CC BY
38
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №1
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Академик АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабов, С.М.Мухсинова ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИХ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ В ПОЛУПЛОСКОСТИ
Пусть £+ верхняя полуплоскость, т.е. 5,+ = (3с,х):^>0, -оо<д-<+со . В области
£+ рассмотрим линейную эллиптическую систему третьего порядка с сингулярной линией вида
д3и1 д2и2 д3и1 | д3и2 |
дх
дх ду дхду ду
1
+ — У
, _ д2щ д2и,. . ,,д2и, _ д2и, д2щ.
а2 (х,у)(-і - 2 —^ - -І) + а, (х,у)(—± + 2 —- —+) дх дхду ду дх дхду ду
_1_
7
,ди, ди
дип ди.
дх ду
дх ду
(10)
\ (х, у)и2 (х, у) - с2 (х, у)щ (х, у) 3
У
їі(х,У)
У
дъип „ д3и, „ дъип
—^ + 3—г^-З- 2
дх
дх2ду ду2дх ду3
1
+ — У
. ^,д2и0 „ д2и, . ^,д2и, , 52г/, д2и,.
а2 (х, у)(—^ + 2----------!-------^) -а (х, у)(—^ - 2----------г--^)
г \ 7 у у \ ^ 2 л л. л 2 у л. л.
дх дхду ду дх дхду ду
-Д.
у _ дх ду дх ду
+ \сг (х, у)щ (х, у) =
У У
где ик{х,у), к = 1,2 - неизвестные функции, ак(х,у),Ьк(х,у),ск(х,у),/к(х,у), к -1,2 известные действительно значные функции переменных х,у в полуплоскости Л'1.
Вводя в рассмотрение комплексно-значную функцию и(г) = их{х,у) + т2(х,у) и обозначая а(г,г) = а1(х,у) + га2(х,у), Ь(г, г) = Ь] (х, у) + 1Ьг (х, у),
— — д 1 д д с(г,г) = с1(х,у) + к2(х,у), Дг,г) =/1(х,у) + 1/2(х,у), а также — = -(— + /—), систему
2 дх ду
дг
уравнений (10) можно записать в виде
т д3и а(г,г) д2и Ыг.г) ди с(г,г) Т(г,г) Ьм = —- + _ —-+ _ —= + _ и = —
-3
дх
г —г £)22 (г —г)2 дг (г —г)3 (г —г)3
Для компактного изложения в дальнейшим будем рассматривать систему (1°) в ее комплексно-значной форме (1).
Исследованию обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной линией в конечных областях, ограниченных гладким замкнутым контуром и содержащих начало
5
координат, а также на бесконечных, содержащих бесконечно-удаленную точку, но не включающую в себя начало координат, посвящен ряд работ [1]. Более подробную информацию можно найти в монографиях [2-5]. В настоящем сообщении найдено интегральное представление, а также его формула обращения в случае, когда рассматриваемая область является полуплоскостью.
В дальнейшем через Л. (г), / = 1,2,3 обозначим корни алгебраического уравнения следующего вида
Л3 (г) + а(г)Л2 (г) + Ь(г)Л(г) + с(г) = 0, (2)
которое также назовем характеристическим уравнением соответствующей системы (1).
Корни характеристического уравнения (2) и коэффициенты системы (1) связаны при помощи формулы Виета.
Тогда системы уравнений (1) можно представить в виде
д Аз (г) д Л2(г) д Л1(г)^
— — СЇМ
/0,2) - (г - г) А, (г) -=~В1 (г)и дг
(г - г)3
(3)
где
А 00 = (2~ *)(2^ + ^=~) + 2Л1(г) + Л2(г)
ог дг
д2Л1
дЛ1
дЯ,
А 00 = (2 - 2) —=т+(2 ~ 2)-т=- (2 + К (2) + Л (2)) + (2~ 2)К 00 -т=- +
д2 с>2
+ 400(2 + 2/12 (г) + Ад (г))
дг
(4)
Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть в системе уравнений (1) коэффициенты а(г), Ь(г), с(г) е С22(Н+)
и такие, что корни характеристического уравнения различные и удовлетворяют следующим условиям
А(2) = АО) = о
Л ,(г, г)- А Аг, г)
<Н.
2~ 2
Л, (г, г) - Л А г, г)
<Н
, у і > 0? пРи У ^0 У = 153 £■>1, при Ы —>сО
ЫеА^г) > > КеАз(г)>0 при у ^ 0
1
Л А г) - 0(-), £• >!,_/' = 1,3, у ^ 0 при \г\
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
и правая часть /(г, г) такова, что выполняется условие
ехр |з (г) 1п
_ _
2 — 2 2 — 2
Дг,г)е1л2(Я+), р> 2 Кроме того, Л (г, г), / -1,2 является аналитической функцией.
