CC BY
19
6. Видмич С. С. Устойчивость комбинированной обработки / С. С. Видмич, А. Ф. Саленко, В. Г. Зеленский // Вісник Кременчуцького державного політехнічного уні-
верситету імені Михайла Остроградського. - 2008. -Вип. 1/2008 (48), част. 2. - С. 20-26.
Одержано 09.06.2011
Видмич С.С. Вынужденые колебания цилиндрической заготовки при резании с одновременным алмазным выглаживанием
Предлагается способ исследований вынужденых колебаний цилиндрической заготовки во время совмещенной обработки процессом резания и алмазным выглаживанием. На заготовку действуют силы, которые создаются резцом и алмазным выглаживателем, которые приложены в центре тяжести заготовки. Показана зависимость размеров обрабатываемой заготовки от критических частот во время совмещенной обработки.
Ключевые слова: вынужденые колебания, совмещенная обработка, критическая угловая скорость, момент инерции.
Vidmich S. The compelled fluctuations of cylindrical blank by machining cutting simultaneous with diamond smoothing operation
The way offorced oscillation research of cylindrical work piece during combined cutting process and diamond smoothing is suggested. The work piece is exposed to the forces which are created by cutter and diamond smoother and which are imposed to the centre of the work piece gravity. Dependence of the work piece the size from critical frequencies during the combined processing is shown.
Key words: forced oscillation, combined processing, critical angular speed, moment of inertia.
УДК 621.73.143:669.14.018.8
Д-р техн. наук В. Ю. Ольшанецький, І. Ю. Кисільова Національний технічний університет, м. Запоріжжя
ВАРІАЦІЙНА ЗАДАЧА КРУТІННЯ ПРИЗМАТИЧНОГО БРУСУ З УРАХУВАННЯМ ДИСЛОКАЦІЙНОГО ВПЛИВУ
Розглянуто варіаційну задачу крутіння пружно-пластичного призматичного брусу. Побудовано функціонал додаткової енергії, який враховує розподіл параметрів дислокаційної структури. Для хромистої сталі отримані рівняння, які визначають інтенсивність напружень та інтенсивність деформацій. Побудовано зони пластичного впливу.
Ключові слова: крутіння, варіаційне рівняння. метод Рітца, розподіл густини дислокацій.
Постановка проблеми
раметрами субмікроструктури, які характеризують поведінку твердих тіл під час пластичної деформації. У багатьох роботах (Работнов А. Н. [1], Смирнов Б. І. [2], Степанов Ю. Н. [3], А. Х. Коттрелл [4, 5] та ін.) показано, що тонка (зокрема дислокаційна) структура та ії зміна у процесі обробки металу визначають його основні пластичні властивості при деформаційному формозміненні ( дислокаційна теорія Зегера та ін.). Зазвичай для оцінки впливу тонкої структури використовують підхід, при якому важливі параметри структури розглядаються як середні, хоча з практичної точки зору цінніше знати статистичні розподіли та динаміку їх змін. За динамічним підходом передусім розглядають розподіли різних параметрів тонкої структури (наприклад, дислокацій) і пов’язані з ними розподіли механічних властивостей. Можна констатувати, що на даний
Дислокації є розповсюдженим елементом мікроструктури твердих деформованих тіл. Поряд з іншими дефектами кристалічної гратки вони визначають пластичність і міцність твердих деформованих металевих матеріалів. У сучасних дослідженнях дислокаційні моделі використовуються для теоретичного опису багатьох явищ та процесів, які відбуваються в твердих тілах на макро- та мікро- рівнях під час пластичного деформування. Сукупність отриманих до теперішнього часу даних показує, що дислокації є істотною складовою структури реальних кристалів. Численні теоретичні та експериментальні дослідження показали суттєвий вплив дислокацій на властивості сталей та сплавів.
