Интегральные представления и задачи типа Коши для одной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №7-8_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.91

А.Г.Олимов, академик АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабов

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

[ГУЛЯР!

УРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СВЕРХСИНГУЛЯРНОИ ТОЧКОЙ

Худжандский государственный университет им. Б.ГГафурова, Таджикский национальный университет

В статье общее решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой в двух случаях выражено с помощью резольвент системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью, к которой она сведена. Формула представления общего решения системы применена к исследованию поведения

решений в окрестности сверхсингулярной точки и задачи типа Коши. Ставится и исследуется новый тип задачи Коши. Впервые изучается система двух уравнений второго порядка общего вида со сверхсингулярной точкой со сведением их к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью

Ключевые слова: система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, сверхсингулярная точка, система интегральных уравнений Вольтерра. общее решение, задача типа Коши.

тема интегральных уравнений Вольтерра. об , a) (a > 0) вещественной числовой оси расс

В интервале Г = (0, а)(а > 0) вещественной числовой оси рассмотрим систему уравнений

вида

, a) (a > 0) вещественной числовой о

j * *t ^=Ф•>

__________________ _ .. г,.л

' + у 1 = 1.2, (1)

X • к=1

где а> 1 - действительное число, р, (х) е С"ТГ), гк (х), (х) е С(Г), ,, к = 1,2 - известные,

2 ,

у, (х) е С (Г), 1 = 1,2 - искомые функции.

тметим, что исследованию линейных обыкновенных дифференциальных уравнений высше-

Отмети ядка и с:

го порядка и систем таких уравнений первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэф-

фициентами посвящен ряд публикаций, например [1-11].

Целью настоящей работы явилось сведение решения системы (1) к эквивалентной задаче решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью и выражение её общего решения с помощью резольвент системы интегральных уравнений, а также примене-

Адрес для корреспонденции: Олимов Абдуманон Гафорович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, пр. Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: Abdumanon1950@mail.ru ; Раджа-бов Нусрат Раджабович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: nusrat38@mail.ru

ние полученного представления решений системы (1) к изучению поведения решений, выяснению постановки и решению задачи типа Коши.

Случай, когда главным считается первое уравнение системы (1). В этом случае систему (1) элементарными преобразованиями приводим к виду

Га, р,у1 =

Га, ру2 =

_/1(х) - О?! (*)у - г12 (*)у2

X

одим к

Л (X) - Г21 (X) У1 - О?2 (X) У 2 + ха О12 (X) у2

X

где г У 2Р|(x) У . ^р'^x) -аxа-1 Р1(x) + Р12(x)

где га,р1у - У}+ а У]

2а

О12( X) У

о" (X) = г. (X) - xаp1'(x) + аxа-1p'(x) - р^), / = 1,2, Оla(X) = 2[Р,

Правую часть системы (1.1), считая известной, с ее уравнения. Имеем:

огласно результ огласно результ

У1(X) = ехр[-вр (X)]\ Т"ШX),р^)О",у]-}(X-Я)О^ЯЯ-2" ехр[

|(X-Я)гпШ-2а ехр№^)]у2 Уг(X) = ехр^в^(X)]| Т" -} (X - Я)Оа (ЯЯ2; exp[Q;l (Я)] у 2 ЯМЯ +10

льтатам работ [8-10], обращаем

еря)] ^яМЯ-

(1.2)

ол , 1 = 1,2, к = 0,1 -

2а ехрер у(ЯАЯ-Г ехрвр)]У2 Я)^^ 1,

где Та [/. (X), р1 (X), о;1, о;,] = Г (X - Я) фГ

. А'л

вам=«а(X)-Р1(0)®а(X), «-ЦX)=|-Р1() р

/С

1 - произволь

р Я)] Я о^ + О. 0, 1 = 1,2,

dt, ®а( X) = [(а-1) Xа-1]-1,

ром равенстве системы (1.2) интеграл, содержащий у2Я) преобразуем интегрированием по частям. Далее, вводим новые неизвестные функции р{ (X) , / = 1,2, связанные с у. (X). / = 1,2 равенствами

У/(X) = ехр^вамр(X), / = 1,2.

