Задача Дирихле для одной неклассической системы уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №6_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

Д.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОЙ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 18.09.2012 г.)

В статье рассмотрен характер разрешимости задачи Дирихле в полупространстве ~ ((/, х): / > 0, Л' е Н") для одной не классической системы уравнений второго порядка.

Ключевые слова: однозначная разрешимость - задача Дирихле - формула общего представления решения - эллиптическая регуляризация - формула Пуассона.

Рассматривается неклассическая система

д2и

—- + ди - graddivu = 0 (1)

с характеристическим определителем (см.[1-2])

п

¿=1

Будет доказано, что задача Дирихле в полупространстве К"+1 = ((/, х) : / > 0, Л' <Е Н") для системы (1) однозначно разрешима и допускает эллиптическую регуляризацию, то есть существует семейство эллиптических задач Ие таких, что из /Л».. —> 1)н при £ —> 0 следует, что н—» и . где

через иЕ обозначено решение задач семейства, а через и - решение исходной задачи.

Рассмотрим задачу Дирихле для системы (1) в полупространстве К"+1.

Задача Б. Найти регулярное в полупространстве решение системы (1), стремящееся на бесконечности к нулю и удовлетворяющее на гиперплоскости I = 0 граничному условию

и( 0,*) = /(*), (2)

где /(х) - заданная достаточно быстро убывающая на бесконечности вектор-функция.

Наряду с задачей О рассмотрим следующее семейство задач для эллиптической системы

д и

И£и = И£и = —- +аи - (1 - е1 ^гай (сИш) = 0 (3)

Адрес для корреспонденции: Сафаров Джума Холович, Мирзоев Собирджон Содикович. Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail:[email protected]; [email protected]

с характеристическим определителем

= 1 + 1

Задача Ие. Найти регулярное в полупространстве К"+1 решение системы (1), стремящееся

на бесконечности к нулю и удовлетворяющее на гиперплоскости I = 0 граничному условию (2). Нетрудно заметить, что при £ —> 0 система (3) превращается в систему (1). Используя метод, разработанный в работе [4], найдем формулу общего представления решения системы (3). Для чего, действуя оператором (И\ по х е. Я" на систему (3), получим

dt2

+ £2Д

divu = 0,

то есть функция co(t, х) = divu является решением уравнения

д2оз

dt2

Тогда нетрудно заметить, что система

■ + е Аа)-0.

dt2

+ £ А

У

Л ■dt2

(— + Аи) = 0

(4)

является следствием системы (3) и любое решение системы (3) удовлетворяет системе (4). Представление общего решения системы (3) строится при помощи представления решения системы (4). Любое решение системы (4) можно представить в виде

u(t, х) = и0 (t, х) + v(t, х), где и0 (t, х) - гармоническая в R" 1 вектор-функция, а v(t, х) - удовлетворяет системе

d2v 2

(5)

dt2

+ £ Av = 0.

(6)

Если гармоническая вектор-функция и0(?,х) удовлетворяет соотношению

= 0,

то выражение (5) удовлетворяет системе (3).

Все регулярные решения задачи 1).., с учётом (7) представляются в виде

ис(!,х) = и0(!,х) + ус(!,х),

(7)

где и0(^,х) - гармоническая в К"+1 вектор-функция, а V..(/,х) - удовлетворяет системе (6).

Математика

Д.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев

Пусть f0 (х) = и0 (0, х) - значения гармонической функции и0 (/, х) на гиперплоскости 1 = 0. Тогда гармоническая функция определяется однозначно по формуле Пуассона

u0(t,x) = — I ff¥L ^ =\х-{\\ (9)

R»(r2+t2) 2

а для определения вектор-функции vs(t,x) с учётом общего решения (8) и граничного условия (2) получим задачу

уДО,х) = /(х)-Мо((),х). (10)

Заменой переменного г = st систему (6) преобразуем в систему

-f+AV, =0,

дт2

а условия (10) - в условие

Vs (т, х)г=0 = f(x) -и0(т, х)т=0. Тогда решение задачи (6), (10) однозначно определяется формулой Пуассона

Отсюда, переходя к пределу при S —>■ 0, получим

limvc(i,jc) = /(jc)-i/0(0,jc). (12)

Таким образом, эллиптическая задача Д. однозначно разрешима и её решение представляется явно в виде (8), где u0(t,x) и ve(t,x) определяются по (9) и (11) соответственно. Кроме того, из (8), согласно (12), получим равномерный предел

lim и (t,x) = u0(t,x) + f (х) - и0 (0, х),

&—>0

представляющий решение исходной задачи D . Таким образом, мы получили следующий результат.

Теорема. Задача Дирихле для неклассической системы (1) однозначно разрешима и она допускает эллиптическую регуляризацию.

Поступило 18.09.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1987, 415 с.

2. Сафаров Д.Х. - Дифференциальные уравнения, 1984, т.20, 4, с.716-719.

3. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. - Новосибирск, 1981, 75 с.

4. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. - Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.

Ч,.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев

МАСЪАЛАИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ЯК СИСТЕМАИ ГАЙРИКЛАССИКИИ

МУОДИЛА^ОИ ТАРТИБИ ДУЮМ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола яккимата хдлшаванда будани масъалаи Дирихле барои системаи гайриклассикии муодилах,ои дифференсиалй бо х,осилах,ои хусусии тартиби дуюм исбот карда мешавад. Инчунин нишон дода мешавад, ки барои системаи додашуда назмдоди эллипсй чой дорад.

Калима^ои калиди: ящимата уалшавандагй - масъалаи Дирихле - формулаи тасвири умумии %ал -назмдоди эллипсй - формулаи Пуассон.

D.Kh.Safarov, S.S.Mirzoev THE DIRICHLET'S PROBLEM FOR NONCLASSICAL SYSTEM OF EQUATIONS

SECOND ORDER

Tajik National University In this article for the nonclassical system of equations of second order consider boundary value problem such as Dirichlet problem in half-space. It's proved that the Dirichlet problem has the only solution and admits elliptic regularization.

Key words: uniquely solved - Dirichlet problem - formulas of representation for general solution - elliptic regularization - Puasson formula.