Останнім часом увагу науковців привертає проблема наведення «містків» між макровластивостями та па-
© В. Ю. Ольшанецький, І. Ю. Кисільова, 2011
ISSN 1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №2, 2011
час відсутні застосування стохастичного і одночасно динамічного підходу до аналізу процесів пластичного деформування твердих тіл та відсутні роботи з дослідження стохастичного зв’язку між механічними властивостями та параметрами дислокаційної структури. У роботах А. А. Ільюшина [6] зазначається перспективність і достовірність паралельного використання для рішення задач механіки деформівного твердого тіла експерименту та розрахункових робіт. Тому визначення характеру розпоідлу густини дислокацій проведено на підставі експериментальних дослдіжень.
Для опису низки явищ при деформуванні твердих тіл із дислокаціями певну роль грають нелінійні ефекти. У цьому зв’язку викликає інтерес з’ясування впливу розподілу густини дислокацій на параметри розподілів напружень та деформацій при крутінні призматичного брусу, які в свою чергу, визначають надійність різного типу конструкцій.
Аналіз останніх досліджень та публікацій
Вагомий внесок у розвиток теорії дислокацій зробили Дж. Коттрелл [4,5], Дж. Хирт, Дж Лоте [7], К. Те-одосіу [8], І. Фелтам [9], А. Бухвалов [10], та інші. Роз -в’ язанню задач про дислокації у нелінійній постановці найдено Л. М.Зубовим [11 та ін.], виконаних у галузі механіки з урахуванням дислокацій присвячено роботи [12, 13]. Однак, у всіх цих роботах не враховується характер та закони розподілу дислокацій у твердому тілі.
Виділення невирішених раніше частин загальної проблеми
На даний час відсутні застосування стохастичного (динамічного) підходу до аналізу процесів пластичного деформування та відсутні роботи з урахування розпоіділв дислокацій при дослідженні крутіння твердих тіл.
Формулювання цілей
Метою роботи є дослідження задачі крутіння пружно-пластичного призматичного брусу довільного перерізу з урахуванням розподілів дислокаційної структури.
Виклад матеріалу дослідження
Розглянемо призматичний скручений брус довільного перерізу, задній торець якого закріплено так, що лінійні переміщення всіх його точок у напрямках осей у та х дорівнюють нулю, а передній торець є вільним
(рис. 1).
Припустимо, що тверде тіло, яке знаходиться в рівновазі, займає об’єм V, обмежений поверхнею & На частині поверхні задано поверхневі сили Xі, а на іншій -переміщення иі.
Для дійсного напруженого стану маємо
де, дх,.
■ = 0,
° і,”і = Х V,
(1)
Інші напружені стани, близькі до дійсного, можна охарактеризувати рівняннями:
дЦст у + да у )= «,
дхі
(2)
З рівнянь (1) та (2) витікає, що варіації напружень 5аг- та варіації зовнішніх сил 8Хпі утворюють врівноважену систему. Тому робота цих внутрішніх та зовн-ішних сил на можливому для тіла переміщенні дорівнює нулю. Візьмемо як можливі дійсні переміщення и . Тоді будемо мати
\еу$ОуЛУ=| иіЬХп4&. (3)
V
Перетворимо підінтегральний вираз у правій частині рівняння (3), використовуючи розкладення тензорів напружень на шаровий тензор та девіатор, і отримаємо
є, = ^ііеіі + 3є0^ст0 =
є, 1 У 3
ст0
Рис. 1. Скручений брус
Ц';-+ 3є05ст0 = —1—81— sjsii |+—-8Ста (4)
1 2 а, 1 а, 2 V 2 1 11) К 0 ^
Додаткова робота для всього тіла дорівнює
Я=ІRdV.
V
Також зауважимо, що !&іу 8<ЗijdV = 8Я.
V
Перетворимо тепер праву частину варіаційного рівняння (3).
На вільній базі х = І маємо их = юу,иу = юх. Тоді, якщо ввести функцію напружень Е, з урахуванням т уг = - Ех , т хг = Еу , то
|и8Х^& = -ю{( У~~+ х—дЕ |dxdy . (5)
& V ду дх )
де ш - повний кут закручування. Зазначимо, що
П у—SF + x—8F \dxdy= ду дx г
= І
д д
— (xSF) +—(у№) дх дУ
dxdy+21 ЪFdxdy. (6)
Далі з (5) та (6) знайдемо варіацію роботи зовнішніх сил
І 8XidS =
= -ш 1 ( ~~ (x8F) + — (у5Е) |dxdy + 2ш |ЪFdxdy. (7) „ ^ду & ) і
Перший інтеграл в правій частині виразу (7) перетворимо за формулою Гріна [17].
|^дУ(х8Е) + -дх(у8Е)^|dxdy = |8Е(xdy - ydx),
тоді варіація робіт зовіншніх сил буде дорівнювати
| щ8Х^& = -та |8Е(у - ydx)+2та| 8Fdxdy, (8)
Уо &
(тут у0 - обмежувальний контур).
