Решения одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярным ядром Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №3-4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.968.73

С.К.Зарипов, академик АН Республики Таджикистан Н.Раджабов

РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА МОДЕЛЬНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНЫМ ЯДРОМ

Таджикский национальный университет г

Для одного модельного интегро-дифференциального уравнения в частных производных первого порядка с сингулярным ядром найдены интегральные представления многообразий решений через произвольные функции. Найдены случаи, когда данное уравнение имеет единственное решение. Изучено свойство полученных интегральных представлений.

Ключевые слова: модельное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных, граничные сингуляРнш явчт, интегрстъные „^^„ш, ш^р^ферещ.^е операторы. ее

темы интегро-дифференциальных уравнений.

Теория интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами является одним из важных разделов теории интегральных и дифференциальных уравнений.

Многие задачи прикладного характера, например задача Вольтерра о крутильных колебаниях, задача Прандтля расчёта крыла самолёта, задача об изучении кинетического уравнения Больцмана приводят к изучению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений [1-6]. Также в последние годы разрабатываются методы для исследования разных классов вырождающихся дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [7-9].

Важно заметить, что во многих исследованных сингулярных интегро-дифференциальных уравнениях существующие там интегралы понимаются в смысле главного значения по Коши и поэтому для решения этих уравнений применяются методы теории аналитических функций. Но в случае, когда в сингулярных интегро-дифференциальных уравнениях интегралы понимаются в обычном

смысле Римана, известно сравнительно мало работ.

В связи с этим в последние годы в работах [10-18] появилась новая методика для изучения интегральных уравнений типа Вольтерра с сингулярным и сверхсингулярным ядром. Эта методика была применена для изучения интегро-дифференциальных уравнений с сингулярным и сверхсингу-

нтегро-д

н

лярным ядрами в работах [19, 20].

В данной работе предлагаем одну методику решения одного класса интегро-дифференциального уравнения в частных производных первого порядка с сингулярным ядром и на основе полученных результатов исследуем граничные задачи для этого уравнения.

езультатов

Адрес для корреспонденции: Раджабов Нусрат, Зарипов Сарвар Кахрамонович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: nusrat38@mail.ru; sarvar8383@list.ru

Постановка задач и их решение: Через В обозначим область В = {(.X, У): а < X < Ь, С < У < d}. Соответственно обозначим Ц = {а < X < Ь,у = с},

Г2 = {х = а, с < у < d}. В области В рассмотрим модельное сингулярное интегро-

дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка вида:

^(у )dt 1 U (xs >*-i x

^U (t ■ s >.

dtds = f (x, y >, (1)

где А, В - заданные постоянные числа, (х, у) - заданная функция в области

В, и (х, у) - ис

комая функция.

Проблеме исследования многомерных интегральных уравнений вольтерровских типов с < гулярным и сверхсингулярным ядром и проблеме выяснения граничных задач для ных уравнений посвящены работы [10-18].

В частности, в [13-16] было исследовано интегральное уравнен:

/x, y >+4 /Ц dt + 4 /М ds + 4

(t - а>а ъ (

где а = const > 1, Р = const >

син-нтеграль-

= f (x, y >,

8 - заданные постоянные. При 8 = Л/, а = 1,

лярными или сверхсингулярным

Р = 1; а> 1, Р > 1 и других возможных случаях это уравнение было исследовано сведением его к

я для исследо Уу (в) обозначим класс таю

соответствующему одномерному интегральному ядром.

В настоящей работе этот способ применяется для исследования интегро-дифференциального уравнения (1).

Прежде всего через С

ским поведе

ка по raj

¿V ^

U (x, y >= o |(x - а >" (у - ъ)" , г, >,, Г, > 1

производное первого порядка по переменной у и в точке (а,Ь) обращаются в нуль с асимптотиче-дением

и решение интегро-, деть, что уравнение

уравнения (1) будем искать в этом классе. Легко можно вив операторной форме:

п и п a,U(x, y > = f (x, y),

е

у B x A

пIbU(x,y> = U; (x,yU(x,s>ds, пaJU(x,y> = U(x,y> + {--U(t,y)dt

^ y b (s - b) ^ at - а

и эти интегро-дифференциальные операторы ПУь BU, ПxaAU имеют смысл, если U(x,y)g C (d)

(им к р ервого

порядка:

Если введём обозначения ПxaAU(x,y)= V(x,y), тогда приходим к решению следующей системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных

П JJ (x, y ) = V (x, y ), П y,BV (x, y )= f (x, y ).

Легко можно видеть, что однородным уравнениям ческие уравнения

ых перво

N

) соответствуют характеристи ) соответствуют характеристи

(3)

и-

Я -Я + B = 0, A = 0.

