Задача типа Дирихле для одного эллиптического уравнения высокого порядка с сингулярной точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ахмедов Рахматхуджа Ахмедович,-к.ф-м. н., доцент ТГУПБП

ЗАДАЧА ТИПА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

1. Введем обозначение

и ^ = д-w - А w,

А 2 2г •

в котором 2 = геіср = X + Іу, Аф 0 -произвольное комплексное число,

2д-=(д х + Іду) и w(2) - комплекснозначная функция, и рассмотрим в

замкнутой области О с гладкой границей Г и содержащей внутри точку 2 = 0 уравнение высокого порядка

Ui)'w = 0, (1)

где п = 2,3,...,.

Решение (1) рассматривается в классе п -раз непрерывно дифференцируемых в О \ {0} по 2 и непрерывных в О = О и Г функций,

который обозначим через С (О \ {0}) П С(О) .

2

2. Отметим, что в работах [1] - [4] З. Д. Усмановым изучена обобщенная система Коши - Римана

д-w - w = Р(2), 2 = О, (2)

2 2 2

где 2 = х + іу = ге1ф , 2д- = д х + ід у, Ь( 2) и Р (2) - заданные функции и w(2) - искомая комплексозначная функция и О область, содержащая точку 2 = 0 . В предположении, что функция Ь(2) удовлетворяет условию Гельдера

|Ь(2) - ¿(0) < Щ2\а, 0 <а < 1 и малости величины |Ь( 2) - Ь(0)| или же области О установлено взаимно - однозначное соответствие между множествами решений {ф( 2)} модельного уравнения

а __

д-Ф—=Ф = 0, 2 = О, (3)

2 22

где А = Ь(0), и решений {ії(2)} общего уравнения (2) из класса С (О — 0) П С- (О) посредством интегрального уравнения

w — Ро w = Ф + Бо^ .

Здесь

1

«1( 2,с)

с

р (с)+

°2 (2,С)

с

р (с)

d%dц, С = % + 1Л,

Ь( 2) - Ь(0) — 22

и через С- (О — 0) П С(О) обозначен класс непрерывно дифференцируемых в Со, Оо - О\ {0} , и непрерывных в О функций.

В работах [3], [4] приведены явные виды функции 2, С) и 02 (2, С),

установлены свойства оператора БоР и выписана обобщенная интегральная

формула Коши для решения Ф( 2) модельного уравнения (3) и построена его

теория, исследованы краевые задачи Римана - Гильберта и линейного сопряжения.

3. В данной работе доказываются две теоремы и приводятся результаты исследования краевой задачи типа Римана-Гильберта для круговой области радиуса Я с центром в

начале координат в случае п=2.

Теорема 1. Пусть Фк(2), к —1,2,...,П - произвольные решения уравнения

ихФ — о (4)

из класса СП (О \ {о}) П С (О). Тогда общее решение уравнения (1) из

2

класса СП (О \ {о}) П С (О) дается формулой

П — 1

1 - ~^к,

™ —^Т\ (2 + 2) Ф п—к к—о к!

(5)

Для доказательства теоремы необходимы следующие леммы.

Лемма 1. Пусть Ф( 2) - произвольное решение уравнения (4) из класса

С_ (О \ {о}) П С(О). Тогда имеет место соотношение

2

1

О

(2 + 2') ф(2) —------- (2 + 2 )П+1 Ф(2 )

(6)

где П — о, 1, 2,..., Б о - вышеприведенный интегральный оператор.

и

І

ФИЗИКА ВА РИЁЗИЁТ_______________________________ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА

Доказательство. Пусть и(2) и у(2) произвольные функции из класса

С (О \ {о}) П С (О) . Легко проверить справедливость равенства

2

и¿(их) — иилу + уи^и —-^(иу — их — т). (7)

2 2

Предполагая в (7) и(2) — (2 + 2)П и у(2) — Ф(2) - любое решение

уравнения (2) из класса С _ (О \ {о}) П С (О), получим:

2

(2 + 2)П+1 Ф — (п + 1)2 + 2) Ф(2) (8)

Так как согласно свойствам оператора Бо [3] справедливо равенство

Бо (ия/) — / (2),

то, действуя на обе части (8) оператором Бо , получим соотношение (2 + 2)П+1 Ф(2 ) — (п + 1)Бо (2 + 2У Ф(2 )

Откуда получим

— / , ~\П

Бо [(2 + 2)П Ф(2)] — Ф(2) ,

П +1

что доказывает справедливость леммы.

Лемма 2. Пусть Ф(2) - произвольное решение уравнения (3) из класса

С (О \ {о}) П С(О). Тогда имеет место соотношение

2

б^ ф — 1 (2+2 )П ф .