Остаточно варіаційне рівняння (5) буде мати вигляд
8І
5
|є,^сті - 2шF
dxdy = -ш 15F {xdy - ydx). (9)
У0
Розв’язок рівняння (9) можна отримати з використанням ітеративного методу Рітца.
Нехай поперечний переріз призматичного брусу уявляє собою багатозв’язну область, що обмежена кон -туром у0 та містить підобласті, в яких розташовані дислокації (рис. 2).
Рис. 2. Багатозв’язна область
Вказані підобласті обмежені контурами УьУ2, -Уп . При цьому функція напружень приймає
на контурах різні постійні значення [15] Е-,Еі,...Еп .
Одна з постійних може бути задана довільно, нехай Fo = 0. Класична теорема про циркуляцію [15] для суцільного брусу задовільняє рівнянню Пуассона для функції F, а також забезпечує однозначність осьових переміщень м>. У варіаційній постановці це означає од -нозначність правої частини рівняння (3), яка може мати багатозначність. Багатозначність можна усунути, якщо перетворити область в однозв’ язну шляхом виконан-+ -
ня розрізів гі , г, . За теоремою Коші маємо для криволінійного інтеграла в (8):
18F (( - ydx) = -ш 18F (у - ydx) - ^
к=1
70
70
і -і
. (10)
Тут інтеграли
і та1
на протилежних берегах
розрізу відрізняються на постійну величину С£ , що дорівнює вектору Бюргерса Ь£ дислокацій, які розташовані в підобластях. У зв’язку з цим криволінійний інтеграл (10) набуває вигляду
18Е (у - ydx)=]Г ( + Ьк )5Е. (11)
Ї0
к=1
а вараційне рівняння (11) у випадку ізольованих дислокацій матиме вигляд
8|
jєidoi - 2шF
^у = + Ьк М. (12)
к=1
де &£ - площа к-ї області.
Рівності (11) та (12) можна розглядати як узагальнення теореми про циркуляцію дотичних напружень у варіаційній постановці при наявності ізольованих дислокацій.
Перейдемо тепер від брусу із багатозв’язним перерізом до випадку однозв’язного переріза із дискретним набором дислокацій. З цією метою будемо зменшувати діаметри контурів та стягувати їх у деякій точці
Мк. При цьому довжина вектора Бюргерса Ь£ при такому переході стає незмінною. Остаточно постійна Ек співпадає із функцією напружень Е(м£) і варіаційне рівняння запишемо так:
8І
jєidoi - 2шF
dxdy = | В • ЪFdxdy ,
де
В=£ Ь Ф- ч Му - Ук). к=1
(13)
Припустимо, що кількість дислокацій є великою. У випадку безперервного розташування дислокацій,
0
І
І'
1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №2, 2011
143
замінемо узагальнену функцію на звичайну. У результаті варіаційне рівняння в задачі крутіння пружно-пластичного брусу, в якому враховується густина дислокацій у матеріалі, буде мати вигляд
вигляд
8І
5
|- 2юF - apF
0
dxdy = 0,
(14)
де є, - інтенсивність деформацій, а, - інтенсивність напружень, р - густина дислокацій. яка в загальному випадку є випадковою величиною, а - деякий коефіцієнт.
Зазначимо, що варіаційне рівняння (14) формально переходить у відоме рівняння крутіння [16] при р = 0 , однак граничний перехід р ^ 0 тут є неможливим, внаслідок ідеальності (бездефектності) матеріалу в цьому випадку. Оскільки в задачі мова йде про пружно-пластичні деформації, робоча ділянка кривої «границя текучості-густина дислокацій» обрана праворуч від мінімуму [17]. Якщо припустити, що рівняння в [16] отримано при деякому середньому значенні густини Шр, доцільно обрати р в рівнянні (14) центрованою випадковою величиною
о Р-тр р =------
ст,
р
де Ор - стандарт випдкової величини.
