Пространственное гиперзвуковое обтекание тела конечной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 19 8 2

М 2

УДК 533.6.011.55

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

А. И. Голубтскии, В. Н. Голубкин

Рассмотрено обтекание гиперзвуковым потоком идеального газа трехмерного тела под углом атаки. Сформулирована краевая задача определения газодинамических функций в основном приближении метода тонкого' ударного слоя. Показано, что отношение лоточной составляющей завихренности к плотности газа сохраняется постоянным вдоль линий тока пространственного течения. В общем виде проинтегрирована нелинейная система уравнений трехмерного ударного слоя на теле, поверхность которого имеет нулевую полную кривизну. Газодинамические функции и распределение толщины ударного слоя представлены в виде квадратур и функциональных зависимостей.

Одна из основных особенностей гиперзвукового обтекания тел состоит в том, что плотность газа в области течения за сильным скачком уплотнения намного больше плотности в набегающем потоке, и скачок довольно близко примыкает к поверхности тела. Предположение о бесконечно сильном сжатии газа в скачке и о бесконечно тонком ударном слое лежит в основе ньютоновской теории гиперзвукового обтекания тел [1, 2]. Расчет скоростей и давления по этой теории оказывается во многих случаях слишком грубым и не может быть уточнен без привлечения эмпирических даннных. Рациональным аналитическим методом исследования гиперзвукового обтекания является метод тонкого ударного слоя [1, 3, 4], в котором используются разложения по малому параметру е, характеризующему отношение плотностей на скачке уплотнения. В рамках основного приближения этого метода определяются, как и в ньютоновской теории, значения давления и касательных к телу составляющих скорости и, кроме того, значения плотности, нормального к телу компонента скорости и толщины сжатого слоя.

1. Постановка задачи. Вывод краевых условий. Пусть форма поверхности некоторого трехмерного тела в связанной с ним декартовой системе координат Охуг с единичными ортами /, у, к описывается уравнением г —гда(£, С), задающим радиус-вектор точки поверхности тела как функцию двух аргументов. Будем сми-

тать, что эта функция дважды непрерывно дифференцируема за исключением, быть может, особой точки (острый носок тела) или особой линии (острая передняя кромка). Рассмотрим пространственное обтекание тела под углом атаки а гиперзвуковым потоком газа с числом Моо^> 1, когда область возмущенного течения между скачком уплотнения и лобовой частью тела представляет собой относительно тонкий слой газа большой плотности, а кривизны тела и головного скачка являются величинами одного порядка.

Примем в качестве малого параметра задачи £ характерное значение отношения плотностей на скачке уплотнения, например,

%__]

г = т+т(1 + 2/Г1)’ где Л = (х—1)М^, х — показатель адиабаты газа, который считается совершенным. Решение задачи обтекания будем искать в виде асимптотических разложений по параметру £ -► 0 при условии, что А = 0(1). Обозначим индексами оо, 5 значения газодинамических функций соответственно в набегающем потоке и непосредственно за скачком уплотнения. Для области течения, в которой скорость конечна: У/У» —0(1), а давление и плотность по порядку величины такие же, как за скачком уплотнения: р!р$ = 0(1), р/рЛ = 0(1); при £ —*0 имеем следующие представления газодинамических функций и толщины сжатого слоя 5 (функции с индексом „0“ имеют порядок единицы в сжатом слое):

здесь ср — коэффициент давления, и, V, — составляющие вектора скорости в криволинейной ортогональной системе координат О^С, связанной с поверхностью тела; координаты £, С на теле постоянны вдоль главных линий кривизны поверхности, координата тг) — расстояние по нормали к телу, отнесенное к е. Для системы координат в целом 5, С постоянны вдоль нормалей к телу. Параметры Ламе имеют вид

Яе = У£„( 1-ечК,), я,= 1, Яс = У>22(1 — ет)/С2), (1.2)

где Ки Да — главные кривизны, #п, #гг — коэффициенты первой основной квадратичной формы.

