CC BY
42
__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIX 199 8
№ 1-2
УДК 629.7S2.015-3.025.1:533.6.013.12/.13
ВОЗМОЖНОСТИ УВЕЛИЧЕНИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО КАЧЕСТВА ТОНКИХ КРЫЛЬЕВ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ДИАПАЗОНЕ СКОРОСТЕЙ
В. Н. Голубкин, Д. С. Постное
Предстаатены основные результаты применения теории тонкого ударного слоя для рациональной постановки и решения вариационной задачи, основной целью которой является поиск конфигураций тонких крыльев малого удлинения с максимальным аэродинамическим качеством в гиперзвуко-вом потоке под углом атаки. Показано, что при надлежащем выборе формы в плане и нижней поверхности достигается существенно большее качество в сравнении как с плоским крылом, так и с волнолетом за плоским скачком уплотнения.
В целях постановки и решения в обозримой форме вариационных задач об аэродинамически оптимальных крыльях при гиперзвуковых скоростях часто использовались простейшие формулы Ньютона (или Ньютона — Буземана) для давления [1], [2]. Другое направление связано с применением концепции волнолета — тела, опирающегося вдоль передней кромки на скачок уплотнения достаточно простой формы, что также позволяет без особого труда определить давление и аэродинамические характеристики [3], [4]. Самое простое решение с постоянным давлением, получающееся, при плоском скачке, широко использовалось в задачах оптимизации [4]—[6]. В качестве альтернативных вариантов рассматривались также пересекающиеся плоские скачки [4], скачки в виде конических [4], [6]—[9] и осесимметричных [3], [10] поверхностей с выпуклым поперечным сечением.
В данной статье рассматриваются нетрадиционные способы повышения гиперзвукового аэродинамического качества несущих тел и крыльев, генерирующих существенно пространственные скачки уплотнения. Течение идеального газа за скачком описывается теорией трехмерного тонкого ударного слоя [11]. Она допускает аналитическое решение задачи обтекания в следующем приближении к ньютоновскому [12], которое в совокупности с интегральными законами сохранения
используется для рациональной формулировки задачи оптимизации. Для ее решеня разработан подход [13], [14], сочетающий классические методы вариационного исчисления [1] и прямой численный метод оптимизации. Выявлены особенности геометрии пространственных крыльев и соответствующих им скачков уплотнения, обеспечивающие в рассматриваемом классе форм существенное повышение качества по сравнению со случаями плоского крыла или волнолета за плоским скачком. Вследствие бифуркационного поведения оптимального решения [15] оптимальные формы крыльев весьма разнообразны. Кроме того, возникающие около них скачки уплотнения интересны тем, что содержат участки, описываемые как слабой, так и сильной ветвью решения.
1. Рассматриваемый круг вопросов относится к обтеканию тонкого крыла или несущего тела гиперзвуковым потоком газа под углом атаки. В основном силовое воздействие потока приходится на нижнюю (наветренную) поверхность, поэтому в дальнейшем внимание будет сосредоточено на определении ее оптимальной формы, а вклад верхней (подветренной) и донной частей считается пренебрежимо малым. Нижнюю поверхность крыла и возникающий около нее интенсивный головной скачок уплотнения, разделенные тонким слоем сильно сжатого газа, считаем близкими к (базовой) плоскости (>'°=0), которая образует угол атаки а с набегающим потоком (рис. 1). Обратное отношение плотностей на скачке к << 1 [11] используется далее в качестве основного малого параметра. Прогиб крыла, отсчитываемый от базовой плоскости, в общем случае того же порядка, что и толщина сжатого слоя (Etga); удлинение крыла мало и по порядку совпадает с углом Маха
в слое Х%а.) [11]. Приведены независимые переменные в ударном слое:
Рис.