п!

Доказательство. Очевидно, что

БЗФ = БО-1 (Бо Ф)

На основании леммы 1 из последнего равенства получим:

равенства п ((г + 2 )ф)

БОФ—бО1 ((-- + 2)

Далее, также на основании леммы 1, можем записать:

боф — бо—2 (Бо (2+2 )ф)— бп—2 (2+2 )2 ф)

Продолжая этот процесс П - раз, получим справедливость утверждения леммы 2.

Доказательство теоремы 1. Уравнение (1) запишем в форме

иЛихУ—'1 *—о. (9)

АХБОРИ ДДЯБСТ№2(42), 2010________________ВЕСТНИК ТГУПБП№2(42), 2010

Откуда согласно [3]

&хУ~]1 * — Ф1 (2), (10)

где Ф( 2) - общее решение уравнения (4) из указанного класса. Далее, представляя (10) в виде

иХих)' -2 фф^-),

на основании [3] и леммы 1 и 2 получим:

(иА )П—2 * — Ф2 (2) + (2 + 2 )ф1 где Ф 2 ( 2) - также произвольное решение уравнения (2).

Продолжая такую итерацию т < П раз и применяя леммы 1 и 2, получим рекуррентную формулу

т—11 /

иАП т* — Тт, (2 + 2^ Фт— к (11)

к—о к!

При т — П из (11) получим формулу (5), что доказывает теорему 1.

Теорема 2. Пусть * (2) - заданное решение уравнения (1) из класса

СП (О \ {о}) П С (О), соответствующее решениям уравнения (2)

2

Ф1, Ф2,...,Фп из класса СП (О \ {о}) П С (О). Тогда Фт (2), т — 1,2,...,П

2

однозначно определяется через *(2) по следующим формулам: т—1 1 / _\/

Ф т М— Т(— 1) Л(2 + 21(иА)П ~т + * т — 1,2,...,П (12)

к—о к!

Действительно, на основании (11) можем записать следующие равенства:

(иА—1 )*—Ф1 (2) _

(иА—2 V — Ф 2 (2) +(2 + 2 )ф1 (2)

(иА—3 )* — Ф3 (2)+ (2 + 2)ф2 (2) + 1 (2 + 2^ Ф1 (2)

П — 1 1 / 1

Т (2 + 2/ Фп — к — Фп (2) + (2 + 2)Фп—1(2) + ^(2 + 2)2Фп — 2(2) + ■

к—о к! 2!

...+—1-----( 2 + 2)П—1Ф,

(П — 1)Г 1

Применяя метод последовательного исключения Ф1, Ф2 ,..., Фп к последним равенствам, получим формулу (12), что доказывает теорему 2.

4. Пусть п=2. Уравнение (1) при п=2 в раскрытой форме записывается в

виде

^______ ы2 а _

д^ - =—дуw + ы w +--------------w = 0, 2 є О (13)

2 22 2 4|_-|2 22 ’

Обозначим через О - круг 2 < Я, а через Г-окружность 2 = Ие1ф . Задача. Отыскать решение уравнения (1) из класса С2 (О - {0}) П С(О и Г), удовлетворяющее на Г условиям Яе[и—w] = к(2) 2 є Г, (14)

Ие^] = д(2) 2 є Г, (15)

где ^(2) и 4(2) - заданные на Г функции. Предположим, что

Л(ф) = Л(Иегф) и д(ф) = д(Яегф) разложимы в абсолютно и равномерно сходящихся рядах Фурье

1 X _

*(ф) = *0 + ^ Е (\е,кф + Нке-кф)

2 к=1

?ікф -ікф'

4(ф) = 40 + тЕ (4кЄ ф+ Чке 1 ф) 2 к=1

где,

і 2^ і 2^

*0 = - \*(ф) ^ *к = - \ Кф)е~1кф ф 2 0 П 0

1 2я 1 2я

Яо — - \Я(9)^ Як — - \Я(9)е~1кф ^ к — 1Д....

2 о я о

Задачу (1), (14), (15) назовем однородной, если к( 2) = д( 2) = о.

Теорема 3. Пусть А > 2. Тогда при Яе А> о или 1тА Ф о однородная

задача имеет только нулевое решение, а неоднородная задача разрешима безусловно, и решение даётся формулой

И'(г) — Я — 2Ке *1 (I) +

Я-к — *к—1 — *к +1 Лкф . тз Як — *к—1 — *к +1 —гк®1 Г г ) . (16)

+ Е і — Чк--------к-1-к+-еікф + р-к--------------=-------

к=1І — +Р- к — + Р- к

е

V

— I +

2 + 2

+

Я

' *0[Я\— + £{—^еікф + Р-к^е-іф ^^ '

VЯ У к=1І — + р- к — + р- к

И

V

г

Я

При Яе А < о однородная задача имеет одно ненулевое решение

w0 ^) = іа

Г - ^ л г + г Г - Ї

іа — іС —

V Я у Я я

л

(17)

где а и С - произвольные вещественные постоянные числа, а неоднородная задача разрешима при выполнении двух условий разрешимости вида

к0 = 0, 2Re к1 = д0.

