CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2012, том 55, №1______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Академик АН Республики Таджикистан З.Д.Усманов
СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННАЯ С ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
Институт математики АН Республики Таджикистан
Для неоднородной системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка общее решение, выраженное через гипергеометрические функции, представлено в замкнутом виде. Полученные результаты используются для построения основного интегрального оператора теории обобщенных систем Коши-Римана с сингулярной линией.
Ключевые слова: система - дифференциальное уравнение - линейное - первый порядок - общее решение - гипергеометрическая функция - обобщенная система Коши-Римана - сингулярная линия -интегральный оператор.
В работе рассматривается система вида
dw, к
—--------wk-■
dr r
1 -w-к = Fk(r)>
r-r
dw к —dL + -w ,,-dr r -
0
1 Wk = F- к (r).
(1)
r-r
0
Здесь w
k, w ^ - искомые комплексные функции вещественной переменной r
w
(0 < r — r — R < да) , к и 1 - заданные неотрицательное целое и комплексное числа.
1. В случае к = 0 получаем
dwo 1 - { ч
~Г-------------------wo = Fo(r).
dr r - r
0
Общее решение Ф0 (Г) однородного уравнения (^ (г) = 0) записывается в виде
Ф0 = Щай (Г - Го )т+ Щ Ъо (Г - Го Ут, где а и Ъ - произвольные вещественные постоянные и
а =
1, if 1 > 0,
/, if і < о, а =
/(11| -1), if Im ІФ 0;
i, if 1 > 0;
1, if 1< 0;
i(| 1| +1), if Im 1ф 0.
<
<
Адрес для корреспонденции: Усманов Зафар Джураевич. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
Частное решение "_ неоднородного уравнения (р (г) Ф 0) ,
г /■ Л
р-г0 ' ' - -------------------Л
w,
=21
ч Г ~ Го У
Г 4 0 у
^о(Р)-Т^^о(Р) ^Р
К
і/I
г - г
(2)
Ро(Р) + т^Ро(р) dр 1Я1 У
(3)
, р-г0
2. При к Ф 0 общее решение Фк (г) , Ф £ (г) однородной системы (1)
( Р (г) = л, (г) = 0 ) задается в виде
Фк (г) =ЩкФк,)(г) + ЛВ2кФк2)(г), Ф-к (г ) = - РкВ 1 кФ -к(г ) + Р-кВ 2 кФ-2к,(г )
где Вк и В2£ - произвольные комплексные постоянные, Р = & + к, = &- к
&2 =|^|2 +к2 и, кроме того,
Фк1>(г)= * к|>(С)=Х* (1 -С)и р (а+1. Ък, Ск X).
Ф-к О) = ^ -«(X) = Хк (1 - ст р (а,. Ък+1. Ск X).
Фк2)(г) = ^ к2)(Х = С,,к (1 -С)тР (Ак+1. Вк. Ск X).
Ф-к>(г) = у -2)(Х) = С“1 (1 -Х)|д|р (Ак. Вк +1. Ск X).
прич6м с = г0 / г , г = г0 / с, а4 = Р-ьЦЦ, Ък = Р^Ц, ск = 2Цк +1, А = -P+|Ц|,
в, =-Р-к+|я |, ск = 1 -2&; Р(а.Р.у';^) - гипергеометрическая функция переменной X и параметров а,Р,у. Доказательство формул (3) и (4) описано в [1]. Отметим также, что все указанные функции являются вещественными.
Частное решение М?*_, М?*_к неоднородной системы (1), определяемое методом вариации произвольных постоянных, представляется следующим образом:
(4)
2и
1 г _______
1- Я Р- и ф-2Чр« (р)-яф!2’(р) ^ (р) ]ф®(г )<ір
1 К ______
2^/[ Рк ф (-К.Р)Рк (р)+^Фк"(Р) ^к(р) ]ф к2)(г )dр,
кг
г
/ [ Р-„ Ф-к (рЩР - ЇФ? (Р) ^-к (р)] Ф-] (г ]р
Р
го
Р К
Я Рк Ф -Кр) Р* (р) + ^Фк1}(р) Р- к (р)](г ^
2Я/іа г
о
3. Теперь обратимся к модельной обобщенной системе Коши-Римана с сингулярной линией,
[2]:
ЄІр Я —
д-м — ------------м = /(г), г є О, (6)
" 2 г - го
в которой г = ге1<р, м(2) - искомая комплекснозначная функция, определённая в круговой области О = {2: о < г0 < 121 < К < да}, и Я - комплексная константа. Записывая это уравнение в полярных координатах
дм І дм Я — ч
----+-----------------М = Р (2),
дг г др г - г0
где Р(2) = 2е ,р/(2), построим формальным способом общее решение уравнения (6) по схеме, предложенной в работе [3].
Пусть
{м(2).р(2)} = £ {мк(г).р(г)укр
к=-да
- представления функций w(2) и Р(2) в виде рядов Фурье по переменной р , причём
1 2л
Мк (г) =~- / м( 2 )e~ikpdp,
у 21 (7)
Р(г)} = -1 /(2)в~1 (к^рйр, к = 0.±1.±2..... п 0
Внося эти разложения в предыдущее уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в1к<р левой и правой частей уравнения, приходим к системе (1) для определения искомых коэффициентов Фурье Мк (г) и М_к (г) . Полученные в п.п.1 и 2 результаты позволяют представить общее решение уравнения (6) как сумму двух слагаемых
м( 2) = Ф( 2) + М* (2).