;ских уравнений (4), (5) решение уравнени

(4)

(5)

авнения (2) или

В зависимости от корней характеристическ эквивалентной ему системы уравнений (3) получим в следующем виде:

1.1. Пусть [ = — А > 0 и корни характеристического уравнения (4) яв ми и разными и, кроме того, формально предположим, что между ними выполняется соотношение

вляются вещественны-

1 < я < я2. Тогда, согласно [10 формулам:

ородны

U (x, y )= (x - a ) V(x,y)=(y - Ь)Я

где

101, [191, решение неодн

(П )-1

V a, A !

(y - ^¥2 (x)+(ny,B &

(П a,A )-1V (x, y )= V (x, y )-4 £ - a VV(t.y )

L v, Л;f

ений системы (3) даётся по

(x, y)=E2 k(x ), ¥2(x ), f (x, y )!

(6)

(П Ь,в)-1 f (x, y ) = -

Здес]

(я

dt,

t - a

\Я

~(Яг - 1)

y - ь

s - Ь

\Я2

(7)

f (x, s )ds.

л/АЫ '

(Пa A ) 1, (ny B ) являются обратными к операторам ПaA, П

Я

десь операторы у^ п А) , / у^чштвш IV ^ а, А, " ЬВ-

Теперь, обращая внимание на характеристическое уравнение (1), увидим, что если

1 ± V1 — 4В

2

, то ни при каких-либо значениях В корень л1 не сможет принимать значения

больше единицы. Поэтому, взяв в (6) у/х (х)= 0 и подставляя значение V(х, у) в первое равенство системы (6), решение уравнения (1) получим в окончательном виде:

и(х, у )=(х - а)-А (р(у) +(у - Ь)Л (па,А )" ^ (х) + (п а,А (пу,в/(х, у) - (8)

= Е3 [((у ),^2 (х), f (х, у)].

Для сходимости интегралов в правой части (8) потребуем, чтобы функция у/2 (х) при х —> а обращалась в нуль с асимптотическим поведением

у/2 (х) = о[(х - а )Г3 ], Гз > - А, (9) а функция f (х, у) при х —> а, у —> Ь обращалась в нуль с асимптотическим поведением

f (х, у )= о[(х - а У3 (у - Ъ)Г4 ], Гз >- А, у, > Л -1 (10)

Теорема 1. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (1) коэффициенты такие, что корни характеристического уравнения (4) являются вещественными и разными и Л2 > 1, / = - А > 0. Пусть, кроме того, функции у/2 (х) и f (х, у) соответственно при х —> а

и х —> а, у —> Ъ обращаются в нуль с асимптотическим поведением (9)

Тогда однородное уравнение (1) имеет два линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (1) в классе функций и(х, у)б С (в) разрешимо и его общее решение содержит две

произвольных функции, которое даётся по формуле (8), где ((у), Ц/2 (х) - произвольные функции,

(па А ) , (пу в ) - операторы, определённые в (7).

1.2. Пусть / = - А > 0 и Л2 < 1. Тогда, для того чтобы решение вида (8) принадлежало

классу С'у (в), из всевозможных значений произвольной функции у/2 (х) возьмём только

(х) = 0 и получим:

и(х,у) = (х - а)-А((у)+(па,А(пъ,в)-1 Ах,у)-Еъ[((у),0,f(х,у)]. (11)

сходимости интегралов в правой части (11) потребуем, чтобы функция f(х, у) при х —> а обращалась в нуль с асимптотическим поведением

f (х, у )= о[(х - а )Г3 ], уъ > - А. (12)

мптотич

f (х,

ь в интег ского у

Теорема 2. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (1) коэффициенты такие, что корни характеристического уравнения (4) являются вещественными и разными и Л < Л2 < 1, / = - А > 0. Пусть, кроме того, функция f (х, у) при х —> а обращается в нуль с асимптотическим поведением (12).

Тогда однородное уравнение (1) имеет одно линейно независимое решение, а неоднородное уравнение (1) в классе функций и(х, у)еС^(о) разрешимо и его общее решение содержит одну произвольную функцию, которая даётся по формуле (11), где ((у) ^ - произвольная функция, (ПаА ) , (ПУЬВ ) - операторы, определённые в (7).

