О центробежных силах на тонком крыле в гиперзвуковом полете при больших углах атаки Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IX 197 8

№ 4

УДК 533.6.011.55

О ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛАХ НА ТОНКОМ КРЫЛЕ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОЛЕТЕ ПРИ БОЛЬШИХ УГЛАХ АТАКИ

В. Н. Голубкин.

Теория тонкого ударного слоя применена для анализа течения вблизи наветренной поверхности крыла в гиперзвуковом полете. Методом малых возмущений исследовано пространственное обтекание крыла малой относительной толщины, распределенной по произвольному закону. Получена формула, учитывающая влияние центробежных сил на давление на поверхности крыла в первом приближении теории тонкого ударного слоя. Определена также и форма скачка уплотнения, присоединенного к передней кромке.

Обтекание крыла потоком, движущимся относительно него с гиперзвуковой скоростью, при больших углах атаки сопровождается образованием вблизи наветренной поверхности тонкого слоя газа, 8 котором плотность р значительно больше, чем в невозмущенном потоке. Для расчета течения в этом случае естественно использовать метод пограничного (ударного) слоя [1], в котором все газодинамические функции ищутся в виде некоторых разложений по малому параметру е = р00/р- Нулевым приближением этой теории, соответствующим случаю бесконечно большого сжатия газа в скачке уплотнения и бесконечно тонкого ударного слоя (е = 0), является известная теория Ньютона [2, 3]. В рамках этой теории для двумерных течений учет центробежных сил осуществляется формулой Ньютона — Буземана, а в общем случае пространственного обтекания — формулой Ньютона — Буземана —Хейза [3]. Трехмерное течение в бесконечно тонком ударном слое рассматривалось независимо в работе [4], где формула для изменения давления поперек слоя получена в другом виде.

Решая задачу о гиперзвуковом обтекании крыла в следующем приближении к ньютоновскому, важно также выяснить влияние центробежных сил на распределение давления по поверхности крыла. Как и в [5, 6], рассмотрим крыло, для которого угол атаки а = 0 (1), а полуразмах Ь1 и корневая хорда /, удовлетворяют условию 0 = Ь11Ье1121ёа — 0 (\). Заднюю кромку крыла будем считать сверхзвуковой. В случае пространственного течения общее решение задачи получено в работе [7].

В настоящей работе это решение применено к анализу возмущений, связанных с толщиной крыла в случае присоединенного скачка уплотнения. Получено простое выражение для распределения давления по крылу с учетом действия центробежных сил, обусловленных продольной кривизной обтекаемой поверхности. Форма скачка уплотнения найдена в виде решения задачи Коши с .начальными' данными на передней кромке.

1. Примем следующие обозначения [7]: х, у, г — безразмерные значения декартовых координат в связанной с крылом системе, которые выражаются через размерные значения координат х1, уи г1 по формулам

•* = *!/£, У = У\1^Щ<*, г = «!/£е1/2 tg а;

V, да, р — компоненты скорости по осям у, г и давление в следующем приближе нии к ньютоновскому [5, 6] соответственно.

Тогда, согласно [7], имеем

Ф

» = Ф. О = [ № - Ф') Г8, (ф\ г-Ух) йф' + у? +ФУ? - (Ф? + ФФГ) г*. ф*

Ф

^ = — 1 — у*2+2у* — | (у* + ф' и2) Г (ф', г— ф' х)<Щ', ф»

где ф, 0 = 2г — фл: — функции тока, введенные так, что на скачке уплотнения

Ф* = — У*г-

Функция у — уа> (х, г) описывает распределение толщины крыла. Ордината скачка уплотнения

—у*

у*= Г Г (ф', г — ух) </ф' + уш. (1)

Физический смысл функции Г виден из равенства

дау = 1/Г,

в левой части которого стоит проекция вектора завихренности на ось х, в данном приближении совпадающая с составляющей вихря вдоль направления скорости. Вследствие уравнений [5]

*

vy + wz=0, тх + + дадаг = 0

поточная составляющая вихря сохраняется вдоль линий 1-ока. В [7] она определена из условия на скачке [8] в виде

Г* (-У*. г + у*х) = (у* угг - у**)-1- (2)

2. Рассмотрим крыло с прямой передней кромкой (2 = со), относительную толщину т которого можно принять за малый параметр

у*^гУ (х, г)+ 0(0).

Ось г направим вдоль передней кромки, так что У (0, г) = 0. Тогда справедливы разложения

у* = ЛГ + ту! 4- у2 -)- О (тЗ); Ч

ф = тф1+т*фа + 6(тЗ); ( ^

0 = г — х Агф, 4- О (т2). )

Видно, что в главном члене функция тока в постоянна поперек ударного

слоя. Функцию Г будем искать в виде

г (Ф. 0) = (то> (ФЫ в) + -с2 О) (ф/т, в) 4 • • •

откуда при а) ф 0 получается разложение

Г(ф в) - ^-1 1 - (,Ь’ 2) ~ ^ ^ г) + " <**’ г) 4- О (.) (4)

“ (Фк г) «о* (фь г)

Так как передняя кромка является прямой, то на поверхности крыла

ф^^О.