Подставляя (1.1), (1.2) в уравнения Эйлера [4], получим следующую систему уравнений для главных членов разложений:

и/Уоо = и0{Ь, т], с)4-...,

™/Уоо“®0(5, т\, £) + •• ■> Р/Роо — £_1 Ро & Ъ С) + . . . ,

(1-3)

(1.4)

«о д®>0 I dw0 , W0 ¿w<>

-дг- ~Г »/•— —aT" —

V ёи д^ V £22 дС

_^=(И0А^р._я,0^р.) = 0; . (1.5)

К £11&!2 \ <*» 0ь /

дРо%^ +/1^-%^ + = (1.6)

^^1+1,0_±^1 + «V. У _0. (1.7)

КЛ1 д- "Ч И>а й- ■

Краевыми условиями для системы (1.3) —(1,7) являются условие непротекания на теле

ъ0 = 0 (1.8)

и условия на головном скачке уплотнения.

Получим условия на скачке уплотнения для главных членов разложений (1.1), исходя из общих соотношений вида

Vs= Vo. ~ У«, (1 - k) (е„ ns)n

s'

Ps P°° — poo (1 k) (£oo‘#s)2>

Poo 1 . 2

“Г

P* *+l <* +

(1.9)

Запишем составляющие векторов скорости набегающего потока Ксо== Voodoo и единичной внешней нормали к скачку ns в рассматриваемой системе координат ОЬ]С, учитывая, что воо“/cosa— j sin a.

Единичные взаимно перпендикулярные векторы, лежащие в касательной к телу плоскости, имеют вид

r‘=ix‘+Jy<+k*‘’ (i.io)

а единичный вектор внешней нормали к телу

nw =— f/'iX^2] = inx+jny+knz. (1.11)

Разложим вектор воо по базису криволинейной системы координат Oa¡C

воо = (aJj COS a ■— у! Sin a) гг 4- (nx COS a — ny Sin a) nw +

+ (x2 cos a — j/2sina)r3. (1-12)

Касательные и нормальный векторы к поверхности скачка вычисляются аналогично (1.10), (1.11) с заменой rw на rs, но они уже не будут единичными, так как Í, С взяты на поверхности тела, а не скачка. Используем для формы поверхности скачка представление

^(6. C)-rw(É, С)-MS0(Ü, С)nw.

Находя частные производные rs по £, С и используя формулы Родрига для главных направлений [8], согласно которым

^=_К,г1, ^=_/С2г2, (1.13)

в системе координат 0£т^С после нормировки найдем, что единичные касательные векторы и нормаль к скачку с точностью до членов порядка О (е3) даются соотношениями

Г2‘=Г2+рк^“"; ! (1Л4> « е д5о „ | „ 8 ж

П5— г--■ • » 1 «да — Г2-

У ё11 дЬ Уё 22 дч |

Производя в точных граничных условиях (1.9) разложения по параметру г -> 0 согласно (1.1) и учитывая (1.12), (1.14), находим окончательно следующие условия на скачке для функций основного приближения:

и0з = еоо-ги Щ/0* = <?оо-Г2, |

__ ийх а50 *со-л® I

* +Г1Г, * + Ро, ’ } (1.15)

/ чз 2 4-А

Роз — (е<х> ‘ Ла») » Ро $-, , 9~1 •

Получение краевых условий (1.15) завершает постановку задачи обтекания тела, сопровождающегося сжатием потока и образованием тонкого ударного слоя (б<»-йда<С0> Ма>-*со, 1). Отметим, что в работе [5] предложен приближенный метод решения системы

(1.3)—(1.7). В данной работе показано, что отношение поточной со-

ставляющей завихренности к плотности газа сохраняется постоянным вдоль линий тока. На основе этого свойства удалось в точном виде проинтегрировать уравнения ударного слоя для некоторых форм поверхности тела.

2. Интегралы уравнений течения в сжатом слое. Уравнение (1.7) показывает, что величина />0ро'1 постоянна вдоль линий тока

О(р0^)=0, (2.1)

Э=-~=^ + г?0 — + —— оператор дифференцирования вдоль

V 8\ 1 д* ду1 У 8ъ2 ¿С линии тока.