Тогда система (1.2) относительно функций р. (X), / = 1,2 записывается в виде следующей системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода:

<

(Р] (х) + £ { к; (X,4)% (4)4 Та [/] (X), р (х) су1, с, о], 1 = 1,2,

(1.3)

к=1 о

где к;( х ,4) = (х-4) , к; (х ,4) = (х-4)г12(4)4"2а , к; (х ,4) = (х-4Ы44

к; (х ,4) = {(х - 4)[«2 (4)+4 а «;2 (4)+[р (4) - ;4а-1 ]«12(4)] - 4 а «,2(4)

Таким образом, приходим к утверждениям

Теорема 1.1. Пусть в системе (1) р,(х) е С1(Г), г,к(х), (х) е С(Г), /,к = 1,2, при этом

в случае а > 2 функция р1(х) удовлетворяет условию |р1(х) - рх(0)| < Нххк 1, Н1 > 0, Ь. ,> а -1

когда х ^+0 и рх(0) > 0. Функции «1 (х), , = 1,2, г;2(х), г21(х), «12(х) в точке х = 0 обращаются в нуль и удовлетворяют следующим асимптотическим равенств

(х),, = 1,2, г12(х), г21(х), «12(х) = 0(хЛ), Л>2а-1 при х^+0.

+0.

(1) эквивалент

Тогда задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) эквивалентна задаче решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (1.3) с ядрами, имеющими слабую особенность, и с непрерывной правой частью.

Замечание 1.1. Пусть в теореме 1.1 вместо р:(0) > 0 выполняется

функции (х), 1 = 1,2 в точке х = 0 равняются I

/, (х) = 0( хЛ ехр[ А(0)® а (х)])

Тогда заключение теоремы 1. Отсюда следует Теорема 1.2. Пус.

ний (1) из класса С 2(

ются нулю, а в её окрестност

1, 1 = 1,2 при х ^+0.

—

теоремы 1.1. Тогд

я формулой

условие р1 (0)< 0 и удовлетворяют равенствам

огда общее решение системы уравне-

У1 (х) = ехр[ч£( х)] \Т

Г1д(х,4)та[Г(4),Р1(4) 1 с.№4(1.4)

1 = 1,2, где ^(х,4) Вольтерра второго р>

- являются резольвентами системы интегральных уравнений

со слабой особенностью. шечание 1.2. Поведение решений системы уравнений (1), выражаемых равенством (1.4) в окрестности сверхсингулярной точки, зависит от знака числа р1 (0), если рх (0) > 0 все они стремятся к бесконечности, а если рх (0) < 0 стремятся к нулю при х ^ +0 и их порядок определяется следующим асимптотическим равенством: у1 (х) = 0(ехр[рх(0)фа(х)]), 1 = 1,2 .

Замечание 1.3. Решения системы уравнений (1), выражаемые формулой (1.4) удовлетворяют следующим равенствам:

[ехр[- р(0К (х)]В, у (х)].

■^|х=+0 С]к ■

1 = 1,2, к = 0,1,

где в", р1 у = У + ^ У, <р У = У.

Формула (1.4) позволяет поставить и решить следующую задачу для системы (1): Задача типа Коши. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2(Г) по следующим условиям в сверхсингулярной точке X = 0 :

[ехр[-■р1(0)оа(. x)]Bа, у. (X)] x=+o =

где у1к, / = 1,2, к = 0,1- заданные постоянные числа.

Для этой задачи справедливо утверждение Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы

чальных данных у., / = 1,2, к = 0,1 имеет единственное решение, кот>

(1.4), при О.к = у)к, / = 1,2, к = 0,1.

