Загальний метод дослідження кручення порожнистих призматичних валів (брусів) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Шдставляючи в (8) вирази для hj та h2 з (6,7), отримаемо TaKi оста-точш формули для nepeBipm на мiцнiсть пружних елеменпв першо! та друго! плоских пружних систем:

x

ае+2

и

+ 400

J к 0 2 - J п X 2 ) + X0W 2 (J п - J к )

E 1 +2

+ 400

X(0-X)z2 Wj

JK0w2

(0-X)z2W2

(9)

(10)

Таким чином, наведений вище розрахунок плоских пружних систем на жорстккть з виведенням остаточних виразiв геометричних параметрiв пружних елементш дае змогу точного налагоджування систем в резонанс, а проведений розрахунок на мщшсть дозволяе перевiрити 1х на здатнкть робо-ти при знакозмiнних навантаженнях.

Лiтература

1. Повщайло В.О., Ланець О.С. Розрахунок та аншпз плоско! дружно! системи вiб-рацшно! машини об'емно! обробки// Автоматизация виробничих процеив у машинобудуваннi та ириладобудуванш. Укра!нський мiжвiд. наук. - техн. зб. - Львш: НУ "Лъв]всъка полггехш-ка", 2001, вип. 36. - С. 30-36.

2. Гаврильченко О.В., Ланець О.С. Розрахунок на жорстюсть та мщшсть плоско! пружно! системи з шiстъма пружними стержнями, яка використовуеться у вiбромашинах об'емно! обробки// Машинознавство. - 2001, №9 (51). - С. 51-55.

3. Повидайло В.А. Расчет и конструирование вибрационных питателей. - М.: Маш-гиз, 1962.

2

2

2

w

4

a

X

max J

2

2

0

a

X 4

max 2

УДК 539.06 Доц. О.I. Думанський - УкрДЛТУ

ЗАГАЛЬНИЙ МЕТОД ДОСЛ1ДЖЕННЯ КРУЧЕННЯ

ПОРОЖНИСТИХ ПРИЗМАТИЧНИХ ВАЛ1В (БРУС1В)

Пропонуеться загальний метод дослiдження напруженого стану порожнистих призматичних валiв (бруив), що знаходяться пiд дiею моменту кручення, якщо пе-ретворююча функщя поперечного перетину вала (бруса) на круг мае вигляд многочлена довшьного ступеня.

Doc. O.I. Dumanskiy - USUFWT

General method for the research of cavernous prismatic shafts (balks) twisting

The general method for the research of strained state of hollow prismatic shafts (balks) under the moment of rotation is proposed. It is assumed here that the transforming function of cross section from shafts (balks) to ring is presented by polynomial of random power.

У деяких мехашзмах, елементами яких е вали або бруси, для полег-шення конструкцц або виходячи з конструктивних потреб вал або брус може бути порожнистим, тобто його поперечним перерiзом е двозв'язна область i3 зовшшшм контуром i внутртшм отвором певно! геометрично! конф^урацп.

5. !нформацшш технологи raay3i

30J

Розглянемо призматичний iзотропний порожнистий вал (брус), попе-речним перерiзом якого е двозв'язна область iз зовнiшнiми i внутрiшнiми контурами Ь\ i ¿2, який перебувае пiд дiею моменту кручення Мк. Побудуемо загальний розв'язок знаходження дотичних напружень в будь-якш точцi поперечного перерiзу вала та жорстккть на кручення, якщо конформно перет-ворююча функция побудована у виглядi полiнома

m

z = w( z ) = I С, zk (1)

к=1

i здшснюе перетворення поперечного nepepi3y вала на кiльце р1< IZI £ 1. Фyнкцiю напружень f (Z), яку задамо у вигляд

f( Z ) = 1 a, z к (2)

к=0

i вважаючи ïï регулярною в кшьщ р1< IZI £ 1, знайдемо з граничних умов [1]

f (s) - f (s) = iw(s)w(s) + iC2 nag, (3)

f (A s) - f (A s) = ia(pxs) • w(p1 s) na g де y1, Y2 - вiдповiдно внyтрiшня i зовшшня границi кiльця p1< IZI £ 1. Умови (3) можна записати в компактному виглядг

f (s ) - f (s ) = iœ&t )w(s ) + iCt на g (i = 1,2), (4)

де: o1=p1o, o2=o, о=е!0.

Компонента дотичних напружень, що дiють в кожнш точцi поперечного перерiзy вала, знаходимо згiдно з формулами:

t a - itq= Wl . [f '(Z) - i w'(Z)W(Z)] i = 1,2, (5)

де: m - пружна постiйна Ляме, t - кут закручування стрижня на одиницю дов-жини i доршнюе t=Mk/D, Мк - крутний момент, D - жорстккть вала (бруса) на кручення D=|m(/0 +D0),

4J [WZ)]VZ)WZ),

g

Do=- 4 J if (Z)+W> d [wfiïnl

'■=4 J

g i = 1,2 (6)

Задамо праву частину умови (4) у вигляда:

_ 1 m-1 m-1 п sr-k _

[,[(-) = i I Ckpksk • J Ckps =

si k=-m к=-m (7)

2 m-1

= I Pi (P, С, )sk (i = 1,2);

k=-(2m-1)

де

Ркл = Е Ск+гСг (к = 0,...,2т -1),

г=-т т-1-к

(8)

Рм = ЕСк+гСгРГ-к (к = 0,...,2т-1).