1.3. Пусть [ = —А < 0 и Л > 1 . Тогда в решении вида (8) из всевоз извольной функции ((у) возьмём только ((у) = 0 и получим:

озможных значений про-

и (х, у)=(у — Ь)Л (П а,А )—1Щ (х)+(П а,А Пв ^ , У) ^ ^3 ^2 (х), /(

Для сходимости интегралов в правой части (13) потребуем, чтобы функция у —> Ь обращалась в нуль с асимптотическим поведением

(х у)]. (13

/ (х, у)

/(х,у)= о[(у — Ь)74 ] , 7 >Л2 — 1

Теорема 3. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении |

Ь)74 ] , 74 >Л2 — 1.

при

(14)

корни характеристического уравнени Л2 > 1, [ = — А < 0. Пусть, кроме тогI

птотическим поведением (14).

Тогда однородное уравнение (1) имее

уравнение (1) в классе функций

альном являют

(1) коэффициенты такие, что вещественными и разными и при у — Ь обращается в нуль с асим-

и (х, у )еС;(о)

е даётся по формуле (13), (П а,А )—1, (п у,в )—1 - операт,---------—-------—

произвольную функцию, которое даё

нейно независимое решение, а неоднородное разрешимо и его общее решение содержит одну

где Щ2(х) - произвольная функция,

оры, опре

1.4. Пусть [ = — А < 0 и Л < 1. Тогда получим единственное решение уравнения (1) в вид

ешении вида (8) возьмём ((у) = 0, у/2 (х) = 0

и (х, у)=(Па,А )—1 (Пв )—1 /(х, у)-Е3 [0,0, /(х, у)]. (15)

В этом случае непрерывность функ

функции /(х, у) достаточна для сходимости интегралов в

Т

правой части (15).

Теорема 4. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (1) коэффициенты такие, что корни характеристического уравнения (4) являются вещественными и разными и

Л2 < 1, [1 = — А < 0. Пусть, кроме того, функция /(х, у)е с(р).

Тогда однородное уравнение (1) имеет только нулевое решение, а неоднородное уравнение (1)

в классе функций и(х, у) £ С' (о) всегда разрешимо и его единственное общее решение даётся по

формуле (15).

и

ми

2.1. Пусть Ц = - А > 0 и корни характеристического уравнения (4) являются вещественны-н р^™ „Л = Л =Л = 2. Тогда, с°гаас„о [10], [19], решение „е^ных мнений

системы (3) даётся по формулам:

и (х, у ) = (х - а)-А ф (у) + (па,А )-1 г (х, у ) - Е, [ф (у), Г (х, у )] V (х, у) = (пъ,л f (х, у) - Е4 |7 (х, у)] •

(16)

где

у

(п ^ f (х, у ) = {

у - Ъ ^ ^ - Ъ ,

(Л-1

(1) получим в виде:

Здесь оператор (пУь я ) является обратным к оператору ристического уравнения (4) являются вещественными и равными.

Теперь, подставляя значение V(х, у) в первое равенство системы (16), решение уравнения

л»

и (х, у) = (х - а)>(у)+ (п а, а )-1 (пЬ,л)-1 f (х, у)-Е4 [((у), f (х, у)]. (18)

Для сходимости интегралов в правой части (18) потребуем, чтобы функция f(х, у) при х —> а, у —> Ъ обращалась в нуль с асимптотическим поведением

> - А, г5 > Л.

= о[

ункция

f (х, у) при х —> а, у —> Ъ обращается в

(19)

Теорема 5. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (1) коэффициенты такие, что корни характеристического уравнения (4) являются вещественными и равными и , 1

Л = — < 1, Ц = - А > 0. Пусть, кроме того, 2

нуль с асимптотическим поведением (19).

огда однородное уравнение (1) имеет одно линейно независимое решение, а неоднородное

(1) в классе функций и(х, у)еСу(в) разрешимо и его общее решение содержит одну произвольную функцию, которое даётся по формуле (18), где ((у) - произвольная функция, (па А ) , (пу я ) - операторы, определённые в (7) и (17).

1

2.2. Пусть Ц =

-а < 0, Л = -< 1 . Тогда в решении вида (18) из всевозможных значений произвольной функции ((у) возьмём только ((у) = 0 и получим:

уравн

<

Л

и (х, у)=(Па,А )—1 (Пу,л)—1 /(х, у)-Е4 [0, /(х, у)]. (20)

В этом случае для сходимости интегралов в правой части (20) потребуем, чтобы функция /(х, у) при у —> Ь обращалась в нуль с асимптотическим поведением

/(х,у)= о[(у — Ь)74], 75 >Л. (21)

Теорема 6. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (1) коэффициенты такие, что корни характеристического уравнения (4) являются вещественными и равными и

гО

—> b обращается в ну.

Л = 1 < 1, [1 = — А < 0. Пусть, кроме того, функция /(х, у) при у —> Ь обращается в нуль с

асимптотическим поведением (21).

