CC BY
38
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №1_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
Д.Х.Сафаров
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым10.09.2014 г.)
В работе найдены необходимые и достаточные условия разрешимости задача Дирихле для одного класса эллиптических систем уравнений первого порядка в ограниченной области комплексной плоскости.
Ключевые слова: необходимые и достаточные условия - разрешимость задачи Дирихле - сопряжённая система - эллиптическая система - сильно эллиптическая система.
1. Эллиптические системы уравнений первого порядка в ограниченных областях комплексной плоскости и в полуплоскости достаточно широко изучены в работах И.Н.Векуа, Л.Берса, А.Джураева, Л.Г.Михайлова, З.Д.Усманова, В.С.Виноградова, Э.М.Мухаммадиева, С.Байзаева, их учеников и последователей. Однако общие системы вида
дм дw —
а( г) -=■ + Ь( г) + с( г) — + й (г) — + а0( г)^ + Ь0( = / ( г) (1)
дг дг дг дг
относительно комплексной функции w(г) = щ (л, у) + 1и2 (л, у), г = х + ¡у с заданными комплексно-
значными коэффициентами мало изучены, за исключением работы А.Джураева [1], где установлена эквивалентность характеристического сингулярного интегрального уравнения по ограниченной области на плоскости с общей задачей линейного сопряжения для уравнения (1) без младших членов.
Любая линейная система двух вещественных уравнений первого порядка относительно двух вещественных функций может быть записана в комплексном виде (1).
Пусть О - многосвязная область в комплексной плоскости С, ограниченная конечным числом замкнутых, непересекающихся гладких кривых Г^, к = 0,1, • • •, /7?, из которых Г0 ограничивает остальные и пусть а(г), Ь(г), с(г),. й(г),. а0 (г), Ь0(г), /(г) - комплексные функции, заданные в
__т _
О , достаточно гладкие ъ О = 0 + Т, Г = и Гд.. Предположим, что уравнение (1) эллиптично в С ,
к=0
это означает, что его основные коэффициенты удовлетворяют условиям (см. [1]):
а) | А(г) | >| а(г) | +1 Дг) | , а(г) | + | Дг) | >| В(г) | , г е О,
А =| а | 2 -| Ь |2, В =| й |2-| с |2;
Адрес для корреспонденции: Сафаров Джума Холович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail:[email protected]
или
Ь) | В( г) | >| а( г)\ + \0( z)| , \а( г)\ + \0( г)\ >\Л( г)\, г е Ог а = ас — Ьё, ^ = аё — Ьс. Задача Дирихле. Найти в G решение г) эллиптической системы уравнений первого порядка (1), непрерывное в G и удовлетворяющее условию:
м?(С) = /(С), СеТ, (2)
где /(С) - заданная непрерывная на Т функция.
Очевидно, эта задача переопределена, так что она не может быть решена для произвольно заданных а(г), Ь(г), с(г), ё(г), а (г), Ь(г), /(г),/($) . Поэтому сначала рассмотрим эту задачу для неоднородного уравнения Коши-Римана
£ = / (г) (3)
д г
или для неоднородного антиуравнения Коши-Римана
£ = /(Ю. (4)
дг
Лемма 1. Задача (3), (2) разрешима тогда и только тогда, когда для любой функции ((г), голоморфной в G и непрерывной в G, выполняется равенство
I — \ту(С)ф)ёС = 0 (5)
и её единственное решение даётся по формуле
Мг)г ЖШёС (6)
2жг С — г 2ю1о С — г
Задача (4), (2) разрешима тогда и только тогда, когда для любой функции \у(г), голоморфной в G и непрерывной в G, выполняется равенство
I / (+ \г /(СЖСЖ = 0 (7)
и его единственное решение даётся по формуле
^=±. г/СЖ—^ г (8)
2ж1 ^ С — г 2ж1 ^ С — г
Доказательство. Необходимость (5), (7) следует из тождества Грина. Достаточность условия (5) для дифференцируемой /(г) может быть доказана следующим образом: пусть w(г) будет решением задачи Дирихле (2) для неоднородного уравнения Лапласа (ср. [3])
д2 н _ д[_ дгдг дг
в О . Из этого уравнения следует, что функция р(г) = дН — f (г) является антиголоморфной в О ,
д г
так что применение тождества Грина с учётом (5) даёт
|о | р |2 йхйу = |=-— /(г) ) Р( г)йхйУ =
= г)(( г)]йхйУ—/(г)р( г)йхйУ =
JG дг •'0
= ^ ЫСШЖ -1 /(г)р(г)йхйу = 0 2т *Г
то есть р(г) = 0 и w(г) удовлетворяет (3).
