К теории решений уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2011, том 54, №8_______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

Р. Ахмедов

К ТЕОРИИ РЕШЕНИЙ уравнения

Ґ т \

ит+^акит-к

V к=1 J

W = F

Таджикский государственный университет права, бизнеса и политики

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 30.05.2011 г.)

Для одного класса линейного уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами и с сингулярной точкой устанавливается представление общего решения через решения специального класса обобщённой системы Коши-Римана с сингулярной точкой.

Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение высокого порядка - дифференциальный оператор Коши-Римана - сингулярная точка - интегральный оператор - характеристическое уравнение - общее решение.

В области Сг, содержащей точку г — 0. рассматривается уравнение

{ т \

т , X ' ~ Т тм-к

к

\ к=1 J

Um+Y,akum~k W=F(z\ z є G, (1)

где Ш >2 - натуральное число, С1Л, £/2,... - произвольные вещественные числа и II — диффе-

ренциальный оператор

Я е

inq)

UC) = 3-(»)-----------—(•)

Zz

в котором z = x + iy = геир, /2 = — 1, д-— —

Ґ д . д 4 — + i — дх ду

, Л Ф 0 - комплексное число и й^О -

целое число, Ж (г) — искомая и /'(г) заданная функция класса Ь (Ст), р > 2. Решения (1) рассматриваются в классе Ст(С0 ) П С(С) функций Ш - раз непрерывно дифференцируемых в О0 = О \ и непрерывных в области О. Частный случай уравнения (1) при Т1 = 0, ак= 0, к и

= 0 изучен ранее в [1].

В основу исследования уравнения (1) положены решения однородного уравнения

11ф = 0,ге0, (2)

и интегральный оператор Ба, который в применении к произвольной функции /' <е О ^ р >2

определяет частное решение

Адрес для корреспонденции: Ахмедов Рахмат. 735718, Республика Таджикистан, г. Худжанд, 17 мкр., д. 1, Таджикский государственный университет права, бизнеса и политики. E-mail: [email protected]

61S

^=-1Я

7Т

Л О

П&ХлЯ) П2(гХ,п,Л)р^-

, £ = % + іі)

(3)

неоднородного уравнения

и м> = Р(г), г є О

(4)

из класса Сг(О0) П С (О). Исследования уравнения (4) наряду со свойствами оператора содержатся в монографии [2].

В настоящей работе для уравнения (1) установлены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть корни %х,%2 ,■■■■%„ характеристического уравнения

ХГ-сиГ1+.... + (г\уат=0

(5)

вещественные и различные. Тогда общее решение уравнения (1) из класса Cт (G0 ) ПC(G) представимо в виде

т-1

Ж (г) = Фт(г)е~^+Т) +£

1

к=О

П (Хі-Хт-к)

1=т—к+1

Ф Аг)е~х'"-і{2+7)+Р (г),

т-к\ у т\ / ’

(6)

где Ф1(г),Ф2(г), ...,Фт(г) - произвольные решения уравнения (2) из класса Ст(О0)Г\С(О) и Ет (г) определяется с помощью цепочки формул (г) = /' (г) и

^(7) = Я0 Рр_^У^ р = \,2,....,т.

Теорема 2. Пусть Ж(1) - заданное решение уравнения (1) из класса Сп (G0 ) ПC(G). Тогда Ф, (г), I = 1,2,однозначно определяются через Ж (г) по формулам:

і-\

Ф,(*)=П (С/ + *ГМ + £(-1)'

к=1+1

р=1

-----------П <с/+*)

т.-*.-,) ы^‘

;= і

м

і

(7)

Р=і

П (Хі-Хі-і)

У=1

Доказательства теорем основаны на следующих результатах.

Лемма 1. Общее решение из класса С1(О0 С (О) неоднородного уравнения 1]+ /ім> = f{z), г є С, (8), в котором Ц — вещественное число и /(г) є Ь (О), р> 2, да-

ётся формулой

уу(г) = Ф{£)е^(2+2) + £0 (/ ■ ем{2+2) у>-*2+2)

(9)

где Ф(z) - общее решение однородного уравнения (2) из класса С (С)П С(С) и - интегральный оператор, определённый формулой (3).

Очевидно, что функция, определяемая формулой (9), принадлежит классу С (С)П С (С).

То, что она удовлетворяет уравнению (8), проверяется непосредственно.

Лемма 2. Пусть Ф(г) - произвольное решение уравнения (2) из класса С1(С0 ) ПС(С). Тогда имеет место соотношение

\{г)-ем(2+1) ~_= — Ф(г)-еМг+г), (10)

И

где // Ф 0 вещественное число и Б0 - интегральный оператор, определённый формулой (3).

Действительно, пусть и(I) и у(2) - произвольные функции из класса С ‘(С,) П С(С). Легко проверить, что имеет место тождество:

Лет(р__________ _

\Jiuv) = иЦу + уии----------—{иу - им - т).

2г

Полагая в этом тождестве и{г) — Ф(г) - решение уравнения (2) из класса С1 (Ст0 ) П С(Ст ) и 5 получим:

и ^(г)-ем(2+Г> ~У/л Ф(г)-ем(2+г>.

Применяя к обеим частям этого тождества оператор , в согласии с [2] будем иметь:

Ф(г) ■ ем{2+2) = ц80 • е»(2+~2)

то есть соотношение (1 0).

