Аэродинамические характеристики крыла конечного размаха в гиперзвуковом потоке излучающего газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м XV

1984

№ 1

УДК 533.6.011.55.011.6:629.7.025.1

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ИЗЛУЧАЮЩЕГО ГАЗА

Методом тонкого ударного слоя [1] в первом приближении получено аналитическое решение задачи гиперзвукового обтекания наветренной поверхности крыла конечного размаха при достаточно больших углах атаки потоком излучающего газа. Поверхность крыла, мало отличающаяся от плоскости, имеет переменную во времени форму, передняя кромка является острой. Исследовано влияние излучения на форму ударной волны, распределение давления и аэродинамические коэффициенты,

1. Как известно [2], при скоростях входа в атмосферу порядка второй космической температура газа за ударной волной вблизи наветренной поверхности тела настолько высока, что газ начинает излучать значительное количество энергии. Это приводит к необходимости учета влияния излучения на аэродинамические характеристики.

Рассмотрим обтекание крыла конечного размаха стационарным гиперзву-ковым потоком под углом атаки а с учетом излучения высокотемпературного газа.

Форма поверхности крыла зависит от времени, что позволяет учесть, например, унос теплозащитного покрытия. Будем считать, что средняя длина свободного пробега излучения Ьг много больше характерной толщины сжатого ударного слоя, которую обозначим через ш = < 1 (приближение опти-

чески прозрачного слоя). Параметры, характеризующие состав и равновесное состояние газа до и после головной ударной волны, считаем известными, а толщиной зоны релаксации за ударной волной пренебрегаем по сравнению с толщиной сжатого слоя.

В принятых предположениях для описания нестационарного движения излучающего газа используем систему уравнений [2, 3]:

В. Н. Голубкин

до

^ + У(Р^=0,

(1.1)

рЛ

р

д д д

Здесь у = i ^ J ~&у * ~дг ’ х' У' г ~ ДекаРтовы координаты в связанной

с крылом системе; I, j, k — соответствующие орты, t— время, V—вектор скорости с компонентами и, v, w; р — давление, р — плотность, h — энтальпия, Т — температура, е — удельная внутренняя энергия, jx — молекулярный вес газа, — эффективный показатель адиабаты, /{ — универсальная газовая постоянная,

00

а — постоянная Стефана — Больцмана; кр = -A- j* k4 Bv di — средний коэффициент

б

поглощения Планка,Lr = k~l\ Bv, В — соответственно интенсивность излучения на частоте ч и полная интенсивность излучения. Индексами оо, s отметим параметры до и после головной ударной волны. На ударной волне y = S(x, z, t) имеем соотношения

Vs= По+ Vnoa(\-k)ns,

Ps = Poo Poo оо О ^)> (1.2)

hs = hoa + ±-V2nao(l-k*),

где Vnco = (DS— Vx)-tts, k = faolps, Ds — скорость перемещения волны, ns— единичная внешняя нормаль к волне, = K(/cosa—ysina).

На поверхности крыла у = F(x, z, t)

(V-Db).nb = 0, (1.3)

где Db, nb — скорость перемещения и нормаль поверхности тела.

2. Решение задачи обтекания наветренной поверхности тонкого крыла излучающим газом при числах Ma> 1 и значениях эффективного показателя адиабаты за ударной волной (х* — 1) <С 1 будем находить, используя метод тонкого ударного слоя [1], в котором малым параметром е является отношение плотностей на сильной ударной волне. Пусть при е -> 0, a=0 (1) толщина крыла d, отсчитываемая от плоскости у = О, по порядку величины совпадает с толщиной сжатого слоя di~etgaL (L — характерный продольный размер). Параметром подобия задачи является величина D = dmixl Letga. В пределе при е 0 поверхности крыла и скачка уплотнения становятся плоскими и составляют угол а с направлением набегающего потока (ньютоновское обтекание). Тогда при sin2 a > 1 малый параметр в имеет вид

s = ^j77> * = **(роо v^sin**, -у ^sin3“)-

Порядок величины отношения температур TSJTC0 определяется величиной А = Hgp еМ^ sin2 а. В случае Л<;0 (1) при е ->• О, со температура в ударном

слое недостаточно высока, и согласно (2.9) влияние излучения несущественно. Рассмотрим случай (1), когда вследствие высокой температуры нужно

учитывать влияние излучения на аэродинамические характеристики в следующем приближении к ньютоновскому (в ньютоновском приближении излучение не влияет на характеристики течения [2]).