Тогда общее решение системы уравнений (1) из класса С3 (Б+) представимо в виде
(10)
1
*
2
3
и (г, г) =
г—г
ехр
-»я &
фі(г)— Я
1 тг
ехр
^-я2(^
71
ї\~2
і7,,,,
я1(С1,С1)-А3(С1,С)
®2 (С\ )АС\
ехр
хФ^Щ-
-- Я
п
$л
і-і
І-І Я^ (ґ,ґ) Г -|
-3 ехр і-і 1 1 х/(ї,ґ)£Й
(11)
где
Шр(2) = — \[
7Т Зі
р = Лх\Лх-Л2,Л2-Лъ,Лъ
Л(С.С)
ехр
«—Ял :і
1 ГГ^(0-^(Ю
я2(Сі)-я3(Сі)
ґ = г,£;
ЄХРК-^1)^1 >
Фу(г), / -1,2,3- произвольные аналитические функции комплексного переменного г, причем при [г]—»оо, функции Фк(г), к = 2,3 обращаются в нуль и их поведение определяется из следующих формул Фк (г) = 0(г“2), где г - \г\ —» оо Теперь решаем следующую задачу:
Пусть внутри области Л' известны значения функции и(г,г) и ее производных
ди С")
—= и _ 2 . Требуется найти произвольные аналитические функции Ф; (г) 1-7-3 в дг дг
области Л'1 через значение функции и(г,г) и ее производных
д и — к
ді
£ = 1,2.
Используя интегральное представление (11) для нахождения Фъ(г), Ф2(^) , получим следующую формулу
, д /^(г) д ^(г)
Ф30) =
+
1,,^
г-г
Гтт7 / А2\2)\1'С ЛЛ2Л
ехр р^(г) (-=-^Ц)(-=--------^)и-
-|ог г-г <5 г г-г
л-
ехр[^(0]/(С0л, ^ , ч а, Л,
\ ------55 Го,о«Ю,т= —)
(С-С) (С-Ю ^ Зг
(12)
ф20)=к-*
Л2(г,г)
ехр (г)] (^--^2- и)
дг г-г
— Ъ(С,С) г -I
ехр^іС)] д л2(£).,д \(0
(т- - = й (»(2), ^, ■Чт)
(13)
-г «■-*) ' ......дг'Вг‘
Подставляя значение Фк(г), к = 2,3 из формул (12) и (13) в (11), для нахождения
Ф, (г) получим формулу
I —|Л(2’2) г “і — 1 г гр ^
Фі (г) = |г - г| ехр [ЖЛ (г)] м(г, г) + - ] ^-
о+
ехр[ГЛ_^(0] ^ ди д2иЛЛ ,
—--- ------------хГао(й,Г,—Я +
(С-Ю дд
1 г^(£)-^(г)
ЛОй.йЭ-ЛОй.'й) Г -І з й/ д2и
ехр (£ )] х Г0 (и(£ ),-=, —їЖг +
1 ^Я1 -Л, ^“^3 д _ з (2) ^ ^
+- Я---------— — -------1 2 "---х------ —-— ехр
£
+
і—г
і-і
wя(t)
г, _ч 7 гг.1 Ґ ди д2и.
х /(і, і)сіі = Т00 (и, —=, —)
Таким образом доказана следующая
Теорема 2. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1) удовлетворяет условиям теоремы (1). Тогда интегральное представление (11) системы уравнений (1) об-
дки —
ратимо. Если внутри области Я+известны значения _ к , к = 0,2, то произвольные ана-
дг
литические функции ФА. (г), к = 1,3 через их значения находятся единственным образом согласно формулам (12), (13), (14), т.е. Фк(г) = Т^0(и(г),-
- — 8,1 д''“7) * = 1,2,3.
5г2
Замечание 1. Найдены интегральные представления и их формула обращения в случае, когда корни характеристического уравнения различные, но Ах(г) Ф 0, Вг(г) Ф 0.
Замечание 2. Аналогичные интегральные представления и их формула обращения получены в случае, когда корни характеристического уравнения кратные, т.е. когда Л1(г) = Л2(г) = Л3(г) = Л(г).
Замечание 3. Полученные интегральные представления и их формула обращения можно использовать для решения задач типа Дирихле и Римана-Гильберта на полуплоскости.
Таджикский государственный Поступило 22.04.2004 г.
национальный университет
Худжандский государственный университет
ЛИТЕРАТУРА
1. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. ч.2, Душанбе, 1981, 170 с.
2. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверх сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1992, 236 с.
3. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд-во АН ТаджССР. 1963 г.
4. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Душанбе. 1993, 245 с.
5. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. 2-е изд. Москва: Наука, 1988, 512 с.
6. Расулов А.Б. Мухсинова С.М. - Мат-лы Междунар. научн. конф. «Актуальные проблемы математики и ее приложения», посвященной 10-летию ТГУ права, бизнеса и политики. Худжанд, 29-31 мая, 2003, с.127-129.
7. Мухсинова С.М. - Тр. Междунар. научн. конф. по дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. (Душанбе, 25 - 28 октября 2003 г.), с.110.
Н.Р.Рачабов, С.М.Мухсинова ТАСВИРИ ИНТЕГРАЛЙ ВА ФОРМУЛАИ БАРГАРДОНИ БАРОИ СИСТЕМАИ ХАТТИИ ЭЛЛИПТИКИИ ТАРТИБИ СЕЮМИ ХАТИ СИНГУЛЯРЙ ДОШТА ДАР НИМ^АМВОРЙ
Дар мак;ола барои системаи хатии эллиптикии тартиби сеюми хати сингулярй дошта дар нимхдмвории боло тасвири интегралй ва формулаи баргардонидани он ёфта шудааст.
N.R. Rajabov, S.M. Muhsinova INTEGRAL REPRESENTATIONS AND ITS REVERSE FORMULA FOR THE THIRD ORDER LINEAR ELLIPTIC SYSTEM WITH SINGULAR LINES IN
HALF PLANE
In this work for the system (1), when the roots of the characteristic equation (2) is different, representation manifold solution will be obtained. General solution depend from three arbitrary analytic function complex variables z.