При этом частное решение задачи дается формулой

* / \ Ч\ ~ к2 w (z) = 2

-1 + я У

+ Цл-

к=2

г + г ^

+^Е

л + Р_1

Чк - кк-1 ~ кк +1 ^ікр р Чк - кк-1 ~ кк +1 ^-і.

1к л + Р_

ікр

-к

л + Р_

я

л

к

к

к=1у

л + Р_

_еік?+ р_к _кк е-ікр

-к

V „ \Ик

Ґ - Ук

~я) +

(18)

V

-к

Л + Р_

-к

+ к 2 , Р- к = И - к •

Здесь Ик -

Общее решение задачи (1), (13), (14) дается формулой w(z) = w0 (г) + w* (г).

Приводим схему исследования приведенной задачи.

В работе [4] общее решение модельного уравнения (4) построено в явном виде,

Ф^) = Ха„ -Л +£(Ла*е*р + Р-Ле-^)-Ик

к=1

где а - произвольное вещественное и - произвольные комплексные

числа. На его основе и теоремы 1 строится общее решение уравнения (13) в виде

= Ха0

г + г

я

V R У

Хь0

+

го /

¿(ла

е

ікр

+ Р-к аке

-ікр

к=1

Ик

+

V

г

V я у

+

го /

Е\льк

ікр

+ Р-кЬке

-ікр

к=1

Ґ л Ик л

-

V Я У

где я и Ъ0 - произвольное вещественное и я, , Ъ, , к = 1,2,... произвольные

*0 " ^0 комплексные числа.

Здесь X = 1 при X > 0, X = I при X < 0, X = г'(|Х| _ X) при 1шХ Ф 0 . Далее w(z), к(2) и g(2) вносятся в краевых условиях (13), (14), и в результате несложных преобразований и приравнивания

коэффициентов при одинаковых степенях еікр получается бесконечная

ГО

алгебраическая система для определения коэффициентов ak и Ък . Разрешая

бесконечную алгебраическую систему по схеме [4], получим решение задачи заданными формулами (16), (17), (18) а также утверждение теоремы 3. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, уравнение высокого порядка, общее решение, класс функций, сингулярная точка.

Key words: differential equations, equation of the high order, the general decision, class function, singular point.

Литература:

1. Усманов З.Д. Доклады АН Таджикской ССР. т. 14, №11. 1971. - с. 16-20.

2. Усманов З.Д. Доклады АН Таджикской ССР, т. 15, №4. 1972. - с. 10-13.

3. Усманов З.Д. Сибирский математический журнал, т. 14, №5(1973) - с. 1078-1078.

4. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши - Римана с сингулярной точкой. - Душанбе, 1993. - 244с.

Ахмедов Р.А.

Задача типа Дирихле для одного класса эллиптического уравнения высокого

порядка с сингулярной точкой

В статье в круговой области с центром в нуле исследуется задача типа Дирихле для одного класса эллиптического уравнения высокого порядка с сингулярной точкой, порожденной n-ой итерацией дифференциального оператора Коши-Римана с сингулярной точкой в нуле. Вначале устанавливается явный вид общего решения уравнения высокого порядка через общее решение соответствующего модельного уравнения и выписывается формула обращения. Решения рассматриваются в классе непрерывно-дифференцируемых, вне нуле и непрерывных, в области функций.

На основании этих результатов для соответствующего уравнения второго порядка исследуется задача типа Дирихле. Устанавливается теорема о разрешимости этой задачи и явный вид решения.

Akhmedov R.A.

Problem of Dirihle type for one class of the elliptic equation of a high order with

singular point

The solution of the problem in circular area with zero in the centre, the problem of Dirihle type for one class elliptic equation of a high order with singular point generated by n iteration of differential operator Koshi-Riman with singular point in zero is investigated. In the beginning the obvious kind of the common decision of the equation of a high order through the common decision of the corresponding modeling equation is established and the reference formula leaves. Solutions are considered in a class of continuous-differentiated, out of zero and uninterrupted, in the field offunctions.

On the basis of these results for the corresponding equations of the second order the problem of Dirihle type is revealed. The theorem of resolvability of this problem and its obvious solution is explored.