CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №9-10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Ф.М.Шамсудинов
ОБ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЁННОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
Курган-Тюбинский государственный университет им. Н.Хусрава
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 25.06.2014 г.)
В работе рассматривается система из одного гиперболического уравнения второго порядка и двух уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными, причём эти уравнения связаны в силу неизвестной функции. Для рассматриваемой системы получены представления многообразия решений через одну произвольную постоянную и изучены свойства полученных решений.
Ключевые слова: переопределённая система - многообразия решений - прямоугольник - свойства решений.
Пусть Б - прямоугольник
Б — { (х,у): 0 < х < 8, 0 < у < 82 }.
Далее обозначим
Г ={ у=0, 0 < х <8, }, Г2 ={ х=0, 0 < у < 82 }. В области О рассмотрим систему следующего вида
а 2ы | а (X, у) ды Ь^у) ды с (х у) _ Л( х, у)
I I п I п Ы --п ,
дхду га дх тр ду та+р та+р
ды + а2(х у) ы = /2 (х, у) ш
-л у У ' ^ '
дх г' г'
ды , Ь2(х у/з(х у)
-л ' 5 Ы = 5 ,
ду г г
где г2 - х2 + у2, а7 (х, у), Ь7 (х, у), / (х, у), 7 -1,2 , к —1,3 - заданные функции в области Б,
а < 1, Р< 1, у< 1, 8 < 1.
Проблеме исследования уравнений и переопределённых систем дифференциальных уравнений с регулярными, сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящены работы [1-8].
В настоящей работе на основе способа, разработанного в [3, 5], получено представление многообразия решений системы уравнений (1).
Адрес для корреспонденции: Шамсудинов Файзулло Мамадуллоевич. 735140, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский госуниверситет. Е-mail: faizullo 100@yahoo. com
Обозначим в дальнейшем через С2 (О) -класс функций, которые имеют непрерывные производные первого порядка в О и такие, что
а 2и
• е
С ( в).
Случай 1. Пусть первое уравнение системы (1) является главным. В этом случае получим следующие утверждения
Теорема 1. Пусть в системе уравнений (1) а <1, в<1, У<1, д<1, коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям
1) (х,у)е СХ (5),«2 (х,у)е Су (5), £2 (х,у)е Су (О), р (х,у), с (х,у), / (х, у)е С (О) ,j = 1,2, к = 1,3;
2) с2 (х,^) = -01 (х,у) + г а+р-а
ах
а
1(х,у)
3) т-
а Г (х,у Г _ а Га 2 (х,у)!
ах г а V 1 У ау г у V 1 У
в А
+а1 (х,у) Ь1 (х,у);
4)
а
а)га+р+у —
ау
/2 (X у)
+ а1 (х,у ) £2 (х,у ) г р =
= га+Р+-1
а
(х,у) ь (х,у)
гу гв
V 1 1 У
exp [-Шр (х, у)] (^ (у)-
+уу /(x,+ с2(^ 5> (^ 5) ехр [(х, 5)]+ (/1(х, у) + С2 (х, у )и (х, у )),
0
а+р
„2 ,
(X2 + 52)
' Ь2 ( х,у ) а 1 ( х,у
ьу -Гнх^ ехр[-ш; (х,у)](ц(х) +
V г г У
}ехр[ш; (х, 5)- щР (х, 5)](^ (5) +
о
(^5) + с2(М>(^5)ехр[щр 5)]&^ + г5ехр[X (х,у)](^ (у)
о (г2 + 52) 2
X[/^(t, у) + с2(^у)и(^у) Г в (* МЛА *( \
]-—ехр [ шв1 (t, у)]ёг)=/з (x, у);
Л , 2
о (г2 + у 0
5) /(х, у) = о (г71), У1 >а + р-1, с2(х, у)= о (г72), ^^ >а + р-1 Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса С2 (&) представимо в виде
ы (х, у ) — ехр [-ш; (х, у )] {М (щ (х), ^ (у ) ,/ (х, у )) +
у х
^/Гг (х, у : X, 8)Ых (щ (Г),^ (^),/ (х, ^))&} ЕЕ Тх (щ (х),^ (у),/ (х,у)), (2)
Мх (щ (х), ^ (у),/ (х, у)) - щ (х) + }ехр[ш; (х, 5) - (х,5)](^1(5)
+
^^^ ехр [шЕ. к у )] *,
о (г2 + 52) 2
щ (х) - ехр [-ш; (х,о)] (с +ехр [ш^ (X,о)]Л) ее ^ (с^ (х,о)), (3)
о
( у )- ^ , (4)
у _а
при а-8,Ь2 (х, у)- а (х, у) ,ш; (х, у)-1а (х, 5) (х2 + 52) 2 d5,
о
шЕ (х,у) - х (^у)(Г2 + у2)-2(х,о) - )а2 (х,о)х—Ух,
с — призвольная постоянная. При этом
ы (о, о ) -с.
