CC BY
31
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №12_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.220
Академик АН Республики Таджикистан Н.Раджабов, С.Зарипов
К ТЕОРИИ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНОГО СИММЕТРИЧНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВСКОГО ТИПА С ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ И ОДНОЙ ВНУТРЕННЕЙ СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЯМИ
Таджикский национальный университет
Изучен новый класс двумерных интегральных уравнений вольтерровского типа, симметричный по одному из переменных, ядро которого имеет граничную и внутреннюю фиксированную сингулярную линую.
Ключевые слова: двумерное интегральное уравнение - сингулярная линия - симметричное уравнение.
Через Б обозначим прямоугольник следующего вида О0 = {(х, у) : —а < х < а, о < у < Ь}, соответственно обозначим О0 — = {—а < х < о,о < у < Ь}, О0 + = {о < х < а,о < у < Ь},
Г0 = {—а < х < а}, Г = {0 < У < Ь}. В области Б= О0 \ Г1 рассмотрим двумерное интегральное уравнения типа Вольтерра следующего вида
, у)+ х щ<у)* лт^х^^ + х* <^=/(х,у}, (1)
| ^ | п Я | ? и ^
- х 1 1 0 - х 1 1 0
где А( х), В( у ) и С( х, у) - функции, заданные соответственно на Го, Г1 и О0, / (х, у) - функция, заданная на Б, р(х,у) - искомая функция. Причём функция А( х) в точке х = 0 может имеет разрыв первого рода.
Решение интегрального уравнения (1), согласно [1,2], будем искать в классе функций р( х, у ) е С (О) , р (0,0) = 0 со следующим асимптотическим поведением
(р(х, у ) = о |х\£ уе , £> 0 при (х, у) ^ (0,0). (2)
Исследованиям одномерных, двумерных и в некоторых случаях многомерных интегральных уравнений вольтерровского типа с одной и двумя сингулярными линями и областями посвящены работы [1-6].
Целью настоящей работы явилось изучение уравнения (1), когда коэффициенты этого уравнения связаны определённым образом.
Заметим, что некоторые случаи уравнения (1) изучены в [5,6].
Адрес для корреспонденции: Раджабов Нусрат. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
Пусть коэффициенты уравнения (1) между собой связаны формулой С( х, у )= А( х )В( у). Тогда уравнения (1) можно представить в виде
р(X, у) + X X * + ^ И*, $) + X Xм * * - У (X, у)
Л „ $ Щ
(3)
или
Ту [Т (р)]- У (х, у), (4)
где
/л / л X а (л)р(щ, у) , V , ч У В ($) ¥ (х, $) Тх (р) - р(х,у) + X ()^(.у) Л, Ту (¥) - ¥ (х,у) + X ( ) ( , )
-х 11 0 $
Введём следующее обозначение
Тх (р)-¥(х,у). (5)
Тогда уравнения (3) или (4) принимают вид
Ту (¥)- У(х,у). (6)
Таким образом, задача свелась к изучению двух расщеплённых систем одномерных интегральных уравнений вольтерровского типа по переменным х и у. Согласно [1-2], если В(у) удовлетворяет условию Гёльдера на Г и В(0)<0, функция / (х ,0)=0 с асимптотическим поведением
У(х,у) =0[УУ1 ], У1 > |в(0)|, при У ^ 0, тогда решение уравнения (6) даётся при помощи формулы
в(0)
¥(х,у)-у-в(0)еЧ(у)с(х) + у(х,у)- П 1 еЧ(у—у(х,з)<Ь, (7)
о IУ ) 55
где с(х) - произвольная функция точек кривой Г . Решение вида (7) получено при предположении, что / (х ,0)=0, с асимптотическим поведением
У (х,у) =0[у*2 ], у2 > |В(0)|, при у ^ 0.
Если В(0)>0, В(у) удовлетворяет условию Гёльдера, ¥ (х,у) е С(И0), тогда согласно [1], решение уравнения (6) даётся формулой
у ( ^в(0) о/ \
¥ (х,у)-У (х, у)-}!- е№Ь (у)-^ (5) ^ у (х, у) аз. (8)
О I У ) 55
Таким образом, в равенстве (5) правая часть неизвестной функции ¥ (х, у) найдена. Подставляя найденное значение ¥ (х, у) из (8) в правую часть (5), приходим к решению одномерного
симметричного интегрального уравнения вольтерровского типа с сингулярной линей по переменной х .
