Интегральные представления и задачи типа Коши для одной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярной точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №3-4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.91

А.Г.Олимов, академик АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабов

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова, Таджикский национальный университет

Задача решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярной точкой сведена к эквивалентной задаче решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью. Общее решение системы выражено с помощью резольвент системы интегральных уравнений. Полученное представление применено к исследованию поведения решений в окрестности сингулярной точки и задачи типа Коши.

Ключевые слова: система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, сингулярная точка, система интегральных уравнений Вольтерра, общее решение, задача типа Коши.

В интервале Г = (0, а) (а > 0) вещественной числовой оси рассмотрим систему уравнений

вида

гр^х) 2 г (х) (х)

у у +—-у 1 + = -^Г , 3 =1,2 ' (1)

"V ^^^^ у у

х к=1 х х

где р (х) е С1(Г) , г^(х), /(х) е С(Г) , з, к = 1,2 - известные, у (х) е С2(Г), з = 1,2 - искомые функции.

Отметим, что исследованию систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящен ряд публикаций, например [1-11].

Целью настоящей работы явилось нахождение общего решения системы (1), в двух случаях, с помощью резольвент соответствующей системы линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью, а также применение полученных представлений к изучению поведения решений и решению задач типа Коши.

1. Случай, когда главным считается первое уравнение системы (1). В этом случае систему (1) приводим к виду

Адрес для корреспонденции: Олимов Абдуманон Гафорович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, пр. Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]; Раджабов Нусрат Раджабович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

1*У1 =

_/(х) -Пц(X)у - г12(х)У

_ /2(х) - Г21(х)У1 ~ О22(х)У2 + хО12(х)У2

(1.1)

Ь*У2 =

т „ 2р^х) , хр2(х)-р1(х) + р2(х)

где Ьр1 УJ = у; + У 2 + ^^ ^4 ' У,,

х

х

О „ (х) = г,, (х) - хР1(х) + Р1(х) - Р12 (х) , . = 1,2, (х) = 2[р^х) - р2 (х)]

Правую часть системы (1.1), считая известной, обращаем на основе результатов работ [7 - 9].

Имеем:

У1( х) = х - Р1(0) ехр[-^й ( х)] { Т1 [/1( х), р1( х) с„, Сю]

х

-{ (х-£) О11(^)^Р1(0)-2ехр[^р а)] УХ(£Ж-

где

х

-{ (х-£) Г12(^)^Р1(0)-2ехр[^р (£)]

0

У2 (х) = х-Р1 (0) еХР[-^д (х)] { Т1 [/2 (х)' Р1(х) С21. С20 ]

х

-1 (х - а Г21 (£)£Р1(0)-2 ехр[^ (Я)] У1 (№

0 х

-1 (х - ДО22(^Р1(°)-2 ехр[^ (а)] у2(№

0

+}(х-а)О^^ехр^р(а)]у2(Ж },

0 J

х

ТЧ/(х),Р1(х),с,0] = {(х-а)/(^)^Р1(0)-2ехр[^р1 (£)№ + опх + с.0,

(1.2)

ж.

,(х) = ^

Р&) - Р1(0)

&, , , = 1, 2, к = 0, 1 - произвольные постоянные.

Во втором равенстве системы (1.2) интеграл, содержащий у2 (О), преобразуем интегрированием по частям и упростим его. Далее вводим новые неизвестные функции р^ (х),, = 1,2, связанные с Уу (х), , = 1,2 равенствами У, (х) = х~р 1(0) ехр[-жр (х)]р, (х), , = 1, 2 .

Тогда система (1.2) относительно функций р.(х),, = 1,2 записывается в виде следующей системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода:

2 х

Р (х) + Кк (х ар (£&£ = Т\/, (х), Р1(х) , ,, ] = 1,2, (1.3)

к=1 0

2

х

2

х

0

0

г

0

где Кп(х,£) = (х-£)О^"2, К12(х,£) = (х, К21(х= (х-£)ги(Я£"2,

К22( х ,£) ={( х-ЭДП^) + + \р№ - 11^12(^)1 -^2(£)}Г2 .

Итак, доказаны следующие утверждения:

Теорема 1.1. Пусть в системе (1) р](х) е С1(Г), г^(х), /(х) е С(Г), з,к = 1,2, Р(0) > 1. Функции х), з = 1,2, г12(х), г21 (х), О12(х) в точке х = 0 обращаются в нуль и удовлетворяют следующим асимптотическим равенствам: (х), з = 1, 2,

г12(х), г21 (х), О12(х) = 0(хр) , Р> 1 при х —> +0.

Тогда задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) эквивалентна задаче решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (1.3) с ядром, имеющим слабую особенность, и непрерывной правой частью.