Из системы уравнений (1) следует, что
с (о, о) и (о, о) = / (о, о), а2 (о, о) и (о, о) = /2 (о, о),
Ь2 (о о ) ы (о о )- /3 (o, о ) . Отсюда имеем
ы(о,о)-с --#4-#4, с1 (^ о ) а2 (^ о ) Ь2 (0, о )
То есть в этом случае значение с1 определяется.
Замечание 1. Если, в частности, коэффициенты первого уравнения системы (1) удовлетворяют условию с2 (х, у)- о и всем условиям теоремы 1, тогда решение системы (1) даётся явной формулой.
о
Случай 2. Пусть второе уравнение является главным. В этом случае получим следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть в системе уравнений (1) а < 1, Р < 1, у < 1,5 < 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям:
1) ;(х,у) еС1),а2(х,у)ес1),
(( х, у )е Сх( & ) ,/( х, у )е СД &),
/з ( х, у )еСу(5), (Д х, у ), с>( х, у ), />( х, у ), о, у )еС(Ъ);
2) с (х, у ) = -с (х, у ) + Г
а+Р
ах
а1 (х у)
+ « (х, у ) Ь (х, у );
3) а! а2 (х у )!_ а Г а1 (x, у а Г ¿2 (x, у Г
ау
г
V ' У
ах
ах
в В;
а2 (x, у ) ¿1 (х, у)
Г1 ГР
V ' ' У
4) а) га+р+у
г/ (г, у) + с2 (г, у) и (г, у)
J а+р
о (г2 + у2) 2
ехр[-<(х,у)] (¥ (у) +
ехр [®Р( г, у )] ёг) +
+г'(/1 (х, у)+с2 (x, у)и (x, у))
= га+Р+'<
д_ ау
/2 (X, у )
+ гР; (х у) /2 (х у ^
Ь) г
7+5
дх
/з3х,у)
+ «2 (х, у) /з (х, у ) = г7+5
д_
ду
/2{х,у )
+ Ь2 (^ у ) /2 (^ У ) •
Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса С2(О) представимо в виде
и(х,у) = ехр[-< (х,у)]■] ¥2(у) + { /2(^у)1 ехр[< (г,у)]ёг [ = Т2 (у),/2 (х,у)),
(г2 + у 2)
¥2(у) = ехр[-< (о,у)](с, +{ехр[+< (о,5)]Л5) ^ Ы2{с2,/До,у)),
Л
х
0 (x,у) = |а2(t,у)(г2
2 ж,
0
у
(о, у) = {¿2 (о, 5)
с2- произвольная постоянная.
а
г
У
У
о
У
2
о
о
При этом
Из уравнения системы (1) следует , что
и (о, о) = с2.