Тепер перепишемо варіаційне рівняння так
8І
|єidстi -F(ю+ар0)
dxdy = 0,
(15)
де а - коефіцієнт розмірності та порядку.
Далі будемо враховувати, що густина дислокацій
(а також і функція В(х, у)), є фіксованою в даному перерізі, і також є випадковою в інших перерізах та зразках виробу.
Якщо закон розподілу /(р) випадкової величини
О
р є відомим, то для центрованої величини р можуть
_ ^ . 0 0 0 бути знайдені границі вимірювання р1 < р < р2, з яких
у цьому дослідженні найбільший інтерес має нижня
о 0 0 • ^
границя р1, оскільки при р = р1 спостерігається найбільше збільшення площі областей пластичності, яке обумовлене впливом дислокацій. Розподіли густини дислокацій феритних сталей отримано в [18-20].
Застосуємо варіаційний метод розв’язання екстремальних задач із неквадратичними функціоналами для випадку крутіння призматичного брусу. Розв’язок цієї задачі дає значення напружень по перерізу призматичного брусу за умов розподілу дислокацій по його поверхні. Варіаційне рівняння крутіння призматичного брусу (поперечний переріз-квадрат, сторона - 2а) з урахуванням густини дислокацій матеріалу брусу має
і/(Х)ЫХ- 2aшF -PF
d|dn^ = 0, (16)
де ц - безвимірні декартові координати
(х = а^, у = ац), та - кут крутіння на одиницю довжини, р - функція густини дислокацій, Е - шукана функція напружень, через яку визначаються компоненти дотичного напруження:
дF
дF
Інтенсивність дотичних напружень розраховується за формулою
Т = +,
єР_
дп
(17)
і пов’язана із інтенсивністю деформацій зсуву Г залежністю
Г = / (т )т або Т = я (Г )г .
На контурі брусу маємо Е = 0.
Оцінимо залежність інтенсивності дотичних напружень для маловуглецевої сталі 03Х18ТБч. У загальному випадку залежність інтенсивності напружень від зсуву має вигляд
Т =
00 Г _ при _ Г < К (Ь1 + Ь2Г)_ при_ Г > К\,
(18)
де Кь Ь1, Ь2 - коефіцієнти.
Залежність між інтенсивністю напружень Т та інтенсивністю деформацій зсуву Г складається з двох лінійних ділянок.
Представимо варіаційне рівняння у вигляді
11
І 00
1 т_ о' ~
■ - 2aшF - PF
і будемо шукати розв’язання у формі Е = С1Е1 + С2Е2, де С1, С2 - довільні постійні, а
Е1=(С-Ж2-1
F2 =(-1)2 -1)2 +П2)•
Рішення задачі отримаємо, застосовуючи ітеративний метод Рітца [16].
2
2
+
В нульовому наближенні покладемо
Gk = const = Gq , та розв’яжемо лінійну задачу.
В k-му наближенні маємо
Gk = G,
Tk
rk-і:
k-1 Tk-1:
де T*_i обчислюється за знайденим значенням Tk
k-l
та Gk-i за формулою
l
Гk-1 = G---------Tk-1.
Gk-l
Обмежимось проведенням розрахунку для випадку ата = 0,015 .
Коефіцієнти С[, С2 визначимо із рівнянь:
C(k I4W + C2k A2 ) = Q1; Ci(k I4W + C^ ^0 = Q2. #)
(20)
Інтеграли Ау ' знаходимо чисельними методами,
У
наприклад, методом Гауса [21]. Значення Е в точках Гауса фіксовані, змінюються в залежності від к лише
значення Ок .
Для чотирьох точок Гауса в проміжку 0,1 маємо
Aik) = у у B B f,j (^ш,Пп) Aj = Шп=Ъ=\ Gk {%Ш, nn),
(21)
де £,т,пп, Вт,Вп - відомі значення абсцис та ваг ординат у формулі Гауса.