Если / (г) не дифференцируема, тогда, используя представление
1 г / (СЖйЛ
н(г) = Ро( г)--[
77" ■><
£— г
следующее из (3) с произвольной функцией р0 (г), голоморфной в О , мы увидим, что н(г) удовлетворяет (2), если выполняется (5). Аналогичная процедура доказывает достаточность (7).
Теорема 1. Задача (1), (2) в случае выполнения неравенств а) разрешима, если для любой
функции р(г), голоморфной в О и непрерывной в О, выполняется равенство
\ар(г)(7)ГгАйг — {^(ОрТ^ = 0 , (9)
где р(г) - решение следующего однозначно разрешимого интегрального уравнения:
а( г)р( г) + Ь( г)р( г) + с(г)8р + й (г)8р + а0 (г)Тр + Ь0 (г)Тр = /0 (г) (10)
и в случае выполнения неравенств б) эта задача разрешима, если для любой функции \у(г), голоморфной в О и непрерывной в О, выполняется равенство
\оу( гМТ)й~гАйг + \гу(СМ£Ж = 0, (11)
где у(г) - решение следующего однозначно разрешимого интегрального уравнения:
где
ё (г)у( г) + с( г)у(г) + Ь( г)8у + а( г)8у + Ь0 (г)Ту +аоТу = ^ (г), (12)
1 г (о(С)ё^ё^ 1 г (о(С)ё^ё^
С — г ж ГG (С — г)2
Л (г) = Л(г) — с( ^ 'т / — ё (^ 'т/ — ао (— Ьо (г)5т/
8о(г) = Л(г) — Ь(^'т / — а(г)(^'Т / — Ьо(г)5тУ — ао(z)SтУ,
Г/ЮК, 5 Л_ [ГЩ.
Т 2ж1 [Т С — г 2ж1 [Т (С — г)2
Доказательство. Если выполняются неравенства а), тогда мы ставим и решаем задачу Дирихле (2) для неоднородного уравнения Коши-Римана
д№
-= = Р( г ),
д г
чтобы получить согласно леммы 1 единственное представление функции w(г) через р и / по формуле
w( г) = Тр + / (12')
при выполнении условия (9). Подставляя (12') в (1), мы получаем уравнение (10), которое однозначно разрешимо при выполнении неравенств а) (см. [1]).
Если выполняются неравенства б), тогда мы ставим и решаем задачу Дирихле (2) для неоднородного антиуравнения Коши-Римана
д^
= у(г),
дг
чтобы получить в соответствие с леммой 1 единственное представление w(г) через у(г) и /(С)
„( г) = ¡/ГШ —1¿ШШ, (,3)
2пг*Т С —2 ж G С — г
при выполнении условия (11). Подставляя (13) в (1), мы получаем интегральное уравнение (12), которое является однозначно разрешимым, если выполняются неравенства б) (см. [1]).
2. Пусть Л = (Ла (г)) - квадратная матрица порядка п с достаточно гладкими элементами. Рассмотрим задачу Дирихле для системы уравнений первого порядка
^ + Л( = ¥ (г) (14)
д г
относительно комплексной вектор-функции w(х) = ^ (х), w2 (х), • • •, (х)).
Задача Дирихле: найти непрерывное в О решение системы уравнений (14), удовлетворяющее условию
м(С) =Т(С),С^Т, (15)
где ¥ (х) = ((х), /2 (х),-, (х)) - заданная гладкая вектор-функция в О и Г(<^) = (^(СХ ''Уп(СУ) - заданная непрерывная на Г вектор-функция.