Доказательство теоремы 1. Так как корни ^■>■■■ -Хп характеристического уравнения (5) вещественные и различные, то в согласии с формулами Виета уравнение (1) представимо в виде

т

Ши+х^=п^. (п)

к=1

Уравнение (11) запишем в форме неоднородного уравнения (8) по отношению к искомой

т

функции ]~[(I/ + %ку¥ , то есть

к=2

(и + + %к) Ж = Г(2).

Согласно формуле (9) получим, что

к=2

П(и + Х«) ^ = ф,(2) е-*<"Ъ + ВД, (12)

к=2

где Ф,(г) является общим решением уравнения (2) из класса ' ((70 и

= 5С№) • е^г+1)) ■ <Г*(г+г). Далее представляя последнее равенство опять-таки в

т

форме неоднородного уравнения (8) по отношению к функции П(и+хк) & , то есть

к=3

(V+хдТ^и+X,) V = Ф,(2) е-ы"ъ + ад,

к=ъ

в соответствии с (9) выводим:

т - у - "> -

П(и + Хк) Ж = Ф2^3^(2+2) +^0|)1^3(Л^)(2+2)^^(2+2) +^2(г)

к=Ъ

где Ф2 ^ - общее решение уравнения (2) из класса С1(С0)Р|С(С) и

(г) = (^(г) • ) • е~*1(г+5).

Применяя формулу (1 0) ко второму слагаемому правой части последнего равенства, получим

т _ 1 _

П(^ + ^) ^ = <М]^2(г+г) +---------------Ф^-^+ед. (13)

И вновь записывая (13) в форме неоднородного уравнения (8) теперь уже по отношению к т

функции П(и + Хк) & , то есть к=4

т _ 1 _

(и + X, •Пда + х, ) V = Ф2 «3~№"’ +-------------------ф, «1гы"л + К (г),

1=4 ^2 - Хх

в соответствии с (9) и (10) получим

т _ 1 _

Ши + хк) № = ф3 €^з(2+2) + ф2 4Г^(2+2) +

к—4 ^^3 ^2

- *1ЭЬ - *1 .

где Ф3( 2) - общее решение модельного уравнения (3) из класса С 1(^0 )П С (С) и

(г) = (Д, (г) • ей(г+?>) • е-*1-'+г).

Продолжая этот процесс т - раз, на основании (8), (9) и (10) для Ж (I) будем иметь (6), что

и доказывает теорему 1.

Доказательство теоремы 2

Пусть Ж ^ - заданное решение уравнения (1) из класса Ст (Од )^С(О). Тогда, согласно теореме 1, оно представимо в виде (6).

Из (12) определяем Ф^(г) через Ж (г) :

т _ _

Фх^) = Ши + Хк) ^1(г+г) -аде*(г+г). (15)

к-2

Из (13) с учётом (15) вычисляем Ф2^) через Ж (г) :

т _ і т _

Ф2(z) = Yl(U + zt)W(z)e^•‘■t■,- _ П(и + Х,)Ч'(ФЫ'"’ +

к=3 \%2 Х\) к=2

+---------^(г)е^(г+ї) -,Р2(г)ел(г+ї) . (16)

Ж2 -Хх

Далее из (14) с учётом (15) и (16) вычисляем Ф3 (г) через Ж(2) :

т _ і т

Ф,(г) = _ ,П(^ +

к=4 \Хз Хг) к=3

1 ,т. ~ 1 -

---------------П (и + —г-~

(Хз ~ Хг )(Хі ~ X,) ы (Хз ~ Хг )(Хі ~ X,)

1

_____ /

2

+--------^2(г)е*(г+г) -Ръ(г)-еиг+г\

Хъ~Х2

Продолжая аналогичным образом, получим (7), что и доказывает теорему 2.

Поступило 30.05.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахмедов Р. - ДАН РТ, 2010, т.53, №7, с.506-510.

2. Усманов З.Д. - Обобщённые системы Коши-Римана с сингулярной точкой. - Душанбе, 1993, 244 с.

Р.Ахмедов

ОИД БА НАЗАРИЯИ ХЛ ІХОИ МУОДИЛАИ \ Un + ^ак U

п \

а„ит-к W - F

к

к=1 У

Донишгохи давлатии хукУК, бизнес ва сиёсати Тоцикистон

Дар макола тасвири х,алх,ои умумии муодилаи хаттии тартиби боло, ки бо итератсияи оператори дифференсиалии Коши-Риман бо нуктаи сингулярй сохта шудааст, бо воситаи х,алх,ои умумии муодилаи моделй ба таври ошкор оварда шуда, формулаи баргардандагй муай-ян карда шудааст.

Калима^ои калиди: муодилаи дифференсиалии хаттии тартиби боло - оператори дифференсиалии Коши-Риман - нуцтаи сингулярй - оператори интегралы - муодилаи характеристики - уалли умумй.

К.АкЬше^у

\

ON THE THEORY OF SOLUTIONS TO EQUATION Um + ^ak U

n

jm-k

W = F

A

k=1

Tajik State University of Law, Business and Politics In the article a representation of the common solution to a high order linear differential equation with the Cauchy-Riemann iterated differential operator with singular point through the solution of the modeling equation is given and the reference formula is established.

Key words: high order linear differential equation - Cauchy-Riemann differential operator - singular point

- integral operator - characteristic equation - common solution.