1. Тонкое крыло в гиперзвуковом потоке под углом атаки
eltga' e1/2Z,tg ex'
(1.1)
Нелинейная краевая задача, описывающая трехмерное обтекание крыла в следующем приближении к ньютоновскому, допускает общее аналитическое решение и сводится к системе двумерных интегродиф-фернциальных уравнений, связывающей форму поверхности скачка уплотнения у = S(x, z) с формой крыла у = В(х, z) [12]:
S(x, z) = В(х, z)+ J —
dt
(1.2)
Здесь с, с — абсцисса и аппликата точки входа линии тока в ударный слой, с/,(л\ г) — значения с для поверхностных линий тока. Коэффициент давления на крыле получается в виде
ср = 2[1 + г.Р/,(х< г)]кііі2а+...;
Рь(х, *) = 2£Л. - 52 -1- | —
~ь
2 5-(*,с)^-+52(£,с)у„ 1 -(*-*№-(*,?)
(1.3)
где функция _у(л\ £, I.) дается той же формулой (1.2), что и ^(х, г), только с заменой верхнего предела интегрирования с х на £ .
Целевая функция оптимизации — аэродинамическое качество крыла в поточной системе координат — имеет исходный вид
К =
N со%а - Т яіпа ІУ^іпа + Т сока
(1.4)
Сюда входят действующие на нижнюю поверхность крыла тангенциальная сила Т и нормальная сила И, которая считается положительной, если она действует вверх противоположно оси у°. Их можно определить путем интегрирования распределения давления (1.3) по поверхности крыла и записать как
N
Р*УІ$
= і:1/2аг(1 + в.Р)8Іп2о^а+...;
т
-----г—т = е1/,2стг(?5Іп2 а 1й2 а + ...;
Р^2
(1.5)
а =
_ аееМ28Іп2а
°Г 00
а
С? = - <7Г = 2|{5[хе(г), г] - 5(1,
(1.6)
где ав, аг — площадь крыла в плане и площадь его проекции на замыкающую плоскость х = 1, проходящую через заднюю кромку (которая для простоты считается прямой) в приведенных координатах (1.1), х = хе(г) или і = 1е(х) — уравнение проекции передней кромки на плоскость у = 0. Подстановка (1.5) в (1.4) и разложение по є дают в первом приближении
К = с1§а
2г
кіп2а
0 + ....
(1.7)
Для дальнейшего чрезвычайно важно, что сюда не входит интеграл от давления Р (1.6). Из (1.6) следует, что предельное (при е = 0) ньюто-
новское значение качества KN = ctg а относится также к плоскому крылу в первом приближении к ньютоновскому, ибо при В = О получаем С? = 0. Это сохраняет силу и в точной постановке, поскольку N и Т есть проекции равнодействующей сил давления (трение не учитывается).
Далее, первое приближение дает приращение качества к^, если проекция передней кромки крыла на плоскость х = 1 лежит ниже сечения тела этой плоскостью и Q < О. В теории первого приближения (при малых, но отличных от нуля значениях е) головной скачок уплотнения уже не совпадает с крылом. Более того, в прямой задаче обтекания его форма у = S(x, z) является основной искомой функцией. Но, как обычно, обратная задача, когда форма скачка задана, решается проще. Введение ее в формулировку задачи оптимизации делает анализ более наглядным. Заметим, что в случае присоединенного к передней кромке скачка интегральное уравнение расхода показывает, что приведенная площадь замыкающего сечения ударного слоя совпадает с площадью крыла в плане:
Принимая во внимание, что в (1.6) для оптимального случая (см. ниже рис. 6)
где ас — площадь проекции скачка на замыкающую плоскость х = 1, получаем
Точно такое же выражение для Q было получено [13], [14] исходя из интегральной теоремы импульсов [7] и решения [12]. Отметим, что развитый там подход можно трактовать как обобщение на нелинейный случай подхода, предложенного для линеаризованных течений в [16], где использованы прямая характеристическая поверхность, начинающаяся на передней кромке, и обратная поверхность, идущая от задней кромки, в качестве участков замкнутой контрольной поверхности. В нелинейном случае [13], [14] первая из них естественным образом заменяется голвным скачком уплотнения, а вторая в приближении тонкого ударного слоя вырождается в цилиндрическую поверхность F(x, z) = 0 и для прямой задней кромки совпадает с замыкающей плоскостью х = 1.