Случай, когда главным считается второе уравнение системы (1). В этом случае, действуя как выше, систему (1) приводим к следу уравнений Вольтерра второго рода:

рое уравн

ютему (1 - ^

Щ] (X)+£{ма (X яК (Я)

-ЯаО] м

7

12(Я) - [Р2(

где М1( X ,Я) = {( X-ЯЖа(Я)

м? (X, я)=(X - я)12(яя-2а, ма (X, я)

Ж" (X) = г. (X) - xаp2(x) + аxа-1p2(x) - р2

системе интегральных

, / = 1,2,

(2.1)

"Яа- 1]О12(Я)] + ЯаО12(Я)}Я

*1(ЯЯЯхм

/ = 1,2, а неи

-2 а

г( X ,я)=(X-яжаяя

-2 а

заны с искомыми

функциями

:ми у/

известные функции ^ (X), / = 1,2 свя-У/ (X) = ехр[-в;2(x)]^yJ (X), / = 1,2.

,(x),/ =

Резюмируя, сформулируем утверж Теорема 2.1. Пусть в системе (1)

1е а> 2 функция р2( X) удовлетворяет условию [р^) - р2(0)| < Н2 xh2 ,Н2 > 0, Н2 >а-1

X ^+0 - - -......

/ = 1,2, равенст вержден

еме (1) р/(X) е С1(Г), г]к(X), fj(X) е С(Г), /,к = 1,2, при этом в случае а > 2 функция р2( 4 " 1

когда X ^+0 и р2(0) > 0. Функции Ж" (X), / = 1,2, г12(X), г21(X), О12(X) в точке X = 0 обращаются в нуль и удовлетворяют следующим асимптотическим равенствам:

Ж"(X),/ = 1,2, г^), r21(x), Q12(x) = О^), у>2а-1 при X^+0.

Тогда задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) эквивалентна задаче решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (2.1) со слабой особенностью.

Замечание 2.1. Пусть в теореме 2.1 вместо р2(0) > 0 выполняется условие р2(0) < 0 и функции (х), 1 = 1,2 в точке х = 0 равняются нулю, а в ее окрестности удовлетворяют равенствам

( (х) = 0(х"1 ехр[р2 (0) оа (х)]), " > 2 а -1, 1 = 1,2 при х ^+0.

Тогда заключение теоремы опять остается справедливым. Из теоремы 2.1 следует

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда общее решение системы уравнений (1) из класса С2(Г) выражается формулой

y (х) = exp[-ß2 (х)] \ Ta [f (х), р (х) ^, ^^0 ] -

j = 1,2, где Г"'2(х,4), j, k = 1,2 - являются резольвентами системы интегральных уравнений

^ Я* —

пемы инт

• А V

Вольтерра второго рода (2.1) со слабой особенностью.

Поведение решений системы уравнений (1), выражаемых равенством (2.2) в окрестности сверхсингулярной точки, аналогично поведению решений вида (1.4).

Замечание 2.2. Решения системы уравнений (1), выражаемые формулой (2.2), обладают следующим свойством:

[exp[-p2(0> "(х)В,y.(х)]х=+0 = cjk , j = 1,2, k = 0,1. Формула (2.2) позволяет исследовать следующую задачу:

Задача типа Коши. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса C2(Г) по следующим условиям в сингулярной точке х = 0 :

[exp[-p2(0> " (х)В,, ( х)] х=+0 = Уjk,

где y2,, j = 1,2, k = 0,1 - заданные постоянные числа.

1

Относительно этой задачи справедливо утверждение, аналогичное теореме 1.3. Замечание 2.3. Использованный здесь способ исследования можно применить к изучению системы линейных уравнений n - го порядка вида

Г> wy. л'У,

у(,+np^ у^)+g ^ y<n-k)+у Im у|=m j=xm,

7 j ... a s j ^^ ^.ka s j ^^ na s l na ' ' ' '

a w ____ j

х k—2 х n х х

к подобным системам с уравнениями разных порядков, а также с разным расположением сверхсингулярной точки.

