ударной волны // Там же.— 1983. Т. 23. № 5.

24. Г о д у н о в С. К., Прокопов Г. П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // Там же.— 1972. Т 12, № 2.

25. КрайкоА.Н.. Макаров В. Е., Т и л л я е в а Н. И. К численному построению фронтов ударных волн // Там же.— 1980. Т. 20, № 3.

26. Л у н е в В. В., М а г о м е д о в К. М., Павлов В. Г. Г иперзву-ковое обтекание притупленных конусов с учетом равновесных физико-химических превращений // Труды ВЦ АН СССР.— 1968.

27. Ч у ш к и и П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений // Там же.— 1968.

28. Л ю б и м о в А. Н., Р у с а н о в В. В. Течения газа около тупых тел.— М.: Наука, 1970.— Т. 1. 2.

Рукопись поступила 23/VII 1990