К теории одного класса двумерного симметричного интегрального уравнения вольтерровского типа с одной граничной и одной внутренней сверхсингулярной линиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №1_

МАТЕМАТИКА

удк 517.968.220

Академик АН Республики Таджикистан Н.Раджабов, С.Б.Зарипов

К ТЕОРИИ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНОГО СИММЕТРИЧНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВСКОГО ТИПА С ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ И ОДНОЙ ВНУТРЕННЕЙ СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЯМИ

Таджикский национальный университет

Изучен новый класс двумерных интегральных уравнений вольтерровского типа, симметричный по одному из переменных, ядро которого имеет граничную и внутреннюю фиксированную сверхсингулярную линию.

Ключевые слова: двумерное интегральное уравнение - сверхсингулярная линия - симметричное уравнение.

Через D обозначим прямоугольник следующего вида D0 = {(х, y) : —a < х < a,o < y < b j, соответственно обозначим D0 = {—a < х < о,о < y < bj, D0 + = {о < x < a,o < y < bj,

Га ={—a < x < aj, Г = {0 < y < bj. B области D= D0 \ Г рассмотрим двумерное интегральное уравнение типа Вольтерра следующего вида

р( х, y)+)X*d< + + Xifii^^ds = f (х, y), (1)

- х I t I 0 S - х\*\ 0 S

где: А( х), В(y) и С( х, y) - функции, заданные соответственно на Го, Г и D0; f (х,y) - функция, заданная на D; а = const > 1, 3 = const > 1, (р (х, y) - искомая функция. Причём функция А(х)

в точке х = 0 может иметь разрыв первого рода.

Решение интегрального уравнения (1), согласно [1-5], будем искать в классе функций

у (х, y) е С (D), у (0,0) = 0 со следующим асимптотическим поведением

р(х, y) = о |x|S ySl , SY >а — 1, S2 >3 — 1 при (x, y) ^ (0,0).

Целью настоящей работы явилось изучение уравнения (1), когда коэффициенты этого уравнения между собой связаны определённым образом и а > 1, 3 > 1.

Проблеме исследования одномерных и двумерных уравнений типа (1) посвящены работы [1-5]. Мы используем методику исследований, разработанную в [1] и [2].

Пусть коэффициенты уравнения (1) между собой связаны формулой С( х, y )= А( х )В( y). Тогда уравнение (1) можно представить в виде

Адрес для корреспонденции: Раджабов Нусрат. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Доклады Академии наук Республики Таджикистан 2015, том 58, №1

И X. у) ♦ 1ХИ * + ^ И*..) + 1 ХИ * & - / (X. >) (2)

или

ту [тх (ф)]-f (х,у), (3)

где

Г (И) -ф, у) +1 Л». г, ( Т ) - Т (х, у) +1в (д) Т/хд) л.

| » | Л ^

-, 1 1 0

Введём следующее обозначение

Т, (ф)- т (х, у). (4)

Тогда уравнения (3) или (4) принимают вид

Ту ( Т )- / (х, у ). (5)

Таким образом, задача свелась к изучению двух расщеплённых систем одномерных интегральных уравнений вольтерровского типа по переменным х и у . Теория данной задачи разработана

в [1]. Согласно [1-5], если В(у) удовлетворяет условию Гёльдера на Г и В(0)<0, функция / (х ,0)=0

с асимптотическим поведением

/ (х. у) =0[ у5з ], 5з > в -1, при у ^ 0.

тогда решение уравнения (5) даётся при помощи формулы ([1] с.16 и 206)

Т (х, у) - ехр [В (0) шр (у) - Wbp (у)] с (х) + Г (х, у) -

-}ехр [ В ( 0)(шр (у )-шр (8 )) + (в )-(у )] / (х,з ) ^ аз,

(6)

0

где с (х) - произвольная функция точек кривой Г . Решение вида (6) получено при предположении, что / (х ,0)=0 с асимптотическим поведением

/(х.у)- 0[ехр(В(0)юр (у))у8* ], 5«> а -1 при у ^ 0.