Согласно [1], когда А(+0)<А(-0) и / (х, у) е С (О0) обращаются в нуль на Г с асимптотическим поведением
/ (х, у) =0[ х1,3 ], Уз > |А (+0) — А(—0)1, тогда решение уравнения (4) даётся формулой
Г Т(х,у) — К [Т(х, у)] + <0 (х,у)о,(у),когда (х, у) еD0+ 1
<( х, у )Ч , ч 1Г , 4-1 , Ч Ь (9)
["Т (—х, у) + К11_1Т (х, у)] — <0 (х, у) с (у), когда (х, у) е Do— ]
где с (У)— произвольная функция точек Г,
Е(0) Г л{Лгхп{* л( *
К[Т(х,уехр(М(,) — М(х)) АС)(Т(',у) + А'М—у)к
0 х V г1
0
<0 (х, у ) = хЕ(0) ехр (—М (х)) М (у ) = \ В (Я) — В(0)
М (х) = |Е(<)— Е(0)(*) = А^) — А(Ч) , Е(0) = А(+0) — А(— 0).
Е
0
Если А (+0 )> А (—0 ), / ( х, у ) е С(О0) и / (0,у)—0 с асимптотическим поведением
Т(х,у) =[0[| х Г4]], г > 0 при х ^ 0, тогда, согласно [1], решение уравнения (5) даётся формулой
[Т(х, у) —К1 [Т(х, у)], когда х еD0+
<(x, у ) = 1 / ,г ,
[Т(—х,у) + к; [Т(х,у)], когда х еD0
(10)
Случай 1. Пусть В(0)<0, А(+0)<А(-0). Тогда в представлении (9) вместо ¥ (х, у), подставляя её значение из (7), получим решение уравнения (1) в виде
( ЛК; [с (х), с; (у)]+К2[/ (х у)], когда (х, у) еВ0
Кз[с (х), с (у)]+К4[/ (x, у)], когда(х у) е А
где К [с(х),С (у)] , (¡=1,3), К [У (х, у)], (т=2,4), - известные интегральные операторы в [5].
Как в [1], легко можно убедиться, что если в интегральном представлении (11), функции У (х, у) е С (Д), У (0,0) - 0 с асимптотическим поведением
У (х,у) =0[| х р у6 ], у5 > \Е(0)|, у6 >| В(0) |при (х,у) ^ (0,0) (12)
и произвольные функции с (у), с (х) удовлетворяют следующим условиям:
1) с (0) - 0, со следующим асимптотическим поведением
с(х) =0[| х|У7], у > |Е(0)| при X ^ 0; (13)
2) с (0) - 0, со следующим асимптотическим поведением
С (у) =0[уг], 8> 0 при X ^ 0, (14)
тогда интегралы в представлении (11) сходятся и любое решение уравнения (1) из класса С (Д) , обращающееся в нуль в точке (х, у ) = (0,0), представимо в виде (10), где С (у), С (х) - произвольные функции точек Гои Гх. Причём С (0)- 0 с асимптотическим поведением (13) и с (0)- 0 с
асимптотическим поведением (14). Таким образом, доказана
Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (1), А(х)е С(Г0 \{0}) и в точке х=0 имеется
разрыв первого рода. В окрестности точек х=о, А(х) удовлетворяет условию Гёльдера и А(+0)<А(-0). Функция В(у) в окрестности точек у=0 удовлетворяет условию Гельдёра и В(0)<0. Функция
/(х,у) е С( Д),/(0,0)=0 с асимптотическим поведением (12).
Тогда обещие решение уравнения (1) из класса С( Д) даётся формулой (11),
где с (х)е с (Г0), с (0) - 0 с асимптотическим поведением (13),
С (у)е с(г), ^ (0) - 0 асимптотическим поведением (14).
Случай 2. Пусть В(0)>0, А (+0)>А(-0), Е(0)>0, тогда в представление (10) вместо ¥ (х,у), подставляя её значение из (8), получим решение уравнения (1) в виде
, ч IК2 [у (х у)], когда (Л у) еБ
р( ^ у . (15)
К4 [У (х,у)], когда (х,у) еБ
Из представления (11) следует, что если В(0)>0, Е(0)>0, тогда, для существования интегралов в этих интегральных операторах достаточно, чтобы / (0,0)—0 с асимптотическим поведением (2). Таким образом, доказано следующие утверждение
Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (1) функции A(x) и B(y), cответственно в окрестности точках х=0 из Г0 и у=0 из Г удовлетворяют условию Гёльдера. Функция A(x) в точке x=0
может иметь разрыв первого рода и E(0)>0, B(0)>0, функция f(x,y)е ), Д0,0)=0, c асимптотическим поведением (2). Тогда интегральное уравнение (1) в классе ^О0) обращается в нуль в точке
(x,y)=(0,0) и имеет единственное решение, которое даётся при помощи формуы (15).