Замечание 1.1. Пусть в системе (1) вместо (0) > 1 выполняется условие (0) < 1 и функции / (х) , з = 1,2 в точке х = 0 равняются нулю, а в ее окрестности удовлетворяют следующим

асимптотическим равенствам: / (х) = 0() , ^ > 1 - Р(0), з = 1,2 при х —+0 . Тогда теорема

1.1 опять остаётся верной.

Из теоремы 1.1 следует

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда общее решение системы уравнений (1) из класса С2(Г) выражается формулой

Уз(х) =

= х-р 1(0)ехр\-^ (х)]IТ\/](х),р,(х)с;1,е}0]-]Т|Г)к(х,£)Г\/}(£),р^)с;1,о^Щ, (Ы)

I к=1 0 ]

3 = 1,2, где Г^к(х,£) ,з,к = 1,2 являются резольвентами системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (1.3) со слабой особенностью.

Замечание 1.2. Поведение решений системы дифференциальных уравнений (1), выражаемых равенством (1.4) в окрестности сингулярной точки, зависит от знака числа р1 (0), если (0) > 0 все

они стремятся к бесконечности, а если (0) < 0 - стремятся к нулю при х — +0 и их порядок определяется следующим асимптотическим равенством: у (х) = 0(х й(0)) , з = 1,2.

Замечание 1.3. Решения системы уравнений (1), выражаемые формулой (1.4), удовлетворяют следующим равенствам:

\ хр1(0) Вкр1 yJ (х)] х=+0 = с к, з = 1,2, к = 0, 1, где Вру = у ' + ^ у, В°Л у - у .

х

Формула (1.4) позволяет ставить и решить следующую задачу для системы (1):

Задача типа Коши. Найти решение системы уравнений (1) из класса С2(Г) по следующим условиям в сингулярной точке х = 0:

[хР1(0)Вкр1Уу (х)]|ж=+0 = Уд, где Уд , ] = 1,2, к = 0,1 - заданные постоянные числа. Справедливо утверждение.

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда задача типа Коши для любых начальных данных Уд , ] = 1,2, к = 0,1 имеет единственное решение, которое получается из формулы

(1.4) при с]к = Ух]к, ] = 1,2, к = 0,1.

2. Случай, когда главным считается второе уравнение системы (1). В этом случае, действуя как и в предыдущем, систему (1) приводим к следующей системе линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода:

2 х

¥] (х)(х ак (а&а=п/,(х), р2(х). ], .=1,2, (2.1)

к=1 0

где мп(х,а={(х-ащха-оадо-шо- ч^о)]+ацаа)}г2,

ми( х ,о = (х-о^оо2, м21( х ,о = (х-0)г2М)О2, м22{ х ,0) = (х-0)Ш22(0)02,

(х) = ^ (х) - хр2(х) + р2(х) - р\(х), ] = 1,2, а неизвестные функции ^ (х), ] = 1,2 связаны с искомыми функциями У(х), ] = 1,2 с помощью равенств У(х) = хр2(0)ехр[-ж (х)]^(х), ] = 1,2.

Резюмируя, получим следующие утверждения:

Теорема 2.1. Пусть в системе (1) р](х) е С1(Г), Гд(х), /(х) е С(Г), ],к = 1,2, р2(0) > 1. Функции (х), ] = 1,2, г12 (х), г21 (х), О12 (х) в точке х = 0 обращаются в нуль и удовлетворяют следующим асимптотическим равенствам: Жр (х), ] = 1,2,

г12 (х), г21 (х), О12 (х) = 0(хг ) , у> 1 при х —> +0.

Тогда задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) эквивалентна задаче решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (2.1) с ядром, имеющим слабую особенность, и непрерывной правой частью.

Замечание 2.1. Пусть в системе (1) р2(0) < 1 и функции /(х) ,] = 1,2 в точке х = 0 равняются нулю, а в её окрестности удовлетворяют условиям /(х) = 0(х/]),/. > 1 -р2(0), ] = 1,2 при х —+0.

Тогда теорема 2.1 опять остается справедливой. Отсюда следует

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда общее решение системы уравнений (1) из класса С2(Г) выражается формулой

У j ( * ) =

2 * 1 (2.2)

-* - p 2(0)exp[-^ ( *)] \ T \f] ( *), p2( *) j j]-2J ГI ( x ¿)T \f] (£), p2(£) c c ; o]dM

k=1 0

] = 1,2, где Г^к(л,0) ,],к = 1,2 являются резольвентами системы интегральных уравнений Воль-

терра второго рода (2.1) со слабой особенностью.

Относительно поведения решений вида (2.2) системы (1) в окрестности сингулярной точки имеет место утверждение, аналогичное приведенному в замечании 1.2.

Замечание 2.2. Решения системы уравнений (1), выражаемые формулой (2.2), удовлетворяют следующим равенствам:

[хР2(0)БкргУ](х)]х=+0 = Ск, ] = 1,2, к = 0,1.

