Задачи типа Дирихле и Гильберта для эллиптических систем второго и третьего порядка с сверхсингулярной точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928.2

ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ И ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

А.Б. Расулов

Московский энергетический институт, ул. Красноказарменная , 14, 111250, г. Москва, Россия, e-mail: rasulov- abduOrambler.ru

Аннотация. В статье для эллиптических систем второго и третьего порядка с внутренней сверхсингулярной точкой найдено интегральное представление решения и соответствующие формулы обращения. Полученные интегральные представления могут быть применены в исследовании асимптотического поведения решений при r = |z| —— 0, а также в исследовании граничных задач.

Ключевые слова: эллиптическая система, интегральные представления, сверхсингулярная точка, краевые задачи.

Введение

В области D = Do\{0} рассматриваются эллиптические системы второго и третьего порядка с сверхсингулярной точкой z=0 вида

d2U a(z) dU b(z) Ф)тт= /(-) m

грП у~.2п у~.2п у~.2п ’ ' '

d3U a(z) d2U b(z)dU c.(z)TT diz)- f(z)

„_о—I---;—^zio—I---o.—r¡T H-----o—U H----—U — —-—, (2)

(j Z iy*2/íb (j £ lytoTXi {y*oTl tj^oTh

где U(z) = Ui(x,y) + ÍÜ2(x,y),

a(z) = üi(x,y) + ia2(x,y) = егвa0(z), b(z) = b\(x,y) + ib2(x,y) = вг2вb0(z), c(z) = c\(x,y) + ic2(x,y) = вг3вco(z), d(z) = di(x,y) + id2(x,y),f(z) = f(x,y) + if2(x,y).

Система (1),(2) при n < 1 называется системой со слабой особенностью,при n =1 системой с сингулярной точкой, а при n > 1 системой c сверхсингулярной точкой Система уравнений (1) в случае регулярных коэффициентов, т.е. вслучае n = 0 ,была исследована А.В.Бицадзе[1]. А.П.Солдатовым рассмотрены более общие системы с регулярными коэффициентами [2] . Заметим, что исследование системы уравнений (1) в случае ее вырождения (n = 1),было предложено еще в 80-х годах А.В.Бицадзе, но из-за ряда трудностей этот вопрос до настоящего времени оставался открытым. Вопросы исследования бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизной с изолированной точкой уплощения приводят нас к исследованию системы первого порядка с сингулярной точкой:

au + ^u + b{¿yu=m

OZ г г г

Исследованию этой системы посвящено очень много работ, среди которых весомое значение имеют монографии Л.Г. Михайлова и Усманова З.Д. [3,4]. Последние результаты по исследованию системы(3) опубликованы в работах [5,6]. Актуалность выяснения

корректной постановки задач для системы уравнений (2) впервые указана А.В.Бицадзе. Отметим , что даже в случае регулярных коэффициентов не имеется ни одной работы, посвященной исследованию этой системы. Поэтому система (2) нами исследована в регу-лярном(п=0),сингулярном (п=1) и сверхсингулярном (п>1) случаях. В ряде случаев для систем (1) и(2) удается найти явные решения, которые позволяют легко изучить свойства решений в рассматриваемой области,а также легко применить их к решению краевых задач. Во всех случаях явно выделяется особая часть решений, позволяющая детально изучить поведение решений в окрестности сингулярной точки.

1 Задачи типа Дирихле и Римана-Гильберта для эллиптической системы второго порядка с сверхсингулярной точкой

Задача типа Дирихле.

Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2 (О) Р| С (О У Г и {0}) при следующих граничных условиях:

Re

dU

exp(-ua(z) + Wa(z)(— - <p(z)U)

gi(t), Re [exp(—W^(z)U]r = g2(t); (Di)

gk(t) G С(r);t G r.

Задача типа Римана-Гильберта.

Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса C2{D) такое, что

exp \-Wt(z)U} ,ехр [-«„(5) + И<’Д1М] № - е

dz

и удовлетворяющее на границе L условиям

Re

dU \ (z)

(ai(t) - ibi(t)) ехр(—cjA2(i) + WA2(i))(— - -^U(z))

az rn

gi(t),

Re[ai(t) - ibi(t)) exp(+W^t)U(t)]L = g2(t), (Gi)

где ak(t) — ibk(t), gk(t),k = 1, 2 заданные функции, удовлетворяющие условию Гельдера с показателем , причем ak(t) — ibk(t), k =1, 2; t G L.