Далее согласно (1.3), (1.5) имеем [5]

0(“2 + ®»)-О. (2.2)

Для основной части течения в ударном слое, как известно [4], существенным является лишь градиент давления по нормали к телу, уравновешивающий центробежные силы при обтекании искривленной поверхности. Силы, связанные с наличием конечных продольных градиентов давления, при большой плотности газа не могут изменить касательные составляющие его скорости (за исключением, быть может, тонкой пристеночной области при обтекании гладкого затупленного тела, где продольная скорость по порядку величины меньше, чем в основной части ударного слоя). Наряду с этим оказывается, что момент этих сил не может изменить в главном порядке величину, равную отношению поточной составляющей завихренности к плотности газа, которая также сохраняется постоянной вдоль линий тока. Покажем это.

С учетом разложений (1.1) находим главные члены разложений компонентов завихренности в рассматриваемой криволинейной системе координат

Vёиёш \ К дЧ I

Тогда поточная составляющая вихря

(и3 + V3 -}- ®'а)

1/2

представима в виде

<Й = е-1 (О Л —(—

V * V0

Дифференцируя уравнения (1.3), (1.5) по >з и принимая во внимание (1-3), (1.5), (1.6), получаем равенство

Г“о_ а ( ' »0 \1

*- Ро аг) ' ч и0

ОЬгТКгЬг =0- ■ (2-3)

Но так как О («о + «ро)1'2 = 0, то из (2.3) следует нужное равенство

О

(ТН- (2-4)

Уравнения (2.1), (2.2), (2.4) показывают, что общая система уравнений течения в ударном слое имеет три первых интеграла.

При обтекании тонкого крыла малого удлинения [6] отношение Офо/Ро сохраняется вдоль траекторий и в случае нестационарного движения газа в ударном слое.

3. Аналитическое решение задачи обтекания. Рассмотрим об-

текание тела, поверхность которого имеет нулевую полную кривизну ^/<2 = 0. Пусть для определенности К\ — 0. В качестве координат £, С выберем длины дуг вдоль главных линий кривизны. Тогда £'ц = £22= 1- Уравнения (1.3), (1.5) дают

£ы0= 0, = 0, (3.1)

о а , а , а где О = + *>0^ + ■

Проинтегрируем в общем виде систему (3.1), (1.4), (1.6), (1.7). Для этого вместо уравнения неразрывности используем полученное выше уравнение (2.3) и аналогично [6] перейдем от координат у, С, к новым переменным £, где <{>(£, С), б(£, т»), С)—

некоторые пока произвольные функции, постоянные вдоль линий тока: />¿ = £6=0. Отличный от нуля якобиан преобразования

, а^ ае аб а§

дг) а: д1 д"ч «

связывает значения производных формулами перехода

Поскольку величины •»!, С при указанной замене переменных становятся искомыми функциями, присоединим к рассматриваемой системе уравнение линий тока в дифференциальной форме

it = *L = . (3.2)

U V W

Здесь и всюду ниже индекс „0“ у функций опущен. В переменных <|>, 8 интегралы уравнений (3.1), (1.7), (2.3), (3.2) имеют вид

« = С/(ф, 0), w- W($, 9), б), (3.3)

1 /Эф dN . дЬ т\ 1 ,о 4ч

Р \ дч dji , dll ав j “ Q (ф, 0) * ’

с = ЛЛ(Ф, 0)H + Z(*, 0), (3.5)

где U, <з, Z, Q— произвольные функции; N=~WjU.

Первое уравнение (3.2) и уравнение (1.4) преобразуются к виду

v==u(^t) ;

\ as /ф, в

il — iL = _ _р_д; \г2. (3.7)

ае аф аф ае j

Из соотношения (3.5) следует, что вдоль линии тока (ф = const, 6 ===== const) координаты (, и 5 связаны линейной зависимостью. Поэтому проекции линий тока на поверхность тела (■*) —0) являются геодезическими линиями этой поверхности, которые, как показано ниже, в рассматриваемом случае прямолинейны.