Пiдставивши (2) i (7) в (4), отримаемо:

¥ ¥ ___2т-1

X ак°к - X= г XРкХ + /С на = 1,2) (9)

к=-¥ к=-¥ к=-(2т-1)

Прирiвнюючи коефiцiенти при однакових ступенях о i поклавши одну iз постiйних Сь наприклад С1=0, з умов (8) знаходимо:

а0 - а0 = гР0,1; а0 - а0 = /Р0,2 + /С2 ;

акР - 'а-кР- = р- к = 1,...,2т -1; а к - а-к = грк ,2,

ак = а-к = 0 при к > 2т.

Таким чином, шукана функцiя / (£) мае вигляд:

де

/ (£) = X а,Ск

к=-(2 т-1)

1т а0 = ^ А>д; С2 = £»0д- в0л;

Я,2 +

^к,2Г1к - Ок,1

Г1-к -Г1к

.Рк,1 - рг,2г; ' Г1-к -Г1к

(к = 1,...,2т -1),

(10)

(11)

Знаходимо жорсткiсть i напруження в довiльнiй точцi поперечного пе-рерiзу вала згiдно формул з (5) i (6), з урахуванням значень (11).

Формули розподшу дотичних (крутних) напружень в точках внут-рiшнього i зовнiшнього контурiв поперечного перерiзу вала мають дещо про-стiший вигляд, а саме:

• на внутршньому контурi, на Ь2 (при р=р2= 1)

тр = 0,т =

¡Т

ю(а)\

он ¡Т

а

В0 2 + 2Яе X(к—-^ + Б-кл)0

на зовтшньому контурi на (при р=р0

2 т-1

тр= 0,те= , .

р1

В01 + 2Яе X(к-1-Р-к + В-кл)а

(12)

(13)

де

г=-т

а„ = г

к

-к

-к

к=1

к

к=1

5. 1нформац1йн1 технологи галуз1

303

B-ki = I rCrCk+r р2

Bki = kPki + в -k i

( к = 0,...,2т -1)

I = 1,2 [> (14)

( к = 0,...,2т -1)

Таким чином, аналогiчно як i при крученш валiв сущльного поперечного перерiзу [2], розв'язок задачi не е складним, а основнi труднощi задачi зводяться до побудови конформно перетворюючо!' функцií, яка дозволяла б перетворювати заданий поперечний перерiз вала на область кругового юльця.

Лiтература

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

2. Думанський О.1. Загальний метод дослщження кручення суцшьних призматичних валш (брусш)// Науковий вiсник: Збiрн. наук.-техн. праць. - Львш: УкрДЛТУ. - 2002, вип. 12.5. - С. 170-174.

m-1-k

УДК 534.111 Доц. Б.1. Сокл, д-р. техн. наук;

тж. М.Б. Сокл - НУ "Львгвська полтехшка"

ПЕР1ОДИЧН1 ATEB-ФУНКЦП У ДОСЛ1ДЖЕНН1 НЕЛ1Н1ЙНИХ СИСТЕМ З 1МПУЛЬСНИМ ЗБУРЕННЯМ

Розв'язуються задачi про анал^ичне дослiдження коливальних процесiв сильно нелшшних систем i3 зосередженими масами i розподшеними параметрами на як дь ють рiзноï природи iмпульснi збурення. В основу дослiджень покладено: а) принцип одночастотностi коливань; б) щею використання перiодичних Ateb-функцiй для опи-сання коливальних процесш систем i3 степеневою нелiнiйнiстю; в) узагальнення, на основi вказаних вище функцш, методу усереднення на новi класи нелiнiйних систем.

Л««. Prof. B.I. Sokil, eng. M.B. Sokil - NU "Lvivs 'ka Politekhnica "

Periodic Ateb-functions in research pulse indignation nonlinear systems

The tasks of analytical research of oscillatory processes of strongly nonlinear systems with the concentrated weights and allocated parameters under influence of a different nature pulse indignations are solved. In a basis of researches are: а) a principle of one-rate fluctuations; b) idea of periodic Ateb-functions use for the description of oscillatory processes of systems with nonlinear; c) application with use of the mentioned above functions, asymptotic method on new classes of nonlinear systems.

Предметом до^джень, e так зваш системи i3 шпульсними збурення-ми. 1мпульсш збурення мають pi3Hy природу i можуть дяти як у фжсоваш мо-менти часу, так i при проходженш системи конкретш положення. Необхщ-шсть ïx розгляду пов'язана i3 багатьма явищами та процесами, що мають мкце у фiзицi, теxнiцi, бюлогл i, яш у свош еволюци характеризуються короткою тривалiстю до (удар, миттевий поштовх). Останне дозволяе, в багатьох випад-ках, нехтувати тривалктю його дiï i при опис процесу математичними сшвввд-ношеннями (моделями) вважати даю шпульсного збурення - миттевою.

Поряд з тим математичними моделями систем iз шпульсними збурен-нями можуть бути сyцiльнi одно- чи багатовишрш тала, яш в окремих поло-