Асимптотические разложения функций ив, V запишем следующим образом:

да = тфх 4- о (т3);

V = т [ (Фь г) 4- Уи (X, г)) 4- О (т»),

где

ф»

Г (ф1 — Ф1) “г Уи (Ф1. г)= \ Ш2 (ф| г) ^1’ У‘2 (х’ = У* (-х'

- О

С учетом этих соотношений формулу для давления на поверхности крыла запишем в виде

~у1г

р”=р* + *Ухх Г —~-+0(х>). ] “(фр *)

О

Исходя из равенств (1), (3), (4), легкб показать что входящий сюда интеграл равен нулевому члену разложения (3) функции у*$ т. е. х. Используя (3) при вычислении давления на скачке уплотнения, имеем

р™= 1 + х[2у1х + хК(х, г)] + 0(т*), (5)

где введено обозначение К (х, г) = Ухх-

Второе слагаемое в квадратной скобке обусловлено действием центробежных сил и равно произведению толщины ударного слоя на продольную (вдоль хорды) кривизну крыла. Формула (5) служит для учета центробежных сил в следующем приближении к предельной ньютоновской теории. В связи с этим она в явном виде содержит толщину ударного слоя. Отметим, что в первом приближении по г центробежные силы не зависят от кривизны крыла вдоль размаха. Такую же тенденцию обнаруживает формула работы [4].

3. Перейдем к определению формы скачка уплотнения, для чего используем уравнения (1) и (2). Из (1) после дифференцирования обеих частей по х и подстановки (3), (4) найдем *

Уггх

' (—У1 г< г) -У,

= -1; (6)

г *>?_М' + Гх=у1х:- ^

(О* I со2

О

Подстановка (3) и (4) в (2) дает

“* 1—Уи> г) — ~У1 гх, (8)

“* + ХУ1 г — у2г со* = уг г У1 гг — у2гх. (9)

Уравнения (1) и (2) в первом приближении аналогичны [ср. (6) и (8)] и при-

водят к выражению вихря на скачке через форму скачка уи а функция у1 остается неизвестной. Для ее нахождения выше приведены уравнения (7) и (9), которые получены из (1) и (2) во втором приближении. Из условия существования разложения функции у* до члена порядка О (т2) включительно можно составить уравнение, содержащее функции только первого приближения. Для этого из равенств (7), (9) исключим у2 и продифференцируем полученное соотношение по х, что дает

У1 хх ■—

ах

■К(х,г). (10)

У1гг У\гг У\гх J У1гх

Поскольку <о* известно из (6) или (8), от (10) легко приходим к неоднородному волновому уравнению

У1ХХ — У\гг = К (х, г). (11)

На передней кромке крыла в случае присоединенного скачка уплотнения

выполняются соотношения

Уе = °. щ е = (У] х)е, хо1е = - (У! г)е, которые доставляют „начальные" условия для уравнения (11) при х = 0-.

Уг У1х= у(*). (12)

Л* = 0. (13)

где К(г) = ^(0, г).

Решение задачи Коши (11), (12) дается известной формулой Даламбера в совокупности с частным решением неоднородного уравнения

У1 (х, г) =

'г+х

| УЦ.)Л + и С) л, я

(14)

Здесь треугольник Д образован характеристиками, проведенными из точки (х, г) вверх по потоку, и высекаемой ими частью передней кромки:

|С — г|-<|л: — £|. Легко проверить, что условие (13) удовлетворяется автоматически.

Формула (14) описывает в первом приближении по -с конфигурацию скачка уплотнения, образующегося при обтекании крыла малой относительной толщины, распределенной по произвольному закону. С помощью нее можно вычислить .волновую* составляющую в давлении на крыло [первое слагаемое в квадратной скобке формулы (Б)].

ЛИТЕРАТУРА

1. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959.

2. X е й з У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

3. Г и р о Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений. М., ,Мир“, 1965.

4. Майкапар Г. И. Учет влияния центробежных сил на давление воздуха на поверхность тела произвольной формы, обтекаемого вотоком с большой сверхзвуковой скоростью. ПММ, т. 23, № 1, 1959.

5. Месситер А. Подъемная сила тонких треугольных крыльев по ньютоновской теории. „РТК*, 1963, № 4.

6. Голубинский А. И. Обтекание гиперзвуковым потоком треугольных крыльев определенного класса, установленных под углом атаки, с присоединенным скачком уплотнения. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1968, № 5.

7. Голубинский А. И., Голубкин В. Н. О пространственном обтекании тонкого крыла гиперзвуковым потоком газа. ДАН СССР, т. 234, № 5, 1977.

8. Майкапар Г. И. Вихри за'головной ударной волной. .Изв. АН СССР, МЖГ', 1968, № 4.

Рукопись поступила 231VI 1977 г.