Если В(0)>0, В( у) удовлетворяет условию Гёльдера, Т (х, у) е С() , тогда, согласно ([1] с 17), решение уравнения (5) даётся формулой

Т (х,у )- Г (х,у )-1 ехр [В (0 )(Шр (у )-шр (з )) + Wbр (з )-Wbр (у )]/(х,з) В^ аз . (7)

х

Таким образом, в равенстве (4) неизвестная функция ¥ (х, у) найдена через значение

I (х, у) . Подставляя найденное значение ¥ (х, у) из (7) в правую часть (4), приходим к решению

одномерного симметричного интегрального уравнения вольтерровского типа со сверхсингулярной линей по переменной х.

Согласно [1], когда А(+0)-А(-0)<0 и I(х, у) е С() обращаются в нуль на Г с асимпто-

тическим поведением

I(х,у) =0[х8*], 54 >|А(+0)-А(-0)|-1, и

I(х, у) = 0 ехр(в(о)ша (х))х®5 , 55 > а -1 при х ^ 0,

тогда решение уравнения (3) даётся формулой

|>(х,у)-Ка[¥(х,у)] + Фа(х,у)с2(у), когда (х,у) е D0+ Ф (х,у) = <

|^(-х,у) + ка[¥(х,у)]-Фа(х,у)С2 (у), когда (х,у) е Do где с2 (у) - произвольная функция точек Г,

ка [ ¥ (х,у )] =

х

| ехр ((1) - WEа (х) + Еа (0) (ша (X) - ша (t)))

А (1) ¥ (^ у ) + А (-1) ¥ (-^ у )

dt,

Фа (х,у) = ехр[Еа (0) Ша ( х) - WEа (х )], Wbp (у ) = I

В ( ^ )- В(0)

ds,

^^Б (х ) = |

} Еа( 1)- Еа (0)

Л, Еа( 1 ) = А(1)- А(-1), Еа(0) = А(+0)- А(-0).

Ш

а (х) = [(а -1) | х |а-1 ]-1, ШР (у) = [(в -1)ув-1 ]-1.

Пусть А (+0)- А (-0) > 0, I (х, у ) е С(00) и I (0, у) 0 с асимптотическим поведением

¥ (х, у) =0[ | х |8й ], 56 > 0 при х ^ 0, тогда, согласно ([1] с17), решение уравнения (4) даётся формулой

¥(х,у)-Ка [¥ (х,у)], когда х е D0+

Ф ( x, у ) =

¥(-х, у) + ка [¥ (х, у)], когда х е D0

(8)

(9)

0

5

0

а

0

Таким образом, когда решение интегрального уравнения (1) при В(0)<0, Еа (0) =А(+0)-А(-0)<0 и при В(0)>0, Еа (0) =А(+0)-А(-0)>0 существует, тогда оно представимо соответственно в видах (8) и (9).

Теперь выясним при каких условиях на функции, присутствующих в интегральном уравнении и правой части, решение интегрального уравнения (1) существует.

Случай 1. Пусть В(0)<0, Еа (0) =А(+0)-А(-0)<0. Тогда в представлении (8) вместо ¥ (х, у), подставляя её значение из (6), получим решение уравнения (1) в этом случае

[к^ [с, (х), с2 (у)] + [/ (х, у)], когда (х, у) е/)0 (

П ^ У ) = 1 , г / ч / чП д Г / чП Г' (10)

[с (х), С2 (у)] + КГ [/ (х, у)] когда (х, у) е D0- '

где

Кл [с (х), с2 (у)] = ехр [В (0) юр (у ) - (у )] с (х) -

х

-1ехр (WEа (1) - WEа (х) + Еа (0) (ша (х) - ша (t))) х

0

х ехр [В (0) шр (у ) - (у)] |^-а (А (t) с, (t) + А (-1) с, ( -1)) ^ + + ехр[Еа (0)ша (х)-Ш]? (х)]С2 (у);