Поскольку относительная толщина ударного слоя drfL мала, и производные функций поперек слоя по порядку превосходят производные в направлениях х, г, будем считать, что распространение излучения происходит локально-одномерным образом [5]. Тогда, интегрируя дивергенцию вектора теплового потока из уравнения энергии (1.1), найдем выражение для радиационного потока тепла к поверхности

s

qw — 2a kp J Г* dy.

F

Введем безразмерные переменные, имеющие порядок единицы в сжатом слое = tv^ cosa/z.. Xj — XIL, Yi = У//.Е tg a, = z\L a. (2.1)

Искомые функции при е О, А -» оо представим в виде разложений VjУж = Ио / COS а + є Ki Sin а + . . . ,

Р = РЮ + Poo v^sin*a(l + ept + . . . ),

P/Poo = e_1Pi + • • • . 2Й/ = hx sin2 a + . . . , (2.2)

77 T'oo = + • • • > = Kl + • • • >

S = sSj + . . . , 2qw = ?00V^ Sin3 aqt + ... ,

где V1 = lultga + jvi-\-kwu (X, = const < 1.

Подставляя (2.1), (2.2) в (1.1), (1.2), получим

Uo t + u0 u0 x + v1 u0 у = 0, м05= 1,

откуда и0 = 1.

Рассмотрим первое приближение метода тонкого ударного слоя, которое определяет главный нетривиальный член решения и структуру течения, при а» = /є-»-О, 1 — kpL tg а. Система уравнений для функций первого приближения имеет вид (индексы опущены)

Р (Vt + vx + V Vy) = — jpy, (2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Pt + Px + (P^)y = 0,

P (ht + hx + vhy) = — Г T\ ph = 1, pT = (x.

Данный режим обтекания характеризуется присоединенной к передней кромке крыла ударной волной. Будем считать, что форма передней кромки в плане х = хе(г) не зависит от времени и является гладкой. Граничные условия на ударной волне и на поверхности крыла согласно (1.2), (1.3) запишем в виде: при у = Э* (х, г, *):

“5 = — = — 5г, 1/5 = 5^ + ^^ — 1,

/’5 = 2(5; + 5;)-1, р5=1, (2.7)

= 1, ~ Ю

при у = /?*(л:, г, <):

vb=Ft +Fx-

В уравнении (2.5) через Г обозначен безразмерный параметр

8а 7±

Г = fa>Ai, 7 =

(2.8)

(2.9)

который характеризует энергетическое влияние излучения на поле течения. При Г < 1 потоком лучистой энергии можно пренебречь по сравнению с конвективными членами, и влияние излучения несущественно. Если Г>0 (1), то влияние излучения необходимо учитывать.

Пусть при е -> 0, А со величина Г = О (1), т. е. А = О [(f е/) 1/4]. При обтекании крыла равновесным потоком излучающего газа наряду с геометрическим параметром подобия D имеются параметры подобия Г, р.

Из (2.3)—(2.6) видно, что уравнения для компонент скорости и, w, показывающие, что последние постоянны вдоль траекторий, отделяются от основной системы уравнений. Поэтому основная задача состоит в определении функций v, р, р из системы уравнений двумерного нестационарного движения излучающего газа в плоскостях г = const (г играет роль параметра). После этого, если необходимо, могут быть найдены функции и, w. Таким образом, в первом приближении метода тонкого ударного слоя при обтекании крыла конечного размаха под углом атаки a = О (1) справедливо правило полос, однако погрешность его порядка е в отличие от известного правила полос для гиперзвукового обтекания этого же крыла под малым углом атаки, имеющего погрешность порядка г2 (например, [2]).

3. Введем переменную ё = х~хе(г)> отсчитываемую от носка профиля крыла в сечении z= const и переменную т = ё — t. Сделаем замену переменных х, у,

г, t -> ё, у, г, т, что дает возможность перейти от соотношений (2.3)—(2.8) к сле-

дующей стационарной задаче (зависимость от г, т — параметрическая)

Ре + (е«)у = °. (31)

р(и£ + Wy) = — ру, (3.2)

4р3(ре + иру) = К', (3.3)

при у — S (ё, г, т) = S* [Ё 4- лтв (г), г, ё — т]:

vs=Si-l, Pg = 2Sj — 1, р5=1; (3.4)

при y = F(Ё, г, т) = F* [Ё хе (г), г, ё — %]:

= (35>

Параметры подобия Г, ja входят в эту задачу только в виде произведения /С = 4Г|д>. Влияние излучения приводит к тому, что плотность в поле течения

является переменной. Введем далее функцию тока ф» удовлетворяющую урав-

нениям

Фу = р. = — Р^ (3.6>

и условиям

Ь = ф*-0.