Формула (2.2) позволяет ставить и решить следующую задачу для системы уравнений (1): Задача типа Коши. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2(Г) по следующим условиям в сингулярной точке х = 0:

[хР2 (0)Бкрг yj (х)]]х=+0 = у2, где у2 , ] = 1,2, к = 0,1 - заданные постоянные числа. Для этой задачи справедливо утверждение, подобное теореме 1.3.

Замечание 2.3. Использованный здесь способ исследования можно применить к изучению системы линейных уравнений п - го порядка вида

.)+прм уг„+£ ¿м уГ)+] у,=/м, ]=тт,

х к=2 х 1=1 х х

где Рд (х), Г}1 (х), / (х) - известные функции, к подобным системам с уравнениями разных порядков, а также с разным расположением сингулярной точки.

Поступило 11.01.2016 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлов Л.Г. - Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений. - Мат-лы междунар. научн. конф., посвящ. 80- летию чл.-корр. АН РТ Стеценко В.Я. - Душанбе: ТНУ, 2015, с. 117-118.

2. Раджабов Н. - Дифференциальные и интегральные уравнения. - Душанбе, 1980, вып. 3, с.43-55.

3. Rajabov N. Introduction to ordinary differential equations with singular and super-singular coefficients. - Dushanbe, 1998, 160 p.

4. Раджабов Н., Меликов О.И. Линейная модельная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с одной левой граничной сингулярной точкой. - ДАН РТ, 2015, т. 58, № 6, с.451-457.

5. Раджабов Н., Меликов О.И. Современные проблемы математики и ее преподавания. - Мат-лы междунар. научн. конф., посвящ. 20-летию Конституции РТ и 60-летию ученых математиков А.Мухсинова , А.Б.Назимова, С.Байзоева , Д.Осимовой, К.Тухлиева. - Худжанд: ХГУ, 2014, ч. 1, с.232-235.

6. Rajabov N. - Proceedings of the Second ISAAC Congress. - London: Kluwer Academic Publishers, 2000, vol. I, p.175-183.

7. Олимов А.Г. Современные проблемы математического анализа и их приложений. - Мат-лы междунар. научн. конф., посвящ. 60-летию академика АН РТ Бойматова К.Х. - Душанбе: Дониш, 2010, с.79-81.

8. Олимов А.Г. Современные проблемы математики и ее приложения. - Мат-лы междунар. научн. конф., посвящ. 70-летию чл.-корр. АН РТ Мухамадиева Э.М. - Душанбе: Дониш, 2011, с. 99-101.

9. Дадоджонова М.Ё., Раджабов Н.Р., Олимов А.Г. - Вестник педагогического университета. - Душанбе: ТГПУ им. С.Айни, 2013, №5(54), с. 39-43.

10. Раджабов Н. Методы теории функций и их приложения. - Мат-лы междунар. научн. конф. - Душанбе, 2000, с. 33-34.

11. Раджабов Н. - III-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis. - Proceedings International Conferense. - Samarkand, 2000, p.71.

12. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: ГИТТЛ, 1950, 252 с.

А.Г.Олимов, Н.Р.Рачабов*

ТАСВИРХОИ ИНТЕГРАЛЙ ВА МАСЪАЛАХОИ НАМУДИ КОШЙ БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛАХОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДИИ ХАТТИИ ТАРТИБИ ДУЮМ БО НУЦТАИ СИНГУЛЯРЙ

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи академик Бобоцон Кафуров, Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола интегронидани системаи муодилахои дифференсиалии оддии хаттии тарти-би дуюм бо нуктаи сингулярй, ба масъалаи баробаркувваи халли системаи муодилахои инте-гралии намуди дуюми Волтерр, ки махсусияти суст дорад, оварда шуда, хдлли умумиаш бо ёрии резолвентахои системаи муодилахои интегралй ифода карда шудааст. Формулаи халли умумии система ба тадкики рафтори халхо дар атрофи нуктаи сингулярй ва масъалаи намуди Кошй татбик гардидааст.

Калима^ои калиди: системаи муодилахои дифференсиалии оддии хаттии тартиби дуюм, нуцтаи сингулярй, системаи муодилахои интегралии Волтерр, халли умумй, масъалаи намуди Кошй.

A.G.Olimov, N.R.Rajabov* INTEGRAL REPRESENTATIONS AND CAUCHY TYPE PROBLEMS FOR ONE SYSTEM LINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SECOND

ORDER WITH A SINGULAR POINT

B. Gafurov Khygand State University, Tajik National University

In this article the problem of integrating system linear ordinary differential equation of second order with a singular point reduces to decision of the system second type Volterra integral equations with weak singularity. General solution of the given system expressed by means resolvents system integral equations is discussed. Representation of the general solution for clarifying the characteristics of the solution in the singular point and to solve Cauchy type problem are studied.

Key words: system linear ordinary differential equations of second order, singular point, system Volterra integral equations, general solution, Cauchy type problem.