Итак, для получения ЛГтах в первом приближении к ньютоновскому нужно найти минимальное отрицательное значение функционала Q. При этом считаются фиксированными исходные определяющие
СТ
(1.8)
о
(1.9)
параметры: угол атаки а, число Мж, показатель адиабаты ае (а значит, и є [11], [12]); простейшим же изопериметрическим условием служит
задание площади крыла в плане, которая согласно (1.5) определяет
в главном нормальную силу:
п
сг = 2 J* [1 — xe(zj\dz = 2ст0. (1.10)
о
2. Приведенная выше формулировка задачи оптимизации включает форму скачка и передней кромки в плане. Полагая скачок заданным, получаем частичную задачу оптимизации, которая для сте-пеннной зависимости
S(x, z) = a(x)z", sgna'i*) = const (2.1)
имеет аналитическое решение [13]:
-0 = 1 + — , Ze(x) =
п+1 Xgq п а'(х)
ll/n
«а""1
Х =-------2—
и + 1
1
||о'(х)|-1/" dx о
sgna'(*)-
(2.2)
Как видно отсюда, в общем случае (я'(0) * «О оптимальное крыло обладает плоским носовым срезом при |г|< 1о = 1е(0).
Функциональный вид поверхности скачка выберем так, чтобы проекция передней кромки на замыкающую плоскость могла проходить ниже его замыкающего сечения (интеграл в (1.9) положителен), полагая
а(х) = к In (5 + х),
(2.3)
где 6 > 0 и к — свободные параметры. Решение частичной вариационной задачи дает 0 = (?тт если ^ > О- Величина 0 =-1 соответствует волнолету за плоским скачком (к = 0), качество которого КК, таким образом, больше, чем Кдг = ^а плоского крыла (0 = 0).
Kw = KN + 2е / sin 2а
(2.4)
независимо от формы кромки в плане. Согласно (1.2) нижняя поверхность волнолета вогнутая,
Bw(x, z) = xe(z)-x.
Для квадратичной зависимости хе(?,) (параболическая кромка) она показана на рис. 2. На рис. 3 кривая 1 показывает зависимость качества волнолета Кю(а.) (2.4) при Мю = 15, & = 1,4, которое превышает Кдг (штриховая линия).
„ Рис. 3. Зависимость аэродина-
Рис. 2. Нижняя поверхность волнолета с парабо- uunwvnm и,,,.™ пт vm
лической передней кромком за плоским скачком атаки
уплотнения -
Интересно, что в диапазоне к < 0 в (2.3) решение частичной вариационной задачи дает Q = C?max < -1, т.е. меньшее Q, чем 0mjn S -1. Именно здесь будет находиться минимум Q для всех частичных задач. Но в то же время любая форма кромки, отличная от ршенеия (2.2), дает Q < £?тах, хотя далеко не все из них будут приемлемыми, в частности, допускать непротиворечивое решение обратной задачи (1.2) построения поверхности крыла. Поэтому £?mjn Для к <0 отыскивалось при дополнительном задании наряду с (1.10) еще и приведенного полуразмаха крыла Q (1.6) и представлении передней кромки плоским носовым срезом в совокупности с боковым участком в виде кубической параболы [13], наибольшее отклонение которой от прямой, соединяющей ее крайние точки, характеризуется параметром А.
В итоге задача решалась прямым численным методом вариации свободных геометрических параметров Zo- А с проверкой разрешимости обратной задачи.