Отметим далее, что из равенства

ас __ дч] ас____»_} /о q\

аф ае ае аф ’ ' о;

выражая d<bjdv\, dbjdr\ по формулам перехода и используя (3.5), полуЧЯ6М t

j-t = Q е) /dN м_________aw_ az \

р \ аФ ае ае а*./

Тогда уравнения (3.7), (3.8) преобразуются к виду

7 а/у £ _ / ды , , дг \ др_ __

1, ае ? + ае ) аф V аф аф ) ае ”

--0»’•>(§£-7?(3-9)

/алг ь , а2 \ аг| / ,, дг \ дг, _ 2 (ф, е) /ал^ аг а^ аг \ „ 1Ш

\ ае ае / аф V аф аф / ае р (аф ае ае аф /

Пользуясь тем, что функции ф, 0 произвольны, без ограниче-

ния общности выберем их следующим образом:

0 = 2?.

Переходя затем в уравнениях (3.6), (3.9), (3.10) к независимым переменным |, ф, С = по формулам

/ а \ ' / д\ , , а / а \ / а \ ^ а / а \ а

приходим к уравнениям

|L=-S(.j,,

^ = 0№Л-ф$) /йч+,ь*1)

аф р ’ Ы я;

Интегрируя эти уравнения, получим следующие выражения для распределения давления

Р& *> 9*=Л(*> О(Фа C-'MW'h, С-Ф,«)<#!.,

Ч'-

и координаты ^ по нормали к телу

(3-И)

ф

тда

здесь ЧГ(Б, С), tw(ç, С) — значения функции ф соответственно на скачке при Tj = 5(é, С) и на теле при irj = 0.

Плотность р согласно (3.3) равна v

?(S, Ф, С) = />(!, -К С)М'Ь С-Ф6);

Значение нормальной составляющей скорости получается с учетом (3.11) в виде

.(!, •!, с) - Ü». С-« j; [i_i g _ (it + *£)-а

^.Фяи

+ <ЗЛ2)

Условие непротекания (1.8) может быть выполнено в двух случаях:

а)^+Ф„^ = 0 ИЛИ б)В„ = 0.

Из условий на скачке (1.15) получаем вид функции lF:

«•(5, C) = ®,(i, C)/«»(i. ')■

Распределение толщины ударного слоя на основе (3.11) выражается формулой

S(i, С) =/ °р tE, (3-13)

Ф

rw

Пусть х(^> а)— абсцисса точки входа линии тока в ударный слой, определяемая как корень уравнения

гх-ьхЖ(х, ^х + х)-

Тогда, обозначая через F какую-либо из функций £/, W, a,

а через fs— ее значение на скачке, в поле течения имеем следую-

щие функциональные зависимости:

F(ф, С-ф1) = /Лх, *0, х=^х(Ф, S-Ф*), ^ = Ф(х—У + с.

4. Определение вида функции О на скачке. Для того чтобы получить условие для функции 2 на головном скачке уплотнения, вычислим значение нормальной составляющей скорости г» на скачке по формуле (1.15), находя толщину ударного слоя в соответствии с (3.13). Имеем

V =и /г + +

5 ’|| I Р дь \а! <к! Н ? р«, V а? т а: I

• да

а. л. у**) I /«>•"”} .

+ РДд5 + + Рзи, \

Это выражение совпадает с (3.12) при ф=ЧГ в том случае, когда два последних члена в сумме дают нуль. Отсюда

О_______(«■»•-) (— I та,у Г‘

5 — а$ I О; ' д'_ I ■

Для вычисления стоящего в круглых скобках выражения необходимы вторые производные

д2г„, „ „ ___ д2г„, д* г

ф* т "" и/ 4« ____ фф ---- №

г11:= Лг-о » 12 21 = ' 1 * 22

да 7 « “ " ас2

Из дифференциальной геометрии [8] известны формулы

(г, / = 1, 2)

гг;- — б}/ /* 1 + 02ц г2 + А,у (4.1)

где Ьц — коэффициенты второй квадратичной формы, С?;-—символы Кристоффеля 2-го рода, выражающиеся через символы Кристоф-феля 1-го рода <?*,;/— гкГф к — 1, 2 следующим образом:

