CC BY
28
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XIV
19 8 3
№ 2
УДК 533.6.011.55
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ НА КРЫЛЕ МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
А. И. Голубинский, В. В. Негода
На основе асимптотической теории тонкого ударного слоя на крыле малого удлинения в гиперзвуковом потоке получены аналитические формулы для распределения давления в возмущенном течении и на поверхности крыла. Общее решение представлено в виде ряда по малому параметру, характеризующему толщину крыла и его форму в плане. Формула для давления во втором приближении получена в замкнутом виде.
1. Рассмотрим обтекание крыла малого удлинения под конечным углом атаки а гиперзвуковым потоком газа. В теории тонкого ударного слоя [1] малым параметром является отношение плотностей в набегающем потоке и за головным скачком уплотнения
£ = ттг + T^rrM-2sin~2a-
где х—показатель адиабаты, > 1 — число М в набегающем потоке.
Следуя [2], примем, что удлинение крыла по порядку величины совпадает с углом Маха fj.~y^stga в возмущенном течении. Как показано в [3], решение общей трехмерной задачи для пространственных крыльев такого типа может быть получено в квадратурах, если перейти к переменным х, ф, •?. где х,
z — декартовы координаты, а ф — функция тока, т. е. величина, сохраняющаяся вдоль линий тока в ударном слое: di/jdx + v-d&i/dy -j- w-д^/дг = 0 [и, и — компоненты скорости; х, у, г — безразмерные координаты порядка 0(1) в ударном слое]. Введем функцию Г (ф, г — Ьх), равную обратной величине завихренности в ударном слое. С помощью функции Г можно выразить у через ф. Взаимосвязь между переменными ф и у дается формулой:
у (х, ф, г) = yw (х, г) + Г Г(Г, г —ГX) d'i, (1.1)
Ф® (*, г)
где фда (х, z)— значение ф на поверхности крыла yw (х, г).
Функция Г (ф, г— <Ьх) определяется из интегро-функциональной системы уравнений [3J одновременно с формой скачка ys (х, г):
-У*г (х. г)
ys (х, z) = y'w (х, г) 4- | Г (ф, z — bx) ¿ф, (1.2)
Ф® (X, Z)
г (- У% г + xfz) = [ySz (■*. г) ysZ2 (х, г) - ys (х, г)]-1. (1.3)
Здесь у$г{х, г) = ду1* (х, г)/дг и т. д.
Зная Г и ys, можно вычислить различные газодинамические величины. Например, для функции тока на скачке и давления в ударном слое имеем согласно [3] (обозначено .О* = д/дх + '.д:дг):
Решить систему (1.2)—(1.3) в общем случае не удается ввиду сложной функциональной зависимости Г от і в уравнении (1.3). Однако можно получить приближенное решение задачи для класса тонких пространственных крыльев со слабо искривленной передней кромкой:
где о — малый параметр, Q —критерий подобия [2] базового крыла [плоского, скользящего под углом x=arctg (£2 1 £ i/2 tg 1 v.)]. Функции Z (x) и Y (x, z) — заданы. В работе [4] обтекание крыльев класса (1.6) рассматривалось как малое возмущение равномерного потока у базового крыла за присоединенным (S>2) скачком уплотнения. В [4] произведена линеаризация уравнений (1.2)—(1.3) по параметру о и получены выражения для формы головного скачка и давления в первом приближении. В случае крыльев с поверхностью, не имеющей изломов, разрывов кривизны и т. п., результаты [4] можно уточнить. Как показано в работе [5], при достаточной гладкости функций Z (х) и У (х, г), задающих в (1.6) переднюю кромку и профиль крыла, решение представляется в виде степенных рядов по параметру о с конечным радиусом сходимости 50:
в равномерном потоке у базового крыла. В [5] выведены рекуррентные формулы, позволяющие последовательно находить у„, уп, и доказана равномерная сходимость ряда (1.8) в любой ограниченной области переменных х, г (при соответствующем выборе Во).