На заключительной стадии решения (полная оптимизация) аналогичным образом определялись значния формпараметров скачка п, Ь , к из данного функционального класса поверхностей (2.1), (2.3), при которых частичная задча дает минимальное из всех располагаемых £?min. После нахождения оптимальных форм скачка и передней кромки нижняя поверхность оптимального крыла строится путем численного решения обратной задачи (1.2) методом [13]. В результате его качество Ктдх, рассчитываемое по формуле (1.7) с Q = (?min < -1 (кривая 2 на рис. 3, а0 = 1,75, Q = 2,4), превышает как КN для плоского крыла, так и Kw для волнолета за плоским скачком. Зависимости |Qm¡n|(Q) при разных ст0 показаны на рис. 4 (снизу вверх ст0 изменяется от 0,75 до 1,75 с шагом 0,25). Они состоят из двух ветвей, непрерывно переходящих друг в друга в точке минимума, которая является точкой бифурка-
ции оптимального решения [15], ибо зависимости Zo(Q),
А(£2) претерпевают при переходе через нее скачкообразные изменения. Соответствующие двум ветвям оптимальные формы в плане существенно различаются. На рис. 5 они пока- /5 заны в исходных координатах ’ х°, у°, 1° при а = 30°, Мж = 20, ае = 1,4 (к = 0,175). Для первой ветви (слева от точки бифуркации) они имеют широкий носовой срез (рис. 5, а: ст0 = 1,5;
□ = 1,65), а для второй ветви — узкий носовой срез или заостренную вершину (рис. 5, б, в:
2 г
11___1_________1--------1--------1________1
7 1 Я 3
Рис. 4. Зависимость минимального значения функционала <2 от приведенного полуразмаха крыла
ст0 = 1,5, П=1,8; 2,05; рис. 5, г: а0 = 0,75, 0 = 1). Как видно из рис. 4, на второй ветви (справа от точки минимума) приращение качества больше.
3. Чтобы дать более детальное представление об оптимальной геометрии, на рис. 6, а в приведенных координатах (1.1) изображены поперечные сечения крыла, показанного на рис. 5, г, плоскостями х = 0,25; 0,5; 0,75; 1 (кривые 1—4). Согласно (1.9) значения <-1, если проекция передней кромки на замыкающую плоскость х = 1 (кривая 5) расположена ниже замыкающего сечения скачка (кривая 6) и интеграл в (1.9) положителен. Численно он равен площади пс/2 между этими кривыми, которая заштрихована на рис. 6. Геометрическая интерпретация формулы (1.8) будет исчерпывающей, если заметим, что входящие туда величины <ТВ и а представляют собой удвоенные площади между кривыми 4 и 5, 4 и 6 соответственно.
Как показывают рис. 5, 6, к существенным особенностям геометрии оптимальных крыльев относятся: отогнутая вниз носовая часть В{0, £) > В{ 1, г), отогнутые вниз участки вблизи передней кромки В[х, ^(х)] > В(х, 0), вогнутая нижняя поверхность. Если первая из
этих особенностей отмечалась и ранее в решении задачи об оптимальном профиле [17] и треугольном крыле в рамках правила полос [18], то вторая и третья являются принципиально трехмерными эффектами. Следовательно, наряду с весьма разнообразными формами в плане оптимальное крыло имеет и вогнутую и закрученную нижнюю поверхность. Крутка крыла особенно отчетливо видна из картины продольных сечений поверхностей крыльев, изображенных ранее на рис. 5, в, г, плоскостями г/Г2 = 0; 0,25; 0,5; 0,75 (соответственно кривые 1—4 на рис. 7, а, б). Первое из этих крыльев имеет большее качество и одновременно более за-
Рис. 6. Поперечные сечения оптимальных крыльев
Рис. 7. Продольные сечения оптимальных крыльев
Приращение качества можно увеличить, если вместо (2.1), (2.3) взять скачок в виде
5(х, г) = кг" 1п (5 + х) + а0(1 - х), я0 > 0.
В результате оптимальная форма в плане не меняется, а за счет дополнительного опускания носовой части функционал уменьшается на а0. Графически это показано на рис. 6,6 увеличившейся заштриховой площадью (а0 = 0,1) по сравнению с рис. 6, а (я0 =0). Однако практически значения а0 следует выбирать достаточно малыми, поскольку дополнительное опускание передней части в совокупности с круткой (рис. 7) может нарушить исходное допущение о тонком слое сильно сжатого газа около нижней поверхности крыла.