К2аа[Пх,у)] = Цх,у) - ехр [В(0) (оор(у) - а)р(з)) + Шьр(5) -

- |%хр (шЕа (0 - ШЕа (я) + Еа( 0 )(оа(х) - оо а(0) ) | I | - а (А(0^у) + А(-) К-1,у)) Л + |оХехр(шЕа (1)-ШЕа (я) + Е а (0) (оа (х) - о>а (0) )"А(г^ х ехр [В(0) (о)р(у) - шр(5)) + Шьр(5) - Шьр(у)] ^/(£, + |Хехр (шЕа (0 - ШЕа (я) + Е а ( 0 ) ( о а(х) - о а(0) ^ехр [В(0) (о)р(у) - шр(5)) + Шьр(5) -Ка,а [с (-х), С2 (у )] = ехр [В (0) юр (у ) - (у )] с, (-х) +

х

ехр ((1) - (х)+Еа (0) (ша (х) - ша (t))) х

-'о

X

(ехр [В (0) шр (у) - (у)] |^-а (А (t) с, (t) + А (-) с, (-)) dt --ехр[Еа(0)ша(х)-Ш](х)]С2 (у);

K4a а [f(х, y )] = f ( - х, y ) -J exp [ B (0 ) ( rop (y ) - шр (s)) + Wbe (s ) - Wbe (y )] f (-x, s ds+

0 5

X

+J exp (WE (t)-WE ( x ) + Ea(0 )( ша ( х )-ша (t )))| t|-a ( A (t) f (t,y ) + A (-1) f (-t,y )) dt -

0

-jexp (WEa (t) - WE ( x ) + Ea (0 )( Ша ( х ) - Ша (t)))-A^ dt x

0 rl

xJ exp [ B (0 )( шр (y )-шр (s)) + Wbe (s )-W> (y )] ^ f (t,s ) ds -

0 5

- J exp ( WE (t) - W-E (x) + Ea (0) (Ша (х) - Ша (t))) dt x

0 rl

xy exp [ B (0 ) (шр (y ) - ШР (s)) + Wbe (s ) - W> (y )] ^ f К s ) ds.

0 5

Как в [1] и [5], легко можно убедиться, что если в интегральном представлении (10) функция f (x, y) е C (D0 ), f (0,0) = 0 с асимптотическим поведением

f (x,y) =0[| x j8' y8* ],87 >a-1, 58 >p-1 при (x,y) ^(0,0) (11)

и произвольные функции c (x), c2 (y) удовлетворяют следующим условиям:

1) c (0) = 0, со следующим асимптотическим поведением

С (x) =0[|x|89], 89 >а-1 при х ^0; (12)

2) c (0) = 0, со следующим асимптотическим поведением

С2 (y) =0[y510 ], 8 ю >Р-1 при у ^ 0, (13)

тогда интегралы в представлении (10) сходятся и любое решение уравнения (1) из класса C (D0) , обращающееся в нуль в точке (x, y) = (0,0), представимо в виде (9), где c (x), c2 (y) - произвольные функции точек Гси Гх, причём c (0) = 0 с асимптотическим поведением (13) и c2 (0) = 0 с

асимптотическим поведением (13). Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (1) A(x) е C(Г0 \{0}) и в точке x=0 имеется разрыв первого рода и а = const > 1, @ = const > 1. В окрестности точек х=0, А(х) удовлетворяет условию Гёльдера и А(+0)-А(-0)<0. Функция B(y) в окрестности точек y=0 удовлетворяет условию Гёльдера и B(0)<0. Функция f(x,y) е C(D0), f(0,0)=0 с асимптотическим поведением (11).

Тогда общее решение уравнения (1) из класса C(D0) даётся формулой (10). Случай 2. Пусть B(0)>0, Ea (0) >0, (А(+0)-А(-0)>0), тогда в представлении (9) вместо ¥ (x,y), подставляя её значение из (7), получим решение уравнения (1). В этом случае

[Kf [/ (x, y)], когда (x, y) eD0 + 1 Ф (x,y) = [ [ ] [. (14)

[ K4,a [ / (x, y)] когда (x, y) e D~ J

Из представления (10) следует, что если B(0)>0, Ea (0)>0, тогда для существования интегралов в этих интегральных операторах достаточно, чтобы / (0,0)=0 с асимптотическим поведением, а

/(x,y) = о[|xfn y^2], Sn >а —1, J12 >p-1 при (x,y) ^(0,0) . (15)

Таким образом, доказано следующее утверждение

Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (1) а = const > 1, Р = const > 1 и функции A(x) и B(y) сответственно в окрестности точек х=0 из Г0 и y=0 из Г удовлетворяют условию Гёльде-ра ( | A (x) — A(±0) | < H I x |у, у > а — 1). Функция A(x) в точке x=0 может иметь разрыв первого рода и Еа (0)>0, B(0)>0, функция f(x,y)e C(D0), f(0,0)=0 с асимптотическим поведением (15). Тогда интегральное уравнение (1) в классе C(D0) обращается в нуль в точке (x,y)=(0,0) и имеет единственное решение, которое даётся формулой (14).