Теорема 1 Пусть в системе (1) п > 1 , функции a(z), b(z), Е C^(D0),c.(z) = 0, корни характеристического уравнения являются различными и функции a(z) u b(z) между собой связаны при помощи формулы b(z) = —rnp(z)(a(z) + rnp(z)), где p(z) известная аналитическая функция. Кроме того, пусть

Reua(z) < 0;

exp [-сoa(z)] {х2 + y2)~nf{z) Е Lp(D0),p > 2

|a0(z) — a0(0)| < nrY, j > n — 1.

Тогда любое решение уравнения (1) из класса Cj^(D) представимо в виде

U(z) = exp {-Wv(z)\ <( Ф(с)---

П

1 Г Г exp [Wv(s) — Wa(s) + Ша(я)]

D

Г

L

X

фы - і

п

Б

где Шп

е‘у(°о(?)—°о(0))

ехр [-иа{і) + Wa.it)] /(¿)(Й

(.а + ІЇПі-я)

=

Б

¿я, ^^(г)

¿я}(4)

2а.р(0)

к = 1,2; Ф(л) и

(1 -п)гп-1

Ф(г)- произвольные аналитические функции комплексного переменного г.

Теорема 2 Пусть в системе (1) п > 1,а(г),Ь(г) удовлетворяют условиям теоремы

1,кроме В_еиа^) < 0 и пуст,ьКеиа(ї) > 0 uУz Є И произвольная аналитическая функция Ф(~) = 0. Тогда любое решение уравнения (1) из класса С|(_0) представимо в виде

и (г) = ехр [-W(p(z)} < Ф(г) -

1 Г Г ехр [-ша(Ь) + \УаЩ /(¿)гй

іЗ + гЦПі-я)

Б

¿Я

(5)

где Ф(г)- произвольные аналитические функции комплексного переменного г.

Теорема 3 Пусть в системе (1), удовлетворяют условиям теоремы 1 и Кеиа(г) = 0. Кроме того, пусть функция € С (И) и при г —> 0 ее поведение определяется из асимптотической формулы (/(г) = 0(г71), 71 > п.

Лемма Поведения решений (4) в окрестности начала координат определяется формулой

тт т/ \ у(з)-у(0) 2/30 „ /

]¥^) = а0е - + -------Е_о_(а(0))е

1п

-ів + е-ів шо(г),

2ао(0) 77,

где £’_^_(а(0)) = / е ^ ??гу^1Г1-Во(^)^, — обобщенная интегрально-показательная функ" я1+п

ция, а0,в0— постоянные, и0-ограниченная функция при г ^ 0.

Используя лемму доказано следующая теорема о единственности интегрального представления (4) в классе непрерывных функций.

Теорема 4 Пусть выполнены условий теоремы 1. Тогда однородное система (1) в классы С 2(Б) Р| С (Б и Г и 0) имеет только тривиальное решение.

Теорема 5 Пусть коэффициенты уравнения (1) и его правая часть удовлетворяют условиям теоремы 1 , тогда интегральное представление (4) обратимо. Соответствующие аналитические функции Ф(г)иФ(г) единственным образом внутри области Б находятся через значение 17(л) и Щ при помощи формул :

ф(г)

ш - ф)и

дх

~ Гил ( ^ ( м , 1 /7 ехр [-^«(0 + ^в(С)]/(С)лл

ехр [\Vaiz) - и)а^)] + - JJ ^ + ^2у* ^ ’

Б

(6)

Ф(~) = £/(;)ехр [ЖД~)] + -

п

ехР [^(С) - №а(() + иа(()]

Б

X

(С - г)(С2 + п2)

ехр [-Ша(і) + Wa(t)} /(І)¿І

X

Б

(С2 + п2)п(і - С)

¿С.

(7)

п

Теорема 6 Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда задача (Б) разрешима единственным образом и ее решение дается при помощи формулы (4), в которой аналитические функции Ф(г) и Ф(г) соответственно определяются формулами:

1Тг( ^ 1 [ ~ (^( + zd(

>вд = т] д1{°—С

!С|=1

км

где дк(£), к = 1, 2— известные функции.