Случай 3. Пусть В(0)>0, А(+0)<А(-0), Е(0)<0. В этом случае, если решение уравнения (6) существует, тогда оно даётся формулой (8).
В представлении (9) вместо ¥ (х, у), подставляя её значение из (8), увидим, что если решение уравнения (1) в этом случае существует, тогда оно даётся формулой
Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении (1) A(x) е С(Г0 \ {0}), и в точке х=0 имеется
разрыв первого рода, и в окрестности точек х=0, A(x) удовлетворяет условию Гёльдера и А(+0)<^(-0). Функция B(y) в окрестности точек у=0, удовлетворяет условию Гёльдера и B(0)>0.
(16)
Функция ^,у) е С(О), М0)=0 с асимптотическим поведением
Тогда интегральное уравнение (1) всегда разрешимо и его решение из класса
С(О) даётся формулой (16), где с (у) - произвольная непрерывная точек Г, причём с (0) = 0 с асимптотическим поведением (14).
Случай 4. Пусть В(0)<0, А (+0)>А(-0), Е(0)>0.
Тогда в представлении (10) вместо подставляя её значение из (7), получим решение
уравнения (1) в случае
К7 [с (х); / (х, у)], когда (х, у) е D+ К8 [с (х); / (х, у)], когда (х, у) е D— '
где
К7 [ с ( х ) Г ( х,у )]
= у - 5(0 И (
X >
с (х) -1 - у 5(0^у) ехр ( ^ (-) - ^ (X)) X
А (-) С (t) + А (--) С (--)'
а- + К2 [ Г ( х,у )];
К8 [с (х) Г (х,у)]
X . Е(0)
= у -5(0 ^у )с (-х ) + } - у 5(0 у) ехр (^ (-) - ^ ( х )) X, 0х
' А (,) С + А ) с (-,) > - + К [Г (х у}]
с(х)- произвольная функция точек Г.
Итак, в этом случае имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть в интегральном уравнении (1) функция А(х) е С( Г0 \ {0}) и в точке х=0
имеет разрыв первого рода, и в окрестности точек х=0, удовлетворяет условию Гёльдера, А(+0)>А(-0).
Функция В(у) е С(Г) в окрестности точек у=0 удовлетворяет условию Гёльдера и В(0)<0.
Функция /(х,у) е С(Д ), /(0,0)=0 со следующим асимптотическим поведением / (х, у) =0[| х у62 ],
£> 0Д > \в (0), при (х,у) ^ (0,0).
Тогда интегрального уравнения (1) всегда разрешимо и его решения из класса с( Д), даётся
формулой (17), где с(х)- произвольная функция точек Г0, причём с(х)е (Г0) с(0) = 0 с асимптотическим поведением
с(х) =0[| х |е], £> 0, при х ^ 0.
В случаях, когда общее решение интегрального уравнения (1) содержит две произвольные функции одного переменного для уравнения (1), можно ставить и исследовать различные граничные задачи. В случае, когда выполнены все условия теоремы 1, для уравнения (1) ставится следующая задача.
Задача Я1. Требуется найти решение интегрального уравнения (1) при В(0)<0, Е(0)<0 по граничным условиям
0
(уВ(0)р(х, у)) у=+0 = О;+ (х),0 < х < а
^ (уВ(0)р(—х, у)) у=—0 = О2— (х), —а < х < 0
у=—0 2 '
(|х|Е(0) р(х, у))х=0 = Оз+ (у),0 < у < Ь
где О]+ (х), О2 (х), О3 (у) - заданные функции точек Г0 и Г .
Задача исследуется с использованием интегрального представления решений уравнения (1) при В(0)<0, Б(0)<0, А (0) < 0 .
О разрешимости задачи имеет место следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Кроме того, пусть существуют следующие пределы,
/ (х ) = Нш(/(х, у) уВ(0)), /2 (х ) = Нш(/(—х, у) уВ(0)).
у^0 у^0
Кроме того, пусть / (0) = /2 (0) =0, со следующим асимптотическим поведением
/ (х) = 0[| х Г8], г8 >| Е(0) + А1 (0) |, ] = 1,2 при x^ 0. Функция ^ (х ) = (О* (х ) + О+ (х ) — / (х ) — /2 (х ) ), где
О+( х ) =
= с ( х ) +
с (х)+ х 'в
М„—К ( х)
х х Е(0)
(уВ(0)С; (у))у=0 + (К2 [/(х, у)]уВ(0))у=0 — | - ехр (М (-) — К (х))
А (-) С (Г) + А (—Г) С )'
Ж,
О— ( х) =
= с (—х) + |х|' 4 " в
1Е(0)1„—К(хЪ ,В(0)
(уВ(0)с; (у))у=0 + К[/(х, у)]уВ(0))у=0 +|- ехр (К (-) — К (х)) •
Е(0)
А (-) С (I) + А (^ ) С (^ )
Ж,
в точке х=0 обращается в нуль, то есть ^ (0) = 0 со следующим асимптотическим поведением
^ (х) = 0[| х Г9], г >|Е(0) |, при x^ 0.