из которых Ф( 2) является общим решением однородного уравнения (6) (/(2) = 0) , формально представимым следующим образом:
Ф(2) = Щ0 (г - г) | Л + Щ Ъ (г - г )-|Л
то
+£ {Ц к Ф<‘>(г) + ЛВ2 (Ф<2>(г )}е1(р+ {-Р_В, (Ф(-1 (г) + Р_„В 2 *Ф-?(г )}e-1íр,
к=1
да
а слагаемое М>* (2) является частным решением неоднородного уравнения (6) (/(2) Ф 0) . Этому решению удается придать следующий вид:
М-(2) = Яо/ = - - //
л"
П2 2 ,2
/ (С) + . 2>/ 2С2
где Х=^ + 1л = ре1(р и ядра ц, п2 определяются следующими формулами:
1 (-р-о-)'Я + ®іо(2,С\ аз I2
2\ р
- - (^р^)м+®Г(2,C), аэ К|<| 21;
2
(8)
Здесь
Я
21 Я
Я
г - го чР-го У
V |Я|
+ ю2о( 2,0, аэ 121 < \с\ ,
21 Я|
р- го
\|Я|
+ ®2оо( 2,0, аэ Ю<| 21.
дар р
®1° = Ё тГГФ-к(Р)Ф"V)е*(р-у) + ФГ(р)Ф-к’(г)е-*(р-у)
к=11_ 2гк 2№к
оо
=-^
к=1
^ Ф-Ї(Р)Ф '»‘’(г )еІк (р-у) +^- Ф '2,(р)Ф -‘к (г Кк (р-'> 2^к 2^к
(2)^ п-,к (Р-У)
^ =^тЯ Ф"’(Р)Фк2’(г)е*(р-,) +Ф-к(р)Ф!ї(г)е
к=1 2^к
да
< = ЁЯ^ к2’(Р)Фк‘’(г Є(р-у) +Ф-2’(Р)Ф її (г )е-
к=1 2^к
,к (р-у)
Отметим, каким образом устанавливается формула (8). Вначале частное решение " _ (2) записывается рядом Фурье по переменной р
к=-да
и в эту запись вместо М_ (г), к = 0, ±1, ±2,..., вносятся их правые части из формул (2) и (5). Затем коэффициенты р замещаются их выражениями через /(2) в соответствии с формулой (7). В полученном соотношении для М* (2) однократные интегралы по р и р преобразуются в двукратный
интеграл по области О и, наконец, совершается формальная перестановка порядков суммирования и интегрирования.
да
да
Таким образом, мы приходим к представлению частного решения уравнения (6) в форме (8) -интегрального оператора SG , заданного на множестве функций {f (z)} - правых частей уравнения
(6). Этот оператор является главным инструментом для построения теории сингулярных уравнений типа (6).
Замечание. Важно отметить, что при 1 = 0, когда (6) превращается в классическую систему Коши-Римана, оператор SG трансформируется в основной интегральный оператор
tg (•) = -— d^dv, С = ^+/v^ G,
П G ъ z
теории обобщённых систем Коши-Римана, см. [4]. Следовательно, построенный в настоящей статье Sg -оператор является естественным обобщением Tg -оператора, а теория уравнений типа (1) является естественным развитием теории регулярных обобщённых систем Коши-Римана на случай сингулярных коэффициентов.
Поступило 04.12.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Usmanov Z.D. - Complex Variables and Elliptic Equations, v. 51, Nos 8-11, Special Issue: A tribute to Guo Chun Wen , August-November, ISSN 1747-6933, 2006, pp. 825-830.
2. Usmanov Z.D. - Generalized Cauchy-Riemann systems with a singular point. - Addison Wesley Longman Ltd., (Pitmman Monographs and Survey in Pure and Applied Mathematics; 85) ISSN 0269-3666,
ISBN 0 582 29280 8, Harlow, United Kingdom, 1997, - 222 pp.
3. Усманов З.Д. - Сиб.мат.журн., 1973, т.14, № 5, с.1076-1087.
4. Векуа И.Н. - Обобщенные аналитические функции. - М., 1959, с.628.
З.Ч,.Усмонов
СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДИИ БО ФУНКСИЯ^ОИ ГИПЕРГЕОМЕТРЙ АЛОЦАМАНД
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Барои системаи ду муодилах,ои дифференсиалии оддии гайрияк^инсаи тартиби якум хдлли умумии бо воситаи функсиях,ои гипергеометрй ифодашуда ба намуди сарбаст тасвир шу-даанд. Натичах,ои гирифташуда барои сохтани интеграли асосии оператори назарияи умуми-кардашудаи Коши Риман бо хати сингулярй истифода шудааст.
Калима^ои калиди: система - муодилаи дифференсалй - хаттй - тартиби якум - уалли умумй -функсияи гипергеометрй - системаи умумикардашудаи Коши Риман - хати сингулярй - оператори интеграли.
Z.D.Usmanov
A SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS CONNECTED WITH THE HYPERGEOMETRIC FUNCTIONS
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan For an inhomogeneous system of two linear ordinary differential equations of the first order the full solution, expressed by the hypergeometric functions, is represented in a closed form. Obtained results are used for constructing the basic integral operator in the theory of generalized Cauchy-Riemann system with a singular line.
Key words: system - differential equation - linear - first order - full solution - hypergeometric function -generalized Cauchy-Riemann system - singular line - integral operator