Решение задачи типа Римана-Гильберта (С1) : Используя интегральные представления (4) и условия задачи (С1), а также формулы обращения (6) и (7)получим

Ке [(аі(і) - ¿Ьі(і))(г)]ь = Ке

ВИ \ (г)

(а,(і) - Мі)) ехр(—с^л2(і) + П л..{/)) ... - ~^и)ь

+

+ Ке

( (+\ -7 1 ^ЄХР[-СЛ2(С)+^Л2(С))]/(С)„

Ы0-М0)-}]-----------і(2 + ,т-о-----,к

Б

ді(і) +

+ (а1(^) — гЪ^Тв (—шм ,/)(^ = сц^);

Отсюда

Ке [(а^) — гЪ1 (^)Ф(г)] = д1 (*), С1 (*) е На(1). (С1)

Используя второе условие задачи (С1), а также решение задачи и формулу обращения (7), получаем

Ие [(а2(і) - г62(і))Ф(с)] = д2іі) + Ие { (а2(і) - іЬ2{і))~

п

Б

ехР[УУф(() - ^(0 + ^(0] (<-*)

X

X

Б

ехр[-иХ2(і) + \Ух2(і)]/(і)(ІІ (£2 + г/2)( С~і)

¿О = Ш, (О2)

(О2)

Ке [(а2(і) - гЬ2(і))Ф(г)} = д2(і), где ді(і) Є На(Ь). Пусть кк = І псі [ак(і) - /hi.il) ,к= 1,2.

Теорема 7 Пусть выполнены все условия теоремы 1 и кк = ІпЯ [ак(і) - іЬк(і)} ,к =

1, 2, кк > 0 где К\ > 0 являет,ся индексом задачи (С|), а к2 > 0 индексом задачи С2. Если кк > 0, то задача (О^) разрешима и ее решение содержит к1 + к2 + 2 > 0 произвольных постоянных. Если к1 > 0(к2 < -2)((к2 < -2)(к2 > 0)), то для разрешимости задачи (О11) необходимо и достаточно выполнение |кк > 0| - 2 ( |к1| - 2)) условий разрешимости. Замечание. Аналогичным образом иссследованы следующие задачи типа Дирихле

и Римана- Гильберта.

ь

Задачи тьпа Дирихле. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2 (Б) Р| С (Б У Г У 0) при следующих граничных условиях:

1т

Ке

ехр(—с^л2(~) + УУх2{;)).{^ - ^^-и) = 01 (¿),

1т [ехр(—ЖДг)П]ь = g2(t), дП Л (г)

ехр(-^л3(-) + ПлЛ:ПЛ - ~^и) = д^),

J Ь

1т [ехр(—Ш^(г)П]ь = g2(t),

Ке [ехр(+Ж^(г)) П(г)]ь = gl(t)

Ке [ехр(—^Л1 (г) + ШХ1 (г))П(г)]ь = gl(t),

Ке

/ / \ ,ди А1(г)ГГ.

ехр(а;Л2(л) + \¥х2(—-------------—и)

аг гп

д2^)-

Ке [ехр(—^Л1 (г) + Wлl(г))П(г))ь = gl(t),

Ке

/ / \ /ди Л1(г)Г7Ч

ехр(а;Л2(л) + \¥х2(—----------------—и)

аг гп

д2^)-

(Б2)

(Бз)

(Б4)

(Б)

Ь

ь

2 Задачи типа Дирихле для эллиптической системы третьего порядка с сверхсингулярной точкой.

Задачи типа Дирихле. Требуется найти решение системы уравнений (2) из класса С§(Б) при следующих граничных условиях

Ке

, , . тт, г \\ I д Л^г)\ (дП Л1(г)

ехр{-и)хз(л)+И/л3(^)) ( —и

gl(t),

Ке

ехр{-их^) +\¥Хз^)) и

g2(t),

Ке [ехр (-ШЛ1 (г) + Wлl (г)) П]ь = gз(t); Б6)

где дк(¿), к = 1, 3 непрерывные функции точек контура Нетрудно видеть, что задача (2) эквивалентна следующей задаче:

д Лз(г) \ ( д Л2(г) \ ( д Л1(г)

гп J yдz гп ) \ сЬ г где А(г) = г2п-1А1(г), В(г) = гп-1В1(г), причем

П

/М- [лм§ + в(;№>]

зп

А1(г)

-пегв2~1(2Х^) + А2(;) + г( 2^^ +

дЛ1(г) дЛ2(г)

В1(г)

|г|

п+1 д2 Л1(г)

- |с|Ппегв^^ + Цп~и2-2п(п + 2)ег2%(л)

дЛ1(г)

дz

п- 1 2

дz

+

ь

ь

+ |z|

dAi (z)

dz

dz

+ e Ai(z)(A2(z) — 2 A3(z))

(В1(г) = 0).

Введем следующие обозначения:

И'А,-А3(^) . ! ! ------------------------------*•

в

И'а,-а3(^) . I I -----------------------------------*.