Используя формулы [5], выпишем явные выражения для у1 (х, г) и у2 (х, г). Введем обозначения:
Уі (х, *)=-£- (Z+ + Z~) + -L. (Y+ + Y~) + _L j (DT Y) (т. Qz) dx +
•\>s {x, z) = — ys2(x, г),
(1.4)
Г (ї, z — їх) D\ у (х, С, г) d: + 2y% - 1 - [£]*. (1.5)
-A <*•
ze (x) = Q.v + оZ (x); yw (x, г) = оК (x, г),
(1.6)
CO
/ (x, г) = T (Qx — z) + V з” yn (Л-, г);
(1.7)
/2=1
6™ (x, z) T + V on ln (x, z) и т. д., 5 < 30.
(1.8)
Константа T= — (Q—) Q2 — 4) равна поперечной компоненте скорости
DT = д/дх — Т ■djdz; k- — Т/( 1 ± Т)\ если f—f (х), то /* = / [k± (z — Тх + х)]-,
если F = F (х, г), то Fe (x) = F(x, Q х); FZe (х) = —— (х, Qa:), . . .
Выражение для уг совпадает с аналогичным результатом [4]:
k+(z-Tx+x)
k-(z-Tx-x)
(1.9)
D {.г, z)
Двойной интеграл в (1.9) вычисляется по области D {х, г}, ограниченной линиями z=Qx и г — Тх = const + л:. Коэффициент у2 (х, г) при В2 равен:
У2 {х, z) =
V+ ______ v+ у— _________ v— . (г— Тх-\-х)
ze У Ize 1 ze У\ze 1
2k+ 2k~ 2k^~ k~
k~ (z—Tx—x)
i {
T2 ' У (T)
1 z 1 zze.
Z( T)_
7^3
(1 _ т»)3 [2' (Т) + (Т)Р} Лх + ^ Я [[ (У'*)гг (’’ 5 + п) аг -
о{х,г}Та
-2 Т(у\2)г (7а, ГОв)-Р ФгУи) (Га, 7-Осж) ] ¿0 Лт. (1.10)
Приведенные решения справедливы в общем случае в некоторой части области, возмущенной крылом.
2. Наиболее простой метод вычисления давления в ударном слое и на поверхности крыла заключается в следующем. Перейдем в формуле (1.5) к координатам х, у, г и, представив безразмерное давление в виде
Р (х, У, г) = ТО + Ър1 (х, у, г) + о2 р2 (х, у, г) + ... , (2.1)
будем искать дифференциальные уравнения в частных производных, которым удовлетворяют функции рх и ро- В качестве главного члена разложения (2.1) взят коэффициент давления для* базового крыла. Краевые условия для уравнений в частных производных будем выполнять на скачке уплотнения, т, е. при у = у8 (х, z) и ф = — Уг (•*■ г)• С этой целью вычислим давление р5 и производную (РуУ на скачке.
Значение р$ найдем из формулы (1.5), положив в ней ф = — у*£:
Р* = 2^-1-[^]». (2.2)
Подставим в это равенство разложения (2.1) и (1.7). Обозначив
р%=рп [х, Т (Ох —г), г] и (рпуУ = (дрп/ду) [х, Т (Ох - г), г], п= 1,2..........
