CC BY
26
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №5_
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 9
Х.Р.Шукуров
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ И ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ КОШИ-ДИРИХЛЕ И ГУРСА ДЛЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабовым 16.02.2015 г.)
В работе для одной нелинейной системы уравнений первого порядка с частными производными найдено представление общего решения и исследованы задачи типа задачи Коши-Дирихле и Гурса.
Ключевые слова: общее решение - сингулярные коэффициенты - регулярное решение - задача Коши-Дирихле - задача Гурса.
В теории нелинейных уравнений с частными производными одним из центральных вопросов является изучение влияния характера нелинейности на разрешимость классических задач для рассматриваемых систем уравнений. При этом особый интерес представляют собой системы уравнений и задачи, не удовлетворяющие известным стандартным условиям существования и единственности решения. К ним, в частности, относятся вырождающиеся системы уравнений или системы уравнений с сингулярными (особыми) коэффициентами. Поскольку корректная постановка задач для таких систем уравнений связана с принципиальными трудностями, поэтому большое значение приобретает вопрос нахождения многообразия точных решений и исследования на их основе корректных задач [1-3].
В настоящей работе на полуплоскости у > 0 рассматривается система
а Ь
мих + им у = —им,ми + им х =—диу, (1)
у у у у3
где а Ф 0, Ь Ф 0, а > 0, /3 > 0 - заданные вещественные числа.
Для выбранного решения и = (и ,у) характеристический определитель системы имеет следующий вид:
е (л, л )=им (л).
Результатом системы (1) являются следующие уравнения
Vx +Vy =
( a b Л ( a b Л
V
ya+'/)
P, V ~Vy =
V
V, (2)
Адрес для корреспонденции: Шукуров Хаидбой Расулович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
и , ч
где р = иу, щ =—. Если считать р и у известными, то решение (и,у) системы (1) определяется
по формулам
u = ±^—Щ, v = + — W
(3)
Пусть а = 1, Р = 1 . Общее решение уравнений (2) представимо в виде
р = уъ+аФ1 х - у) ,щ = у6_вФ2 (X + у ),
(4)
где ф и ф - произвольные непрерывно дифференцируемые в Я функции одного знака. Из равенств (3) определим и и у:
u = ± 1
±/^Ф, (х -у)Ф2 (х + у),
v = ± уа
V
Ф1 ( х - у )
(5)
Ф 2 ( х + У )
Очевидно, что поведение решения (5) при у ^ 0 зависит от знака параметров а и Ъ . Когда а Ф 1,Р Ф1, общее решение уравнений (2) имеет следующий вид:
а+Ъу 1-
a-b i У
— = e1 Ф:(х - у), цг = e 1 Ф2(х + у),
(6)
где ф и ф - произвольные непрерывно дифференцируемые функции одного знака. Из равенств (3) определим и и у :
u = ±el-ß
?
>/Ф, (х - у )Ф2 (х + у ),
•--и„1-а
v = ± e1
У
Ф1 (х - у)
(7)
Ф2 (х + у)
Следовательно, система (1) имеет два семейства решений: а) положительные решения; б) отрицательные решения.
Пусть у ^ 0 . Если 0 <«< 1,0 <ß< 1, то lim u = Л/Ф, (х )Ф (х) ,limv = f1 (х) ' V 1W П ' "УФ(х)
. Если
а> 1, Р> 1, то 1) и ^ 0, у ^ 0 при а < 0, Ъ < 0, 2) и ^ +да,у при а > 0, Ъ > 0.
Для системы (1) рассмотрим следующие задачи:
Задача 1 (Коши-Дирихле). Пусть 0<а< 1, 0< Р< 1. Найти регулярное в полуплоскости у > 0 положительное решение (и,у) системы (1), удовлетворяющее условиям
<
b
<
< .о = / (х ) ,М„ .о = 8 (х ). (8)
где / и 8 - заданные в Я непрерывно дифференцируемые положительные функции.
Теорема 1. Единственное решение задачи 1 даётся формулами
J^yl-ß
u = el-ß
У
f (х - y) f (x + y) g (x - y) v = « f (x - y) g (x - y) g (x + y) . (9)
g (x+y) ' \ f (x + y)
Доказательство. В силу условий (8) и представления решений (7) имеем
7Ф1 ( x )Ф 2 ( x ) = f ( x ) ,
V
—1 ( I = g (x) . Из этих равенств определим ф(x) и —2 (x):
Ф2 (x)
f ( x )
—i (x) = f (x) g (x)' —2 (x) = ^) . Следовательно, —i (x - y) = ±f (x - y) g (x - y),
t \ f (x + y) /ч/ч
— (x + y) = ±—j-^. Подставляя найденные выражения для — (x - y) и — (x + y) в пред-
g ( x + y)
ставление решений (7), получим формулу (9). Единственность следует от способа построения решения. Теорема доказана.
Задача 2. Пусть а = 1, ß = 1 . Найти в полуплоскости y > 0 регулярное положительное решение (u,v) системы (1), удовлетворяющее условиям
u
lim y-b-auv = f (x), lim y b+a - = g (x),
у 0 4 ' y^-0 v
где f и g - заданные в R непрерывно дифференцируемые положительные функции.