6и — 2 (¿22 ^1. и ¿512 ^2, ц),

£22 ~ ^12

О// “ 2~ ( ¡?12^1. и + ^11 ^2,1/);

^11 #22 — <?12

здесь ¿"¿у — коэффициенты первой квадратичной формы. Величины С*,,*/ связаны с их производными следующим образом [8] («! = ?, и2 = С):

г_______1 (дёы дёу дц/

к> 4 2 \ ди.; ди1 ди^

Заметим теперь, что в выбранной системе координат для рассматриваемого тела £п = £22 = ёп=^Ьп = 0, Ьп — К1 — 0, Ьы~К2. Следовательно, б*/ = С?*, ц = 0, и из (4.1) находим

гп - /г*, —О, г2, = /С2 пт г12 = 0. (4.2)

Отметим попутно, что уравнение геодезической линии С —/(I), которое имеет вид [8]

/" + о?, + (20?2 - о!,)/' + (аЪ -2оу /'= - о;2/'з = о,

преобразуется к форме /"=0. Таким образом, геодезические линии в поверхности тела выбранной системы координат • прямолинейны. Прямолинейность проекций линий тока на поверхность тела (3.5) означает, что эти проекции совпадают с геодезическими

3—.Ученые записки“ Л1« 2 33

линиями поверхности тела. Возвращаясь к вычислению заметим,

что ЧГ = (0оои с учетом (1.13), (4.2) получаем

№ . * ** ^{е^пт)Кг,

' ¿С мЛ а искомое соотношение для дается в виде

О}'1-

Этот результат соответствует асимптотическому представлению точной формулы работы [7], когда е -* 0 и кривизна скачка совпадает по порядку величины с кривизной тела Кх2 — К2<^г-Рассматривая обтекание конического тела, поместим начало координат в точку заострения. Тогда из анализа подобия для функции 2, зависящей от двух переменных, лишь одна из которых имеет смысл длины, аналогично [б] получим представление

д (ф, С — ф£) = (С — ф£)«) (ф).

5. Функции ф, О на поверхности тела. Вопрос об определении функций на поверхности тела нуждается в дополнитель-

ном исследовании. В случае обтекания заостренного тела, по крайней мере, при нулевом угле атаки, все линии тока на поверхности тела проходят через его вершину, поэтому вдоль них

К = с — Фш 5 = о,

откуда следует, что

= ' (5-1)

Кривизна тела в носовой точке имеет особенность, обращаясь в бесконечность. Поэтому в этой точке и на всей поверхности тела й = 0.

Следует иметь в виду, что наличие угла атаки может сделать топологическую картину линий тока на теле более сложной по сравнению с рассмотренной выше. •

Таким образом, обнаруженное свойство сохранения отношения поточной составляющей завихренности к плотности газа позволило в общем виде проинтегрировать нелинейные уравнения трехмерного течения в тонком сжатом слое. Для конических течений аналогичный результат иным путем получен в работе [9].

ЛИТЕРАТУРА

1. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

2. Г и р о Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений.

М., „Мир*, 1965.

3. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959.

4. Л у н е в В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М., „Машиностроение“, 1975.

5. Май кап ар Г. И. Учет влияния центробежных сил на давление воздуха на поверхность тела произвольной формы, обтекаемого потоком с большой сверхзвуковой скоростью. ПММ, т. 23,

№ 1, 1959.

6. Голубииский А. И., Голубкин В. Н. О пространственном обтекании тонкого крыла гиперзвуковым потоком газа. ДАН СССР, т. 234, № 5, 1977.

7. Майкапар Г. И. Вихри за головной ударной волной.

„Изв. АН СССР, МЖГ“, 1968, № 4.

8. Раше век ий П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.,

' Госгехтеориздат, 1956.

9. Гонор А. Л. Обтекание конических тел при движении газа с большой сверхзвуковой скоростью. „Изв. АН СССР, Механика и машиностроение“, 1959, № 1.

Рукопись поступила 291VII 1980 г.