имеем:
р{ = 20ту1 (х, г), |
р\ = 20 тУ2 (■*> г) — У и (х> г) — У1 (х> г) (РхуУ- ^
(2.3)
Отметим, что в главном порядке разложения / по о в соответствии с (2.1) получается константа ТО. Продифференцируем (1.5) по <Ь при постоянных х, z и учтем, что в силу (1.1) д\ду = Г”1 djd<b. В результате получаем следующее уравнение для давления:
Ру(х, у, г)= {D2y(x, Ф, г)} , . (2.4)
6 = ф (х, у, Z)
Оператор D = djdx + fyd/dz в фигурных скобках действует при Ф = const; зависимость i = ф (х, у, г) определяется из уравнения (1.1). На скачке
{D*y(x, ф, г)} , =^-2^гНт(И2-1)у|г. (2.5)
ф=-у|
В справедливости этого тождества легко убедиться, если вычислить из соотношений (1.1) и (1.2) входящие в (2.5) производные и учесть (1.3). Из (2.4), (2.5) получаем краевые условия
(Piy)s = D2T уг (х, z) —ylz, (х, г),
(Piy)s = D\ у2(х, z) — DT \y\z (х, 2)] — y2zz(х, г) — yt (х, г) (piyy)s. f
(2.6)
Перейдем к выводу уравнений в частных производных для рг и р2 (предлагаемый метод можно использовать также и при рассмотрении высших приближений). Если независимыми переменными являются х, у иг, то функция 6 (х, у, г) представляется рядом
ф (х, у, г) = Т 4- о'К, (х, у, г) + 52 Н'2 (х, у, г) + . . . (2.7)
Если же использовать ф в качестве независимой переменной £как в формулах (1.1), (1.5) и т. д.], то нужно ввести новую переменную ф, имеющую порядок О (1) при о ->0, так что ф = Т + оф. При этом функцию у (х, ф, г) представим рядом
у (х, ф, г) = S0 (х, ф, г) oSj (х, ф, г) + о2 S2 (х, ф, г) + ,. . . (2.8)
Можно показать, что D\ St (х, è, z) = D\ Y (x, г); D'^1 Sn (x, ф, z) = 0, n = 0, 2, 3, . . . . (2.9)
5= const ф= const
Отсюда, в частности, вытекает, что 50 = S0 (ф, г—Тх), т. е. с точностью до О(о) у является функцией от ф и линейной комбинации z — Tx. Поскольку преобразование (1.2) переменных у и ф—невырожденное [якобиан D (х, у, z)jD(x, ф, г) = 5Г=0(1) при 3 0], то ф в главном порядке есть функция от у и z—Тх. Согласно (2.7) ф = + О (5), откуда заключаем, что 4"i =
= 4\(y,z-Tx).
Из (1.5) имеем:
[T(Qx — z), z — Тх] = — yxz (x, z).
Решив это функциональное уравнение, получим необходимое в дальнейшем выражение для ly.
(у, г - Тх) = -у1г [у + Т(г - Тх), Ту + TQ(z- Тх)]. (2.10)
Заменим в уравнении (2.5) функции р(х, у, г) и у (х, ф, г) их разложениями
по 6, принимая одновременно во внимание свойства (2.9) функции Sn. В резуль-
тате
Ърху (X, у, г) + ь-р„у (X, у, z) = оd\ Y (x, z) + ô2 [D2T ! S2 (x, ф z) -f
^=const
+ 2'\iDr | Slz (x, à, z) SQzz(x, Ф, z)] | -f . . . . (2.11)
ф = const dirzWj-fO (о)
В первом порядке по о в (2.11) нет явной зависимости от il», поэтому сразу получается уравнение для рх:
Piy(x, у, Z) = d\ Y (x, z), которое при граничных условиях (2.3), (2.6) имеет решение:
Pi (x, у, z) = D\ Y (x, z) [y — T (9.x — z)] + 2Dr y1 (x, z). (2.12)
Для крыльев класса (1.6) D\.Y(x, z) есть кривизна поверхности в направлении линий тока невозмущенного течения. Таким образом, величина рх складывается из центробежной составляющей давления и давления на скачке.
Чтобы определить дальнейшие поправки к ньютоновскому значению давления, необходимо рассмотреть высшие приближения. Уравнение для рп(п> 2) получается, если применить оператор DT п— 1 раз при у = const к обеим частям равенства (2.11) и учесть, что
°Т | lf(x, ф, ] = [£>г | /(*> 7. г)]_ |_ +
y = const ф—ф (x, y,z) ф=сопб1 Ф=Ф (х, у. г)
+ (DT , ù)fÆ)(x, у, z). (2.13)
у = const \ д-Ь J
Заметим, что DT ^ ф =0 (3) (так как = 0 при у = const). Но в (2.11)
члены первого порядка относительно о не содержат ф, поэтому второе слагаемое в правой части (2.13) существенно лишь при рассмотрении третьего и высших приближений. Из (2.9), (2.10) и (2.11) с учетом (2.13) находим
DrPzy (х, у, г) = — 2ylz [у + Т (г — Тх), Ту — TQ (г — Тх)] D\ Yz (x, z).