Функции О+ (х), / (х), такие, что разность О+ (х) — / (х) в точке х=0 обращается в нуль со следующим асимптотическим поведением
О+ (х) — / (х) = 0[| х Г10 ] , Го >| Е(0) + А (0) | при x^ 0.
0
0
Существует следующий предел с2 = lim (с (У) УB(0)) = 0 > где
"•л^ ____________B (5 )
с (у) = Д+(у)-у - 5(0)^1( у )с0 - / (у)+П £ е^ММ ^ / & Ж, / (у ) =
о I у) 5 .
= (1 хГ(0) Л ( х, у ))х=0 Причём Л (0) = 0, со следующим асимптотическим поведением
Лз (у ) = 0[ у711], У 11 >| в (0) | при у ^ 0.
Тогда задача Я1 имеет единственное решение, которое даётся формулой (11), где с (х) определяется при помощи формулы
с (X) = Д+ (X) + |xf(и)+A(0)l (1 )-WA (X) с3 - Л (X) -
E (0)+4(0 )|
I E (0)+Al(0)l W (X )-W\( x
X Ai-Л vlE(0)+ Al(0)|
j ^ - exp (WE (r) - WE (X) + W\ (r) - W\ (X)) (+ - f (r) - f (r) )dr + j X exp (WE (r) - WE (X) + Wl (r) - Wl (X)) A (t) f (rM(-r) f (r) dr -
X |E(0)+Ai(0)| A (Л
1X exp (WE (t) - WE (X) + Wli (t) - Wli (X)) (D (t) - f (t)) ^ dt,
X
+
0
где с3 - произвольная постоянная.
Аналогичным образом ставятся, и исследуются задачи типов R в случаях B(0)>0, E(0)<0 и
B(0)<0, E(0)>0.
Поступило11.11.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Раджабов Н. Интегральные уравнении типов Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Душанбе, 2007, 221 с.
2. Раджабов Н. Раджабова Л. Введение в теорию многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра с фиксированными сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Germany; LAP LAMBERT Academic Publishing 2011, 502 p.
3. Rajabov N. Volterra type integral equation with boundary and interior fixed singularity and super-singularity kernels and their application. - Germany; LAP LAMBERT Academic Publishing ; 2011, 282 p.
4. Раджабов Н. Многомерное интегральное уравнение вольтеровского типа с сингулярными граничными областями в ядрах. - ДАН России, 2011, т. 473, №2, с.1-3.
0
5. Раджабов Н., Зарипов С. Об одном двухмерном интегральном уравнении вольтерровского типа с одной граничной и одной внутренней сингулярной линиями. - Мат-лы XI Школы молодых ученых Российской Федерации. - Россия, Трескол, 4-8 декабря 2013, 52-55 с.
6. Раджабов Н., Окили Б. Модельное двумерное симметричное интегральное уравнение вольтерровского типа с одной граничной и одной внутренней сингулярной линей. - Вестник Таджикского национального университета, 2012,№ 1/2(81), с. 43-48 c.
Н.Рачабов, С.Зарипов
ДАР БОРАИ ЯК СИНФИ МУОДИЛА^ОИ ИНТЕГРАЛИИ ДУЧЕНАКАИ СИММЕТРИИ НАМУДИ ВОЛТЕРРА БО ЯК ХАТИ ДОХИЛЙ ВА
САРХАДИИ МАХСУС
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола як синфи нави муодилахои дученакаи нисбатан ба яке аз тагирёбандахо симметрии интегралии намуди Волтерра, ки ядрои он якто хати махсуси кайдкардашудаи сархадй ва якто хати махсуси дохилй доранд, омухта шудааст.
Калима^ои калиди: муодилаи дученакаи интегралы - хати сингуляри - муодилаи симметри.
N.Rajabov, S.Zaripov
TO THEORY ONE CLASS OF SIMMETRICAL TWO DIMENSIONAL VOLTERRA TYPE INTEGRAL EQUATION WITH ONE BOUNDARY AND ONE INTERIOR
SINGULAR LINES
Tajik National University In this work, we investigation one new class of the two dimensional symmetric Volterra type integral equations with one boundary and one interior singular lines. Key words: two dimensional integral equation - singular lines - symmetrical equation.