и (о, о) = с2 =
/М о) = = /з(0, о) Сх(о, о) «2(0, о) ¿2(0, о)
Случай 3. Если третье уравнение системы (1) является главным, в этом случае имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть в системе уравнений (1) а <1, в<1, Т<1, д<1, коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям
1) а(х, у)е СЩ(*, у)е С(Ъ),
¿2 (х, у ) е С (Ъ), /2 (х, у) е С\ (Ъ),
/3 (х у )е Сф (Ъ), ¿1 (х у ), с1 (х у), /1 (х у )е С (Ъ);
а
2) с2 (х, у ) = -с (х, у ) + га+р —
дх
а,
1 (х У)
д Гь (х,уг _ д Г а2 (х у л
дх г3 V ' ду г 1 V ' У
в D;
+ «1 (х, у ) ¿1 (х, у );
а+2 р
д ( /2 (x, У )
+ гРа1 (х у) /2 (х у ) =
4) а) ду V гр
= (/1 (х, у) + с2 (х, у)и (х, у)) гр , при у = р,««2 (х, у) = ¿1 (х, у) в D,
х д Ь) г1+3 —
дх
/3 ( х,у )
+ а2 (х, у) /з (х, у ) = г + /2 (х,у )
су
+ Ь2 (X У ) /2 (X У ) в Я
Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса С2(Ъ) представимо в виде и(х,у) = ехр[-< (х, у)]| у) + ехр [< (t, у)]^ е 2 (у)/ (х,у)),
о (г2 + у2)2
^2 (у) = ехр[-< (о,у)](сз + ¡^^ехр[< (о,5)]Ж) ее Ж3 (63,/ (о,5))
Г -1
< (х,у) = |а2 (г,у)(г2 + у2) 2Ж,
0
о
y
®ьг (o,У) = jb (o,s)s~sds,c3 — произвольная постоянная.
o
При этом
u (o, o ) = с.
Из уравнений системы (1) следует, что
Ci (o, o ) u (o, o ) = f (o, o ), a2 (o, o ) u (o, o ) = f2 (o, o ),
b2 (o, o) u (o, o) = /3 (o o).
Отсюда имеем
u (o, o )=с=/(oo)=Aioo) = ^oo).
C (o, o) a (o, o) ¿2 (o, o)
Замечание 2. Система уравнений (1) также исследована при выполнении условий bi (X У) е С\ (D),ai (x, y),с1 (х y), / (х y) е С(D).
Автор выражаеть глубокую благодарность академику АН Республики Таджикистан
H.Р.Раджабову за обсуждение настоящей работы и ценные советы.
Поступило 25.06.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
I. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981, 448 с.
2. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределённые системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. - Душанбе: Дониш, 1986, 115 с.
3. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. - Душанбе: ТГУ, 1992, 236 с.
4. Усмонов З.Д. Обобщённые системы Коши-Римана с сингулярной точкой. - Душанбе: ТГУ, 1992, 244 с.
5. Раджабов Н., Мохаммед Эльсаед Абдель Аал. Переопределенная линейная система второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями. - LAP LAMBERT Academic Publishing, Germany, 2011, 234 c.
6. Rajabov N. An introducdion to theory of partial differential equations with supe-singylarity-coefficients. - Tehran University Publications 1997, Tehran 1997, 230 p.
7. Раджабов Н. Интегральные уравнения типов Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Душанбе: Из-во Деваш-тич, 2007, 221 с.
8. Шамсудинов Ф.М. Интегральные представления решений для одной переопределённой системы с сильной особенностью. - Математический и прикладной анализ. - Тюмень: Из-во Тюменского госуниверситета, 2005, вып.2, с. 281-290.
Ф.М.Шамсудинов
ДАР БОРАИ ЯК СИСТЕМАИ БАРЗИЁДМУАЙЯНШУДАИ ТАРТИБИ ДУЮМ БО НУ^ТАИ СИНГУЛЯРИИ МАХСУСИЯТАШ СУСТ.
Донишго^и давлатии Кургонтеппа ба номи Носири Хусрав
Дар макола системае дида баромада шудааст, ки яктоаш муодилаи навъи гиперболии тартиби дуюм буда дутои дигараш муодилах,ои дифференсиалии тартиби якуми аз дутагйирёбандаи новобаста иборат мебошанд ва ин муодилахо бо ёрии функсияи номаълум алок;аманданд.Барои системаи дидашаванда тасвирх,ои гуногуни интегралии хдл ба воситаи як доимии ихтиёри ёфташуда, хосиятх,ои х,ал омухта шудаанд.
Калима^ои калиди: Системаи барзиёдмуайяншуда - бисёршаклии х,ал - росткуща - хосиятуои %ал.
F.M.Shamsudinov
ON ONE OVER DETERMINED SYSTEM OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL
EQUATIONTH WITH WEAK FEATURES
N.Khusrav Qurgantyube State University In this work we consider system one hyperbolic equation second order and two equations first order with two independent variables are related by virtue of the unknown function.
For the system are obtained representing the manifold solution through one arbitrary constant and study the properties of the obtained solutions .
Key words: over determined system - manifold solution - rectangle - properties solutions.