Як показано в роботі [21] розрахунок коефіцієнтів
С\, С2 у такий спосіб забезпечує достатню точність та стійкість розрахунків.
Використовуючи значення постійних С\, С2, можна обчислити компоненти та інтенсивність напружень Т. Визначимо вид та параметри залежності між інтенсивністю напружень Т та інтенсивністю деформацій зсуву Г для різних режимів обробки хромистої сталі 03Х18ТБч.
Зокрема, для режиму обробки цієї сталі № 1 (гарячекатаний підкат + деформація 20 % + нагрів 780 °С + холодне прокатування + рекристалізаційна обробка 900 °С), залежність (18) матиме вигляд:
Tl =
G0 Г _ при _ Г < 0,00б7 )кг I см 2 _ при _ Гk-1
1 1(l0 + 22-10З Г )кг Iсм2_ при_ Г^ > 0,00б7.
Для інших режимів обробки залежності мають аналогічну форму.
Враховуючи випадковий характер густини дислокацій та відповідної границі текучості матеріалу кри-
ва залежності Т(Г) є випадковим процесом. У цьому дослідженні обмежимось розглядом трьохсигмових інтервалів кривої зміцнення.
Для оцінки та визначення пластичних зон при крутінні для брусів із сталі 03Х8ТБч використано значення границі текучості, результати оцінки середньої густини дислокацій (з урахуванням анізотропії' [22, 23]) та найдено границі пластичних зон ( рис. 3) (1, 2, 3,
4 - відповідно режими обробки хромистої сталі № 1, № 2, № 3, № 4).
Розрахунки показали, що врахування впливу дислокаційної структури збільшує розміри пластичних зон приблизно на 15 %.
Рис. 3. Границі пластичних зон Висновки
У границях теорії пружності досліджено задачу Сен-Венана про рівновагу призматичного брусу, навантаженого крутячим моментом, і який містить дислокації. Найдено чисельні розв’язки задач про рівновагу стержней, які містять дислокації, та про дислокації у перерізі прямокутного стержня (брусу).
Отримано розв’язок задачі про рівновагу стержней, що містять дислокації. Визначено пластичні зони в прямокутному стержні з корозійностійкої хромистої сталі в різному структурному стані.
Список літератури
1. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. - М. : Машиностроение, 1988. -712 с.
2. Смирнов Б. И. Дислокационная структура и упрочнение металлов / Б. И. Смирнов - Л. : Наука, 1981. - 235 с.
3. Степанов Ю. О распределении плотности краевых дислокаций в металлическом образце при возникновенни стоячей волны / Ю. Степанов, В. Алехин // Металлы. -2000. - № 2. - С. 97-101.
4. Коттрелл А. Х. Теория дислокаций / А. Х. Котрелл ; пер. с англ. - М. : Мир, 1969. - 96 с.
5. Коттрелл А. Х. Дислокации и пластическое течение в кристаллах / А. Х. Котрелл ; пер. с англ. - М. : Метал-лургиздат, 1958. - 264 с.
6. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы математичес-
ISSN 1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №2, 2011
145
кой теории / Ильюшин А. А. - М. : Изд-во академии наук СССР, 1963. - 272 с.
7. Хирт Дж. П. Теория дислокаций / Дж. П. Хирт, И. Лоте ; 17.
пер. с нем. - М. : Атомиздат, 1972. - 599 с.
8. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах / 18.
Теодосиу К. - М. : Мир, 1985. - 352 с.
9. Фелтам И. Деформация и прочность материалов / Фел-там И. ; пер.с англ. - М. : Металлургия, 1968. - 250 с.
10. Бухвалов А. Б. Феноменологическое описание упрочне- 19.
ния железа при деформации / А. Б. Бухвалов, Н. Ф. Вильданова, Э. С. Горькунов // Физика металлов и металловедение. - 1999. - № 1. - С. 104-111.
11. Зубов Л. Теория дислокаций и дисклинаций в упругих
пластинах вращения / Л. Зубов, А. Столповский // 20.
Прикладная математика и механика. -2008. - Т 72. - вып. 6. -
С. 996-1013.