Теорема 2. Задача Дирихле (14)-(15) разрешима тогда и только тогда, когда (вплоть до конечного числа дополнительных условий) для любого непрерывного вплоть до границы Г решения (р(х) = (р(х),р2(х),--,рп (х)) однородной сопряжённой системы, соответствующей (14)
А '(х)р = 0, (16)
д х
выполняется следующее равенство
\ < ¥(х),р(х) > дхйу-1 \ < Г(С),р(С) > ^ = 0, (17)
1
где
<¥,р>= 2Л(х)р(х), < Г(С)МС) >= 2ук(СР(С),
к=1 к=1
А' (х) - сопряжённо-транспонированная матрица матрицы А.
Доказательство. Если задача (14), (15) разрешима, тогда посредством тождества Грина для любого решения р уравнения (16) мы получаем
{<¥(х),р(х) > дхйу = + А(х^,р(х) > дхйу = 2((х)$хйу +
О О дх к=1 О дх
--П ^ __П с)ф
< ^х) А (хр(х) > йМу = 2 {—К(х)((х)]фф - 21^(х) -рЖёу +
О к=1 О дх к=1 О дх
1 ^ Г Г / Ч др
< w(х), А (х)р(х) > дхйу = — 2]>к (С)Рк (СЖ -1 < w(х),др- А (х)р(х) > дхйу =
О 2 к=1 г О д х
1 \<Г(СШС) Ж-
2г г
Чтобы доказать вторую часть теоремы, рассмотрим задачу Дирихле (15) для следующей системы уравнений второго порядка (ср. [3]):
дх
д „ Л д^ д , , ч ^ „ ч д¥
- А (х) I — + А(х) I w = -—+ — А) - А (х)---А (х)А(х^ = ---А (х)¥. (18)
V
дх I дхдх дх дх дх
п
п
Система (18) является сильно эллиптической, следовательно, задача Дирихле для такой системы является всегда разрешимой вплоть до конечного числа условий разрешимости. Из (18) следует, что вектор-функция
Ом
( г) = — + Л( - Р (г) ог
является решением однородной системы (16). Так, если выполняется (17), то применение тождества Грина даёт:
|< (,( > йхйу = |< ,( > ёхйу + |< Лм, ((г) > dxdy -|< Р,( > ёхйу =
о о Ог о о
= 1 {< Г(£)М£) > ^-\< Р(г)((г) > dxdy = 0,
¿1 Г о
то есть ( = 0 в о , а это означает, что м(г) является решением задачи Дирихле (2.14) - (2.15). Теорема доказана.
3. Теперь рассмотрим задачу Дирихле
и(£) = у(£), £еГ = дО (19)
для общей эллиптической системы первого порядка
п От
£ Л(к)(+ В(х)и = /(х) (20)
к=\ °хк
в ограниченной области О пространства Я", где и(х) = (щ,и2,•••,и2т) - искомая вещественная вектор-функция, А(к),В(х) - квадратные матрицы 2т х 2т, /(х) = (/,/2,•••,/2т) - вектор-функция с вещественными достаточно гладкими элементами, заданными в О, у (х) = (у, у2, • • •, у2т ) - непрерывная вещественная вектор-функция, заданная на границе Г = ООО.