Поступило 07.06.2016 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Раджабов Н. - ДАН РТ, 2000, т. XLIII, №3, с. 33-39.

2. Раджабов Н. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 1994, №1-2(81), с. 4-9.

3. Rajabov N. Introduction to ordinary differential equations with singular and super-singular coefficients.-Dushanbe, 1998, 160 p.

4

r, 1998,

4. Rajabov N. - Seventh International Scientific Kravchuk Conference. - Kyiv, 1998, p. 425.

5. Раджабов Н., Мирзоев А.М. - Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами. -

Тез. докл. междунар. научн. конф. - Душанбе, 1996, с.71.

6. Раджабов Н., Кодиров Г.М. - Дифференциальные уравнения и их приложения. - Мат-лы

я и их прш

науч. конф., посвящ. 50-летию ТГНУ и 60-летию чл.-корр. АН РТ Раджабова Н. - Душанбе, 199 с. 46-47.

7. Раджабов Н. - Тр. 9-го междунар. симпозиума МДОЗМФ-2000. - Орел, 2000,

О

2000, с. 367-369.

8. Олимов А.Г. Современные проблемы математического анализа и их приложений. - Мат-лы междунар. научн. конф., посвящ. 60-летию академика АН РТ Бойматова К.Х. - Душанбе: Дониш, 2010, с.79-81.

9. Олимов А.Г. Современные проблемы математики и ее приложения. - Мат-лы межд. науч. конф., посвящ. 70-летию чл.-корр. АН РТ Мухамадиева Э.М. - Душанбе: Дониш, 2011, с. 99-101.

10. Дадоджонова М.Я, Олимов А.Г., Раджабов Н.Р. - ДАН РТ, 2014, т. 57, №9-10, с. 713-719.

11. Раджабов Н. - Методы теории функций и их приложения. - Мат-лы межд. науч. конф. - Душанбе, 2000, с. 33-34.

12. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: ГИТТЛ, 1950, 252 с.

Хр ¿59 /у

А.Г.Олимов, Н.Р.Рачабов*

ТАСВИРХОИ ИНТЕГРАЛЙ ВА МАСЪАЛАХОИ НАМУДИ КОШЙ БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛАХОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДИИ ХАТТИИ ТАРТИБИ ДУЮМ БО НУЦТАИ СИНГУЛЯРНОКИАШ БОЛО

\\ /V

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи академик Бобоцон Еафуров,

ш Тоцикистон

Дар макола системаи муодиладои дифференсиалии оддии хаттии тартиби дуюм бо нуктаи сингулярнокиаш боло, дар ду долатдо, ба тадкики системаи муодиладои интегралии навъи дуюми Волтерр, ки махсусияти суст дорад, овардашуда, далли умумиаш бо ёрии резолвентадои ин системаи муодиладои интегралй ифода карда шудааст. Формулаи далли уму-гтема ба тадкики рафтори далдо дар атрофи нуктаи сингулярнокиаш боло ва масъалаи намуди Кошй татбик гардидааст.

Калима^ои калиди: системаи муодилахои дифференсиалии оддии хаттии тартиби дуюм, нуцтаи сингулярнокиаш боло, системаи муодилахои интегралии Волтерр, халли умумй, масъалаи намуди Кошй.

A.G.Olimov, N.R.Rajabov* INTEGRAL REPRESENTATIONS AND CAUCHY TYPE PROBLEMS FOR ONE SYSTEM LINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SECOND ORDER WITH A SUPER-SINGULAR PO!

B.G.Gafurov KhygandState University, Tajik National University

ary dif

In the article the problem of integrating system linear ordinary differential equation of second order with a super-singular point reduces to decision of the system second type Volterra integral equations with weak singularity. General solution of the given system is expressed by means of resolvents system integral equations. Representation of the general solution are studied for clarifying the characteristics of the solution in the super-singular point and solving Cauchy type problem. Key words: system linear ordinary differential equations of second order, super-singular point, system Volterra integral equations, general solution, Cauchy type problem.

A ¿v V £