Тогда однородное уравнение (1) имеет только нулевое решение, а неоднородное уравнение (1)

в классе функций и(х, у) £ С' (о) имеет единственное решение, которое даётся по формуле (20).

Замечание 1. Подобные утверждении легко можно получить в случаях:

1) [I = — А > 0 и корни характеристического уравнения /(4) являются комплексно-

Л ЛГ

2) Л = — А < 0 и корни ^характеристического уравнения (4) являются комплексно-

сопряженными.

A^V А. 7

Поступило 22.12.2016 г.

1. Вейнберг М.М. - Итоги науки. Сер. мат. анал. Теор. вероятн. Регул., 1964, с. 5-37.

2. Векуа И.Н. - Прикл. матем. и мех., 1945, т. 9, №2, с. 143-150.

3. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1982, 304 с.

4. Магнарадзе Л.Г. - Сообщ. АН ГрузССР, 1943, т. 5, №1, с. 3-9.

5. Магнарадзе Л.Г. - Сообщ. АН ГрузССР, 1942, т. 3, №6, с 503-508.

6. Некрасов А.И. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений. - М.-Л.: ГТТИ, 1934, с. 1-17.

7. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. - Изв. РАН. Сер. матем, 2016, т. 80, №2, с. 3-15.

8. Фалалеев М. В. - Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Матем., 2016, т.17, с. 77-85.

9. Шамсудинов Ф.М. Интегральные представления решений для одной специальной системы дифференциальных уравнений второго порядка со слабой особенностью - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 2015, №3(160), с. 7-14.

10. Раджабов Н. Интегральные уравнения типов Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Душанбе: Деваштич, 2007, 221с.

11. Раджабов Н. - ДАН России, 2011, т. 437, №2, с. 1-3.

12. Раджабов Н., Раджабова Л.Н., Репин О.А. - Дифференциальные уравнения, 2011, т. 47, №9, с. 1320-1330.

13. Раджабов Н., Раджабова Л.Н. Введение в теорию многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра с фиксированными сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. -LAP LAMBERT, Academic Publishing, Germany, Leipzig, 2012, 502 p.

14. Rajabov N., Rajabova L., Ronto M. - Mathematical Notes, Miscolc, 2003, v. 4, №1, pp. 65-76.

15. Раджабов Н., Раджабова Л. - ДАН России, 2003, т. 391, №1, с. 20-22.

16. Раджабов Н., Раджабова Л. - ДАН России, 2005, т. 400, №5, с. 602-605.

17. Раджабов Н., Раджабова Л. К теории одного класса двумерного слабо-сингулярного интегрального уравнения типа Вольтерра на первом квадранте - ДАН РТ, 2014, т. 57, №6, с. 443-451.

18. Раджабов Н. К теории одного класса интегральных уравнений Вольтерра первого рода с ванными граничными и внутренними сингулярными точками - ДАН РТ, 2015, т. 58, №7 557.

19. Зарипов С.К. - Вестник Таджикского национального университета, 2015, №1/3(164), с. 2720. Зарипов С.К. - Вестник Таджикского национального университета, 2015, №1/6(191), с.

s

■сингул

С.К.Зарипов, Н.Рачабов

ХАЛЛИ ЯК СИНФИ МУОДИЛАХОИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНСИАЛИИ МОДЕЛИ БО ХОСИЛАХОИ ХУСУСИИ ТАРТИБИ ЯКУМ БО ЯК НУЦТАИ

СИНГУЛЯРЙ ДАР ЯДРОЯШ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола барои як синфи муодиладои интегро-диференсиалии тартиби якум бо досиладои хусусй, вобаста аз решадои муодилаи характеристики, тасвири интегралии дал бо ёрии функсиядои ихтиёрй ёфта шудааст. Х,олатдое, ки муодилаи додашуда дали ягона дорад муайян карда шудааст.

Калима^ои калидй: муодилаи интегро-дифференсиалй, нуцтаи саруадии сингулярй, бисёршаклаи уалуо, оператори интегро-дифференсиалй, тасвири интегралй, муодилаи интегралй.

S.K.Zaripov, N.Raji

ajabov

SOLUTION OF ONE CLASS OF FIRST ORDER MODEL PARTIAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH SINGULARITY IN THE KERNEL

Tajik National University

vork for one class first order model partial integro-differential equation with singularity in the kernel, integral representation manifold solution by arbitrary functions is obtained. It was defined the cases when given equation has unique solution. The property of the received integral representations is investigated.

In this wc l integr

Key words: integro-differential equation, boundary singular points, manifold solution, system of integro-differential equation, integro-differential operator.