12. Губа А. В. Теория кручения призматических упругих тел, содержащих дислокации : дис. ... кандидата физ.-
мат. наук : 01.02.04 / Губа Александр Владимирович. - 21.
Ростов- на-Дону, 2008. - 105 с.
13. Смолин И. Ю. Моделирование деформации и разруше- 22.
ния материалов с явным и неявным учетом их структуры : дис...доктора физ.-мат. наук : 01.02.04 / Смолин
Игорь Юрьевич. - Томск, 2008. - 235 с.
14. Фихтенгольц Г. Курс дифференциального и интеграль- 23.
ного исчисления / Фихтенгольц Г. - М. : Наука, 1966. -
Т. ІІ. - 800 с.
15. Лурье А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. - М. : Наука, 1970. - 940 с.
16. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластических де-
формаций металлов / Н. Н. Малинин. - М. : Машиностроение, 1975. - 400 с.
Гуляев А. И. Металловедение / А. И. Гуляев. - М. : Металлургия, 1978. - 646 с.
Ольшанецький В. Ю. Імовірностні форми розподілу густини дислокацій в сталі / В. Ю. Ольшанецький, І. Ю. Нагорна // Фізико-хімічна механіка матеріалів. -2003. - № 5. - С. 96-100.
Ольшанецький В. Ю. Закон розподілу густини дислокацій у кристалічній структурі корозостійкої сталі / В. Ю. Ольшанецький, І. Ю. Нагорна // Вісник Черкаського державного технологічного університету. - 2002. -№ 3. - С. 104-106.
Кисилева И. Ю. О возможности экспериментального подтверждения распределения плотности дислокаций вейбулловского типа в ОЦК-металлах / И. Ю. Кисилева, В. Е. Ольшанецкий // Нові матеріали та технології в металургії та машинобудуванні. - 2007. - № 2. - С. 53-55. Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. - М.: Наука, 1969. - 420 с.
Нагорная И. Ю. Влияние анизотропии кристаллитов на штампуемость текстурированной стали / И. Ю. Нагорная, В. Е. Ольшанецкий //Вісник Запорізького державного університету. - 2001. - № 2. - С. 110-113. Нагорная И. Ю. Влияние анизотропии на штампуемость текстурированной коррозионностойкой стали / Нагорная И. Ю. // Вісник Черкаського Державного технологічного університету. - 2002. - № 2. - С. 105-109.
Одержано 20.06.2011
Ольшанецкий В.Е., Кисилева И.Ю. Вариационная задача кручения призматического бруса с учетом дислокационного влияния
Рассмотрена вариационная задача кручения упруго-пластического призматического бруса. Построен функционал дополнительной энергии, который учитывает распределение параметров дислокационной структуры. Для хромистой стали получены уравнения, которые определяют интенсивность напряжений и интенсивность деформаций. Построены зоны пластического влияния.
Ключевые слова: кручение, вариационное уравнение, метод Ритца, распределение плотности дислокаций.
Ol’shanetskiy V., Kysilova I. Variational problem of twisted prism considering dislocation influence
Variational problem of twisted prism considering dislocation influence has been examined. The complementary energy functional considering dislocation density distribution has been obtained. Equation determined tension and deformation intensity for the chromium steel has been obtained. Zones ofplastic influence has been constructed. Key words: torsion, variational equation, Ritz method, dislocation density distribution.
УДК 621.771.(0.75.8)
Д-р техн. наук В. А. Николаев, А. Г. Васильев, Д. А. Матюшенко Национальный технический университет, г. Запорожье
РАСЧЕТ ПРИРАЩЕНИЯ ТОЛЩИНЫ ПО ДЛИНЕ ПОЛОСЫ ПРИ ГОРЯЧЕЙ ПРОКАТКЕ
Разработана теоретическая модель расчета приращения толщины по длине полосы при горячей прокатке с учетом совместного влияния действующих технологических факторов.
Ключевые слова: горячая прокатка, прокатный стан, продольнаяразнотолщинность, полоса, задний конец полосы, утолщение.
© В. А. Николаев, А. Г. Васильев, Д. А. Матюшенко, 2011
146