До сих пор речь шла об аэродинамическом качестве, вычисляемом с помощью двучленного разложения (1.7), в котором присутствует только функционал 0 и в которые не входит интеграл от давления Р (1.6), что очень облегчало решение вариационной задачи. Но после того как найдена форма оптимального крыла, численным методом [15] можно рассчитать распределение давления по его поверхности рй(х, z) (1.3) и найти качество по исходной формуле (1.4), не прибегая к процедуре разложения знаменателя, которая, как оказалось, дает очень медленно сходящийся ряд. В итоге появляется возможность уточнить значение Ктах, и чрезвычайно важно, что качество того же самого оптимального крыла при этом оказывается выше, чем по (1.7) (кривая 3 на рис. 3). Вместе с тем теперь можно сопоставлять Ктгх не при одинаковых углах атаки а, а при одинаковых значениях подъемной силы:
P<xV2L2
1 + в(Р -Q tg2 а)
sin3a+...,
которая с учетом второго члена разложения с Р, Q < 0 может в зависимости от а оказаться несколько меньше или больше, чем в главном порядке.
4. Представляет интерес и структура течения около оптимальных крыльев рассматриваемого класса. В используемом приближении боковая компонента скорости K00e1//2wsina сохраняется постоянной вдоль линий тока [11], поэтому их проекции на плоскость у - 0 прямолинейны:
— = w = const. (4.1)
dx
В соответствии с краевыми условиями задачи [11], [12] тангенс угла наклона каждой проекции определяется производной Sz в точке ее пересечения с передней кромкой:
= -^[§, Ze{%)\ (4.2)
На рис. 8, а, б показаны картины проекций линий тока (со стрелками) на поверхности крыльев, соответствующих первой (сг0=0,75; 0 = 0,85) и второй (ст0 = 1,5;П = 2,1) ветвям оптимального решения. В корневой части крыла они образуют сходящиеся пучки, и в процессе оптимизации ставится условие, чтобы они не пересекались на крыле, тогда
Рис. 8. Проекции линии тока на поверхности К;1К в КОНСОЛЬНОЙ части ПОЛу-оптимальных крыльев чаются расходящиеся пучки.
Наряду с формулой (4.2), применяемой обычно в обратной задаче, ту же величину ме в прямом подходе можно определить с помощью локального решения задачи обтекания кромки с присоединенным скачком. Обобщая метод разложения в координатные ряды [19] на случай крыла с толщиной, получаем (для I 2: 0):
01 - с ±
+с)2
г =1/2 = 1'е{х), с = Я-[х, ге(х)].
(4.3)
Возникшая здесь двузначность связана с возможностью существования как слабого (знак «-»), так и сильного (знак «+») присоединенного скачка, причем в используемой асимптотической теории [11], [12] их наклоны оказываются одного и того же порядка величины по б .
Располагая информацией о форме поперечных сечений крыла (см. рис. 6) и проекцией поверхностных линий тока (см. рис. 8), можно сделать интересный вывод о том, что оптимальный скачок уплотнения в целом может не описываться какой-то одной ветвью решения, а состоять из участков, принадлежащих различным ветвям. Действительно, линии тока, начинающиеся с носового среза т»1(-»оо),
с = -2£1п8г > 0, как показывает разложение в (4.3), имеют отрицательный наклон только в случае слабого скачка:
=
1
-с + .
С другой стороны, за примыкающей к носовому срезу боковой кромкой (« « 1, с > 0) отрицательный и достаточно небольшой по величине наклон линий тока получается за сильным скачком:
е 2
" / \ "
—с + у1с2 -4+0) І+ ^— + ... Л(7с2-4
1 ті с2 - 4 ,1 2 1
с + ...,
тогда как за слабым присоединенным скачком (при с >2) было бы < -1. В консольной части крыла, где 0 < со << 1 и часто с » 1 (см. рис. 6) малый положительный наклон 0 < \ме «1 также получается только за сильным скачком:
(Л - с + с
, о) 2
1 +-----------т+.
С с1
= 01 +.
Вместе с полученными ранее результатами [4], [20] установленное свойство подтверждает возможность возникновения скачков сильного семейства в сложных пространственных течениях.