Случай 3. Пусть B(0)>0, А(+0)-А(-0)<0, Еа (0)<0. Тогда в представлении (8) вместо ¥ (x, y), подставляя её значение из (7), увидим, что если решение уравнения (1) в этом случае существует, тогда оно даётся формулой

[Kf [/ (x, y), c2 (y)], когда (x, y) e D+1 Ф(x,y ) = < J, (16)

[ K6,a [/(x, y), C2 (y)], когда (x, y) e D J

Kf [/(x, y), C2 (y )] = Kf [/(x, y )] + exp[Ea (0) ша ( x) — WE (x )C (y ),

K^ [/ (x, y ), C2 (y )] = [/ (x, y)] — exp[Ea (0) ша (x) — We" (x )C (y ),

c2 (y) - произвольная функция точек Г .

Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении (1) A(x) e C(Г0 \ {0}) и в точке х=0 имеется

разрыв первого рода и в окрестности точек х=0, A(x) удовлетворяет условию Гёльдера и Ea (0)<0. Функция B(y) в окрестности точек y=0 удовлетворяет условию Гёльдера и B(0)>0. Функция f(x,y)

e C(D0), f(0,0)=0 с асимптотическим поведением (15).

Тогда интегральное уравнение (1) всегда разрешимо и его решение из класса С(О0) даётся формулой (16), где с2 (у) - произвольная непрерывная точка Г, причём с2 (0) = 0 с асимптотическим поведением (13).

Случай 4. Пусть В(0)<0, Ea (0)>0. В этом случае, если решение уравнения (5) существует, тогда оно даётся формулой (6).

Тогда в представлении (9) вместо ¥ (х, у), подставляя её значение из (6), получим решение уравнения (1). В этом случае

кг [/ (х, у),01(х)], когда (х, у) е D+1 <р( х,у) = «| [ ] I (17)

[ К8,а[/(х,у),0! (X)], когда (х,у) е Б \

где

ка,а[/(х,У),С2 (у)] = К2,а [/(х,у)] + ехр[В(0)шр (у)-Wp (у)]е, (х)-

х

-1 ехр (WEa (1) - WEa (х) + Еа (0) (Ша (х) - Ша (t))) х

0

х ехр [ В ( 0) ШР (у ) - Wp (у )](| t|-а (А (t) е, (t) + А (-t) е, (-t)))

Ка,а [/ (х, у), С2 ( у )] = Ка,а [/ (х, у )] + ехр [в(0) шр (у )-(у )] (-х ) +

ехр (^^а (1) - ^^Е (х) + Еа(0) (Ша (X) - Ша (t))) х

0

х ехр [В (0) шр (у) - (у )] (|-а ( А (t) е, (t) + А (-1) е, (-t))) Л;

^ (х)- произвольная функция точек Г, причём с (0) = 0 с асимптотическим поведением (12). Итак, в этом случае имеет место следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть в интегральном уравнении (1) функция А(х) е С(Г0 \ {0}) и в точке х=0 имеет разрыв первого рода и в окрестности точек х=0 удовлетворяет условию Гёльдера, ( | А (х)- А(±0) | ^ Н\\х |У, У > а -Еа (0)>°. функция В(у) е С (Гх) в окрестности точек у-0

удовлетворяет условию Гёльдера и В(0)<0. Функция /(х,у) е С(О0), /(0,0)=0 с асимптотическим поведением (15).

Тогда интегральное уравнение (1) всегда разрешимо и его решения из класса С(О0) даётся формулой (17), где ^ (х)- произвольная функция точек Г0, причём с (х)е (Г0) с (0) = 0 с

асимптотическим поведением (12).