Решение р-2 (х, у, г) этого линейного неоднородного гиперболического
уравнения второго порядка с граничными условиями (2.3), (2.6) представим
в виде суммы трех слагаемых:
Р2=Р°2+ Р2+Р2’ (2Л4>
где Р2—значение давления р2 на скачке:
р\ = 2ВтУъ (х, г) — у\, (х, г) — ух (х, г) У (х, г), (2.14а)
Р2—слагаемое, связанное с кривизной скачка,
Р2 = (0Гу2)[у+Т (г—Тх), Ту-г ТО. [г — Тх)) — Оту3(х, г)—
- Уи [У + Т (г - Тх), Ту + Т9. (г - Тх)\ + у\г (х, г), (2.146)
/?2 — составляющая давления, содержащая интегралы по толщине ударного слоя
У
р12 = — 2Ог Уг (х, г) | У\г Ь + Т{г- Тх), 74 + ТО, (г - Тх)] й-, —
Т(&Х-г)
у+Т (г-Тх)
— [ [Учгг (х> г—Тх + Тх)— 2 (у1г От Уг) (т, г — Тх -(- 7 т)] с1х. (2.14в)
X
Формулы (2.14) дают аналитическое выражение для давления во втором приближении. На поверхности крыла
РТ = РЛ*> г)\ Р^^РЛх, 0, г)+р1у(х, 0, г) У (х, г). (2.15)
3. Рассмотрим пример. Оказывается ([4]), можно выбрать форму передней кромки и поверхности крыла таким образом, чтобы в первом приближении скачок уплотнения не отличался от прямолинейного скачка для базового крыла
^ / ' / // // и . 1 1 »-
1 55) с~п / 0,5 2
" — . г=5>.1
проекция переднвЬяромки ' —''~-_
г=го(х) Впесше.с-примына- г = ге (.г)
•ющек частъю'крына.
прямая г- ях \
\ 0,5 ( X — \
Рис. 1
Действительно, если передняя кромка задана в (1.6) функцией (х), а поверхность крыла —линейчатая, причем
У (х, г) = — Тг [Т (г - Тх)], (3.1)
то, как видно из (1.9), у1(х, у) = 0. Возмущение давления в первом приближении также тождественно равно нулю. Однако уже во втором приближении скачок отличен от прямолинейного, а /?2=^0.
В обозначениях п. 1 имеем
у2 (х, г) = ~Т* {(&)' [А+ (г - Тх + *)] + (^2)' 1к~ (г -Тх- х))), (3.2 >
р2 (х, у, г) = -2ГЧ£+ (2»)"[*+(* — 7* + *)] - К~ (20-)"[*_ (г - Тх - х)]}. (3.3)
Величина р2 в (3-3) не зависит от у, т. е. для крыльев типа (3.1) давление с
точностью до О (63) постоянно по толщине ударного слоя и равно своему значению на скачке. С помощью полученных соотношений были проведены расчеты для участка линейчатого крыла с параболической передней кромкой:
г (х) = а х2 + Ь, при £2 = 3; 5 = 0,25; а — 15,0; Ь= —1,0.
Для этого крыла Т = 0,3820; /И~ = 0.2764; к~ = 0,6180.
б)
в)
На рис. 1 показана проекция на плоскость О х г передней кромки г = гй(х) вместе с примыкающей частью поверхности крыла. Для сравнения на этом же рисунке изображена прямая г = Qх.
На рис. 2 приведены результаты расчетов по формулам (3.2), (3.3) формы скачка и распределения давления на поверхности крыла в продольных сечениях г ——0,5; 0,0; 0,5. На этом же рисунке показаны сечения поверхности крыла соответствующими плоскостями г = const.
ЛИТЕРАТУРА
1. X е й з У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит.. 1962.
2. М е с с и т е р А. Ф. Подъемная сила тонких треугольных крыльев по ньютоновской теории. РТК, №4, 1963.
3. Г олубинский А. И., Голубкин В. Н. О пространственном обтекании тонкого крыла гиперзвуковым потоком газа. ДАН СССР, т. 234, № 5, 1976.
4. Голубкин В. Н. К теории крыла малого удлинения в гипер-звуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1980, № 4.
5. Г олубинский А. И., Негода В. В. Гиперзвуковое пространственное обтекание крыла малого удлинения. „Ученые записки ЦАГИ“, № 1, т. XIV, 1983.
Рукопись поступила 28jVlI 1981 г-
10 — «Ученые записки ЦАГИ» №2