Теорема 3. Задача Дирихле (19), (20) разрешима тогда и только тогда (вплоть до конечного числа дополнительных условий), когда для любого решения ((х) = ((,(,•••,(„) однородной системы
п Я
£^(Л(к)'(х()-Б'(х)( = 0, (21)
к=1 оХк
непрерывного вплоть до границы Г, выполняется следующее равенство
{< /,( > dx-\у(^Л{ку(0(со*(п^кНГ = 0 (22)
О Г к=1
и для любого решения щ( х) = (Кщ1 ,—,Щ2т ) однородной системы
£ ^(А(к)* (х)щ)-B' (х)щ = 0, (23)
k=1 ОХк
непрерывного вплоть до границы Г, выполняется следующее равенство
п ,, ч
¡< /*, р > ах -\у(£)ПА(к)*(£)р 0С8(п, ^ИГ = 0, (24)
□ Г к=1
где ' посредством транспозиции матрицы и * посредством следующей матрицы:
( А (к)_ А(к)_ _ Л(к) _ А (к) ^
2,1 А1,1 ' ' ' А2т,1 А2т-1,1 (к) А (к) А(к) А(к)
|(к)* _
А (к) _ А (к) _ _ А( к) _ А( А2,2 А1,2 А2т,2 А2т-1,2
Л (к) _ А (к) _ _ Л(к) _ А (к)
^ А2,2т А1,2т А2т,2т А2т-1,2т-1 у
Доказательство. Пусть задача (19)-(20) разрешима, тогда посредством тождества Грина мы получаем
п « Я п р,
/< /,р > ^Х =П|/к(х((х^ = ()-|А() -Вр)Л =
□ к=1 □ к=1 □ °Хк □ к=1 ОХк
--¡т^А к )фСС8(п,^к ИГ,
г к=1
то есть (22) выполняется для любого решения р системы (21). Аналогично доказывается, что условие (24) выполняется для любого решения у системы (23). Обратно, пусть выполняются (22) и (24) и пусть и( х) = (ыг, и2, •••, и2т ) будет решением задачи Дирихле (19) для следующей системы второго порядка
п О
П (А(к )р) - вр = 0 (25)
к=1 Охк
в области □ с
р=£А(к)( х)-^ + В( х)и-/ (х).
к=1 ОХк
п
Основным символом (25) является <г(%) = А'(£)А(£), где А(£) = П А(к)(х)£к и отсюда для
к=1
любого ' = (',--ш,72т) е К2т :(<7,7) = (А(4)', А(%)') > 0, так что (25) является сильно эллиптической в □, следовательно, задача (19), (25) разрешима вплоть до конечного числа условий разрешимости.
Далее, используя (22), мы получаем
г г( п ди
Г<р,р> dx = |1 2 А(к)(х)-+ В(х)и - Л (х) р(х)ёх =
□ к=1 дхк )
= ¡г(^)]ГА(ку(^)рсоз(п,^к ЦГ-(< = 0,
Г к= □
то есть р = 0 и отсюда и( х) является решением задачи Дирихле (20)-(19). Аналогично доказывается вторая часть теоремы. Теорема доказана.
Поступило 12.09.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1987, 416 с.
2. Векуа И.Н Обобщённые аналитические функции. - М.: Наука, 1988, 509 с.
3. Сафаров Д.Х. Обобщённая эллиптическая система с сингулярностью на границе. - ДАН РТ, 2014, т. 57, №3, с. 192-196.
4. Сафаров Д.Х. Обобщённая система Моисила-Теодореску с сингулярностью на границе. - Учёные записки Худжандского государственного университета им. академика Б.Гафурова, 2014, №2 (29), с. 248-251.
Ч,.Х.Сафаров
ОИД БА ЯК СИНФИ СИСТЕМАМИ МУОДИЛА^ОИ ТАРТИБИ ЯКУМИ НАМУДИ ЭЛЛИПСЙ ДАР ^АМВОРИИ КОМПЛЕКСЫ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола шартхои зарурй ва кофии халшавандагии масъалаи Дирихле барои як синфи системахои муодилахои тартиби якуми намуди эллипсй дар сохахои махдуди хдмвории комплексй муайян карда шудааст.
Калима^ои калиди: шартхои зарурй ва кофй - халшавандагии масъалаи Дирихле - системаи уамроушуда - системахои эллипсй - системаи эллипсии цавй.
D.Kh.Safarov
ON A CLASS OF ELLIPTIC SYSTEMS OF FIRST ORDER EQUATIONS IN THE
COMPLEX PLANE
Tajik National University We consider the Dirichlet problem for the first order elliptic systems in bounded domains in the complex plane and it is receive condition of the necessary and sufficient for solvability. Key words: Generally Elliptic system - strongly elliptic system - Dirichlet Problem - solvability - necessary and sufficient.