Теорема 2. Единственное решение задачи 2 даётся формулами
u = ybJf (x - y) g (x + y), v = y
1
f (x - y)
g (x + y) '
Задача 3. Пусть а = 1, ß = 1 . Найти в полуплоскости y > 0 регулярное положительное решение системы (1), удовлетворяющее условиям
lim y bu=f (x), lim y av=g (x),
где f и g - заданные в R непрерывно дифференцируемые положительные функции. Теорема 3. Единственное решение задачи 2 даётся формулами
u = b\f (x - y) f (x + y) g (x - y) v = q\f (x - y)g (x - y)g (x+y)
g (x + y) ' V f (x + y)
Задача 4. Пусть а > 1, Р > 1. Найти в полуплоскости у > 0 регулярное положительное решение (и, у) системы (1), удовлетворяющее условиям
lim e 1-ß u = f (х), lim e 1-« v = g (х),
0 у ^ 0
где f и g - заданные в R непрерывно дифференцируемые положительные функции.
Теорема 4. Единственное решение задачи 4 даётся формулами
u = e1-ß
V
f (х - у) f (х + у) g (х - у)
g (х + у)
v = e1-«
f (х - у) g (х - у) g (х + у )
f ( х+ у )
Задача 5. (Задача Гурса). Пусть 0<а< 1,0<Р< 1. Требуется определить регулярное внутри характеристического угла у — X = 0, у + X = 0, у > 0 положительное решение (и,у) системы (1), удовлетворяющее условиям
= f (х) ,у1 у=—X = 8 (х) '
u
у=х
где f и 8 - заданные в Я непрерывно дифференцируемые положительные функции.
Теорема 5. Единственное решение задачи 5 даётся формулами
1
u = —— exp g (0) P
f
-,у
1-ß
b f х + у
1 -ß 1 -ß^ 2
i -ß
a f у - х
v
= f(0)exp
a
1-«
1 -«
у +
b f х + у
1 -ß^ 2
i -ß
1 2
a f у - х
1 2
f I g I ^
х + у
gi^ I/ f
Задача 6. Пусть а = 1, Р = 1. Требуется определить регулярное внутри характеристического угла у + X = 0, у — X = 0 положительное решение (и, у) системы (1), удовлетворяющее условиям
[у-*и] = f (X), [у'у] = 8 (X) ,
I- -1 у= — X -1 y=X
где f и 8 - заданные в Я непрерывно дифференцируемые положительные функции.
Теорема 6. Единственное решение задачи 6 даётся формулами
u
- g (0) уЧ\х-у I/g f ^ I, v = ^ уа/ |
1 m
х-у Wfх+у
2
2
Задача 7. Пусть а > 1, Р > 1. Требуется определить регулярное внутри характеристического угла у — X = 0, у + X = 0, у > 0 положительное решение (и,у) системы (1), удовлетворяющее усло-
виям
1-«
ау
b
1-ß
eß-1 u
= f (x ),
^y1-a
ea-1 v
= g (x),
y=x
где / и 8 - заданные в Я непрерывно дифференцируемые положительные функции.
Теорема 7. Единственное решение задачи 7 даётся формулами
u ■
b „1-ß ,
J x - y
= g (0) el~ßJ f \/ g [^ I ,v =
1
?1-a
y ^ [ x - y \ [ x + y
f
2
g
2 / / (0)
Задача 8. Пусть а > 1, 3 > 1. Требуется определить регулярное внутри характеристического угла у — х = 0, у + х = 0, у > 0 решение (и,у) системы (1), удовлетворяющее условиям
exp
ß-1 а-1
Л
uv
У
= f (x)
y=-x
exp
-y
1-ß.
а
ß-1 а-1
y
1-а
=g(x)
y=x
где / и 8 - заданные в Я непрерывно дифференцируемые положительные функции.
Теорема 8. Единственное решение задачи 8 даётся формулами
—S-ß I-
u=e4f (x - y)g(x+y)' v=e
^y1-a
v = p1-a
i
f (x - y)
g (x + y)
Аналогично исследуется на полуплоскости у > 0 система уравнений
а , \т Ь п 2—п а / \т Ь п 2—п
уи + иу „ =—(иу)--- и у , уи„ + иуг =—(иу) Н—- и у ,
х у уа у3 'у х уа у3
где т Ф1,п Ф1, а> 0, 3 >0 - заданные вещественные числа.
Поступило 18.02.2015 г.
b
ЛИТЕРАТУРА
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981, 448 с.
2. Янушаускас А. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. - Вильнюс: Мокслас, 1990, 180 с.
3. Раджабов Н. Введение в теории дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. - Душанбе: ТНУ, 1992, 236 с.
^.Р.Шукуров
ТАСВИРИ ^АЛ^О ВА МАСЪАЛА^ОИ НАВЪИ КОШИЮ ДИРИХЛЕ ВА ГУРСА БАРОИ ЯК СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ГАЙРИХАТТЙ БО КОЭФФИТСИЕНТ^ОИ СИНГУЛЯРЙ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола х,алли умумии як системаи гайрихаттии тартиби якум бо коэффитсиентх,ои сингулярй ёфта шуда, масъала^ои навъи масъалаи Кошию Дирихле ва Гурса х,ал карда шуда-анд.
Калима^ои калиди: уалли умуми - коэффитсиентуои сингулярй - масъалаи Кошию Дирихле -уалли регуляри - масъалаи Гурса.
H.R.Shukurov
REPRESENTATION OF SOLUTIONS AND PROBLEMS SUCH AS THE CAUCHY DIRICHLET AND GOURSAT PROBLEMS FOR ONE A NONLINEAR SYSTEM
WITH SINGULAR COEFFICIENTS
Tajik National University The article deals with one nonlinear system of equations of the first order and investigation of it problems such as the of Cauchy Dirichlet and Goursat problem.
Key words: general solution - the singular coefficients - regular solution - Cauchy Dirichlet problem -problem of Goursat.