В переменных ё, ф, г, т из (3.1)—(3.3), (3.6) имеем

Уф = р_1> v = yit Pif='—Vit 4рЗр£=А:.

Интегрируя эти уравнения и удовлетворяя условиям (3.4), (3.5), получим аналитические выражения для формы ударной волны, газодинамических функций и радиационного теплового потока

S(Ё, г, т) = F(i, г, т) + щ [(1 + К§т - 1], (3.7)

р = [1 + а:(ё-ф)]1/4, (з.в>

V = ^ (Ё, г, Т) - р-» + (1 + КЁГ1/4, (3.9)

р = 2с/ + р-1 + (Ё - ф). (Ё, г, т) - (1 + /СЁ)—5/4 . (3.10)

<7 = [1-(1 + /СЁГ1/4]/2. (3.11)

Используя (3.8), из (2.6) определяем распределения температуры и энтальпии.

Продольный и боковой компоненты скорости согласно (2.3), (2.7), (3.7) выража-

ются в виде

я-=-^(ф, г, т)-(1 + А:ФГ1/4,

® ^ т) — -«ё (г) [“ + ^ № г> т)]-

Переход к исходным координатам осуществляется по формуле

При К =0 полученное решение совпадает с результатом работы [4]. Отметим, что форма ударной волны и значения функций на поверхности крыла представимы в виде универсальных зависимостей от координаты Х=К%.

4. Рассмотрим класс крыльев одинаковой формы в плане с аффинно-подобной формой наветренной поверхности, удовлетворяющей условиям п. 2.

С помощью формулы (3.10) коэффициенты нормальной силы и продольного момента, а также абсциссу центра давления представим в виде законов подобия

См = 2 вШ2 а [ 1 + е//(/), /С)], тг = — 2 бШ* а [дг0 + гМ{0, /С)],

Хр — х§ р (^» К),

где

ЛГф, К)= М<Р‘ *>= "гЯ хРьЛ*'

.У £

Хр (£>, К) = х0Ы (£>, Ю-М (о, К),

рь=р |ф_о, хо=~ Я я — площадь крыла в плане. Вклад верхней поверх-

ности в аэродинамические силы в данном случае пренебрежимо мал и поэтому не учитывался.

В качестве примера рассмотрим влияние излучения на аэродинамические характеристики плоского крыла с параболической передней и прямой задней кромками хе(г)=г3, Х((г) = 1, |г|<:1. Форма ударной волны 5 и распределение давления на крыло рь для разных значений параметра К показаны на рис. 1 вдоль задней кромки (*=1) и на рис. 2—вдоль корневой хорды (г = 0). Влияние излучения особенно заметно в корневой части крыла (рис. 1) и приводит к уменьшению давления и толщины сжатого слоя и продольному искривлению ударной волны (рис. 2). Распределение давления имеет минимум в плоскости симметрии (рис. 1), вдоль хорды крыла давление монотонно уменьшается (рис. 2). Зависимости ЛГ(/(), М(К), Хр(К), приведенные на рис. 3, показывают, что в результате излучения коэффициенты нормальной силы и продольного момента уменьшаются по величине, а центр давления смещается в направлении вершины крыла.

На рис. 4 приведено распределение радиационного теплового потока вдоль корневой хорды и по размаху крыла. Значения функций £(.*), д(х) при г = 0 совпадают с результатом работы [5] для клина с углом а.

В ньютоновском приближении излучение не влияет на давление [2]. Полученное в данной работе решение в первом приближении метода тонкого ударного слоя позволило в главном порядке исследовать влияние излучения на давление и, следовательно, на аэродинамические характеристики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.—М.: Физматгиз, 1959.

2. Л у н е в В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. — М.: Машиностроение, 1975.

3. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике./

Под. ред. Майкапара Г. И, —М.: Машиностроение, 1972.

4. Богат к о В. И., Гриб А. А, Колтон Г. А. Обтекание тонкого крыла переменной формы гиперзвуковым потоком газа.—

Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, № 4.

5. Пилюгин Н. Н., Суходольский С. Л., Тирский Г. А. Обтекание конуса и клина гиперзвуковым потоком излучающего газа. — Сб. .Математическое моделирование аэротермохимических явлений", М.: ВЦ АН СССР, 1974.

Рукопись поступила 171VIII 1982 г.