В заключение отметим, что описанная процедура оптимизации была обобщена путем учета вязкого сопротивления [21], что несколько снижает располагаемые приращения качества, а также (преимущественно около точек бифуркации) оказывает влияние на оптимальные формы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 96-01-00629).
ЛИТЕРАТУРА
1. Теория оптимальных аэродинамических форм/Под ред. А. Миеле,—
М.: Мир.— 1969.
2. Г о нор А. Л., КрайкоА. Н. Некоторые результаты исследования оптимальных форм при сверх- и гиперзвуковых скоростях//Приложение в книге [4].
3. Современные проблемы газовой динамики/Под ред. У. X. Т. Лоха.— М.: Мир.— 1971.
4. Г о л у б и н с к и й А. И.. Келдыш В. В., Н е й л а н д В. Я. Некоторые новые результаты в сверхзвуковой и гиперзвуковой газовой динами-ке//При;южение в книге [3].
5. Майкапар Г. И. О выборе оптимальной формы сверхзвукового летательного аппарата//Ученые записки ЦАГИ,— 1987. Т. XVIII, № 1.
6. Майкапар Г. И. Замечания к выбору формы волнолета//Изв.
РАН. МЖГ,- 1996. № 3.
7. Kim В. S.. Rasmussen М. L., Jischke М. С. Optimization of waverider configuration generated from axisymmetric conical llows//J. Spacecraft.—
1983. Vol. 20, N 5. ’
8. Bowcutt K. G., Anderson J. D., Capriotti D. Viscous optimized hypersonic waveriders//AIAA Paper 87-272.— 1987.
9. Воронин В. И., Швец А. И. Волнолеты, построенные на течениях за скачками уплотнения в виде эллиптических конусов//ПМТФ,—
1994. № 3. ' ’
10. С о rd a S., And е rs о n J. D. Viscous optimized hypersonic waveriders designed from axisymmetric flow fields//AJAA Paper 88-0369.— 19S8.
11. Месситер А. Подъемная сила тонких треугольных крыльев по ньютоновской теории//Ракетная техника и космонавтика.— 1963. Т. 1, № 4.
12. Голубкин В. Н. Пространственное обтекание крыльев ги-перзвуковым потоком газа//Изв. РАН, МЖГ.— 1992. № 5.
13. Голубкин В. Н.. Негода В. В. Оптимизация пространственной формы несущих тел малого удлинения при гиперзвуковых скоро-стях//Ж. вычисл. матем. и матем. физ,— 1991. Т. 31, № 12.
14. Голубкин В. Н., Негода В. В. О повышении аэродинамического качества крыльев малого удлинения при гиперзвуковых скоро-стях//ПММ.- 1992. Т. 56, вып. 3.
15. Голубкин В. Н., Негода В. В. Оптимизация гиперзвуковых крыльев//Ж. вычисл, матем. и матем. физ.—1994. Т. 34. № 3.
16. Ко га н М. Н. О телах минимального сопротивления в сверхзвуковом потоке газа//ПММ.— 1957. Т. 21, вып. 2.
17. Н иколаев В. С. Оптимальная форма профиля при заданной ба-
лансировке в вязком гиперзвуковом потоке//Ученые записки ЦАГИ.— 1970. Т. I, № 6. ’
18. Николаев В. С. Оптимальная форма треугольного крыла при
заданной балансировке в вязком гиперзвуковом потоке//Ученые записки ЦАГИ.- 1972. Т. III, № 6. '
19. Голубкин В. Н. Об определении завихренности на крыле мало-
го удлинения при гиперзвуковом обтекании//Изв. АН СССР, МЖГ.— 1980, № 5. '
20. Черный Г. Г. Крылья в гиперзвуковом потоке//ПММ.— 1965. Т. 29, вып. 4.
21. Голубкин В. Н. Несущие крылья оптимальной формы в вязком гиперзвуковом потоке//Изв. РАН. МЖГ.— 1995. № 6.
Рукопись поступим 9/ХII 1996 г.