В случаях, когда общее решение интегрального уравнения (1) содержит две произвольные функции одного переменного, для уравнения (1) можно ставить и исследовать различные граничные

задачи. В случае, когда выполнены все условия теоремы 3, для уравнения (1) ставится следующая задача.

Задача K. Требуется найти решение интегрального уравнения (1) при B(0)>0, Ea (0)<0 по

граничному условию [ exp(—Ea (ü)(ша (х)))^ (л,y)]х=0 = (y) , где Д+(У) - заданная функция

точек Г . Для разрешимости задачи К имеет место следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть в интегральном уравнении (1) функции A(x), B(y), f(x,y) удовлетворяют всем условиям теоремы 3. Кроме того, пусть в задаче К функция (y) е С(Г), D(ü) = ü со следующим асимптотическим поведением

D+,a (У) = 0[У71], /г >ß — 1 при y ^ Ü. Кроме того, пусть существует предел

fi ( y) = [exp(—Ea (0)(ша (х)))/ (л, y )]x=o, причём f (ü) = 0, со следующим асимптотическим поведением

fi (У) = 0[ys], (0>ß — 1 при y ^ 0.

Тогда задача К имеет единственное решение, которое даётся формулой (16), где с (У) определяется при помощи формулы

с ( У ) = Д+,в( У)—fi (л, У ) +Jexp [ B (ü)( шр (У ) — шр (s)) + Wbß (s ) — Wbß (y )]/ (л, 5 )Ш ds.

о 5

Аналогичным образом ставятся и исследуются задачи типов K в случаях B(0)>0, Ea (0)<0 и B(0)<0, Ea (0)<0.

Поступило 24.11.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Раджабов Н. Интегральные уравнении типов Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Душанбе, 2007, 221 с.

2. Раджабов Н., Раджабова Л. Введение в теорию многомерных интегральных уравнений типа Воль-терра с фиксированными сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения.- Germany; LAP LAMBERT Academic Publishing 2011, 502 p.

3. Раджабов Н., Зарипов С. Об одном двухмерном интегральном уравнении вольтерровского типа с одной граничной и одной внутренней сингулярной линиями.- Мат-лы XI Школы молодых ученых Российской Федерации. - Россия, Трескол, 4-8 декабря 2013, 52-55 с.

4. Раджабов Н., Зарипов С. Б. Краевые задачи для одного класса двумерного симметричного по одному из переменных интегрального уравнения Вольтерра с двумя сингулярными линиями. Номаи Донишгох, ХГУ. 2014, с. 230-232.

5. Раджабов Н., Зарипов С. К теории одного класса двумерного симметричного интегрального уравнения Вольтерровского типа с одной граничной и одной внутренней сингулярной линиями. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №12, с. 962-970.

Н.Рачабов, С.Б.Зарипов

ДАР БОРАИ ЯК СИНФИ МУОДИЛА^ОИ ИНТЕГРАЛИИ ДУЧЕНАКАИ СИММЕТРИИ НАМУДИ ВОЛТЕРРА БО ЯК ХАТИ ДОХИЛЙ ВА ЯК ХАТИ

САРХДДИИ СУПЕРСИНГУЛЯРЙ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола як синфи нави муодилах,ои дученакаи нисбатан ба яке аз тагйирёбандах,ои симметрии интегралии намуди Волтерра, ки ядрои он якто хати махсуси суперсингулярии кайдкардашудаи сархддй ва якто хати махсуси суперсингулярии дохилй доранд, омухта шуда-аст.

Калима^ои калиди: муодилаи дученакаи интегралы - хати суперсингуляри - муодилаи симметри.

N.Rajabov, S.B.Zaripov

TO THEORY ONE CLASS OF SIMMETRICAL TWO DIMENSIONAL VOLTERRA TYPE INTEGRAL EQUATION WITH ONE BOUNDARY AND ONE INTERIOR

SUPERSINGULAR LINES

Tajik National University

In this work, one new class of the two dimensional symmetric Volterra type integral equations with one boundary and one interior super singular lines are investigated.

Key words: two dimensional integral equation - supersingular lines - symmetrical equation.