в

^А.-А,М =1-[[ «фК-л.М-И'л.-а.М]^

П п Я — г

в

Будем предполагать, что в окрестности начала г = 0 координат выполняются условия:

|A°(z) — a°(0)| < Hj\z\1] > n — 1,1 < j < 3;

Re [(A°i(z) — a°2(0))] > 0;

Re [(a°(0) — a°(0)] > 0; exp [(—^(z)] r-3nf (z) G Lp(D),p > 2

(9)

(10)

(11)

(12)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 8 Пусть в уравнении (2) коэффициенты cio(z).bo(z),c.o(z) G C2(D0) и ограничены в D,n > 1 ,cl(z) = 0, а корни характеристического уравнения Ai(z), /\2(z), Аз(-) различны и удовлетворяют условиям (9),причем Aj(z), 1 < j < 3 таковы, что имеют мест,о равенства Ai(z) = 0, £>i(z) = OVc G D). Пусть, кроме того, выполнены условия (9)-(12). Тогда любое решение уравнения (2) из класса C3(D) представимо в виде

U(z) = exp [сJx^z) - WXl(z)] <( Ф3(с) - ^ JJexp [cjAi—а2(0 - WXl-\2(s)] ^3-7 ds+

D

н [[exP [^л3(0 — ^х2(я) + ^х2(я) — Wa3(0]—"—--------------------"—:L^$i(s)d$—

ПJJ Я — z

D

1 Г Г exp [^3^) ~^A3(*)] ГГП 77 Ml f/,U,

3n —Л2Лз (~) F\x— л2,л3 (t)\ f (t)dt

D

где обозначено:

F\1-x2,x^(z)

(t — z)|t\3

D

(я — z)

exp [^Лз (я) — Ш\2 (я) + WA2 (z)] dq,

(13)

а Фj(z)(j = 1, 2, 3)— произвольные аналитические функции комплексного переменного z.

Теорема 9 Пусть в системе (2) п > 1 и коэффициенты уравнения а(г), Ь(г), с(г), ¿(г) и его правая часть /(г) удовлетворяют всем условиям теоремы 9. Тогда интегральное представление (13) обратимо. Соответствующие аналитические функции = 1,3

находятся однозначно в облает,и через значения при помощи формул

лч ^ Г і \ ттл і м / д ^2(г)\ ( д Л1(г)

Ф3(~) - ехр [-^лз(л) + И^Лз(-)] (

и+

1

+-

п

ехр [-^Лз (І1) + Жлз (І1)} /(11)¿І 1

(І1- г)|І1|

2п

Ф2(г) = ехр [-^(г) + '^л2 (г)}

ш _ ши

дс гп

1

п

ехр [УУл2(0 -^л3(С)]

(С - :)

х

+

)(т~~)иас

\дя рп) \дя рп)

ФіО) = ехр [-с^ЛіО) + И'лі(^)]

1 [ [ ехр [-С^Лі(С) + Маі(()] /| ^

К ] ] С ~ V д( рп '

(14)

15)

(16)

Теорема 10 Пусть выполнены все условия теоремы 8 и условия задачи . Тогда задача (Б6) всегда разрешима и ее решение содержит три произвольные постоянные, которое даются формулой (13).

Литература

1. А. В. Бицадзе. Некоторые классы уравнений в частных производных. М "Наука 1981; -448 с.

2. А.П. Солдатов. Эллиптические системы второго порядка в полуплоскости. Изв. РАН т.70,№6,2006.с.161-192.

3. Л.Г. Михайлов. Новый класс особых интегральных уравнений и его приминение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. Изд. АН Тадж. ССР,1963.

4. З.Д. Усманов. Обобщенные системы Коши-Римана с снгулярной точкой. Душан-бе.Изд. АН Тадж. ССР,1993.

5. З.Д. Усманов. Связь многообразий решений обобщенных систем Коши- Римана. Математические заметки.1999г.№5.с301-307.

6. З.Д. Усманов, А.Л. Гончаров, С.Б. Климентов. Аналог теоремы Лиувилля для одного класса систем типа Коши-Римана с сингулярными коэффициентами. Владикавказский математический журнал,2005,вып.4.с.4-16.

THE DIRICHLET AND HILBERT TYPE PROBLEMS FOR SECOND AND THIRD ORDER LINEAR ELLIPTIC SYSTEMS WITH INTERIOR SUPERSINGULAR POINT A.B. Rasulov

Moscow Energy Institute,

Krasnokazarmennaya str., 14, Moscow, 111250, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. This paper is devoted to the integral representations and its inversions formulas for second and third order linear elliptic systems with interior supersingular point. The obtained integral representations can be applied to examination of an asymptotical solution behavior for r = |z| ^ 0 and solution boundary value problems.

Keywords: elliptic systems, integral representations, supersingular point, boundary value problems.