CC BY
11
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №3_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.987.1
Л.Н.Раджабова, Г.Н.Шукурова О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ СИММЕТРИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА С ОСОБЕННОСТЬЮ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ В ЯДРЕ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 10.01.2018 г.)
В работе исследованы некоторые случаи симметричного двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с особенностью и логарифмической особенностью в ядре. В случае, когда параметры уравнения связаны между собой, получены явные решения интегрального уравнения, содержащие произвольные функции.
Ключевые слова: симметричное интегральное уравнение, логарифмическая особенность, произвольные функции, асимптотическое поведение, непрерывные функции, обращение в нуль.
Через R обозначим прямоугольник Л = {(х, у) : -а < х < а;0 < у < Ь}. Соответственно обозначим Я1 = {(х, у) : -а < х < 0;0 < у < Ь} , Л2 = {(х, у) :0 < х < а;0 < у < Ь},
Г1 = {-а < х < 0, у = 0}, Г2 = {0 < х < а, у = 0} , Г3 = {х = 0,0 < у < Ь}, Л = . В облас-
ти Л рассмотрим двумерное интегральное уравнение:
/ ч г х u (t, y) ru (x, s )
u(x,y)+| p + qln— 4 7dt + AI ds +
-x L г J Щ о s
u (t, yI Уи (x, s I
v' / ^ , 2 Г V ' / .
}dsX x dt}u(t,s)
+Jij\ Pi+qilnt y\J^^=f(x,y), (1)
где / > 1, р,q, А, р1, q1-заданные числа, /(х,у)-заданная функция на Л,и(х,у) - искомая функция.
Ранее интегральное уравнение (1) было исследовано в случае q = 0, р = А(х), А = 0, рх = 0, q1 = 0 в [1], в случае А = 0, р1 = 0, q1 = 0 в [2-5] получено явное решение интегрального уравнения (1).
Решение интегрального уравнения (1) будем искать в классе функций и (х, у) е С (Л) , обращающихся в нуль в начале координат с асимптотическим поведением
Адрес для корреспонденции: Раджабова Лутфия Нусратовна, Шукурова Ганджина Нарзикуловна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: lutfya62@mail.ru; ganjin.shukurova0208@mail.ru
и(X,у) = 0[XеуП ],8 > 0, ух > 1 при X ^ 0,у ^ 0. В случае, когда р1 = Яр , дх = Яд ,интегральное уравнение (1) можно представить в виде:
и (1, У )
и ( X, у )+|
р + д1п
1
-Жх +
п 5
0 - X
р + д1п
и
(1,5)
= I (X, У).
(2)
Введем обозначение:
л
и ( X,у )+|
р + д1п
и
(г, у)
dt = (( X,у ),
(3)
тогда интегральное уравнение (2) примет вид:
, ч у (( X, 5) . .
((X у) + 4 р ' Ж =1 (X у).
(4)
Если решение интегрального уравнения (3) в случае р - 2д > 0, р < 0, д > 0 существует [4,5], тогда оно представимо в виде:
и (X, у ) = <;
Н" ¥ (у) + нД ¥2 (у) + б+,д [((X у)],(X у) е R к!* ¥ (у) + |х\д ¥2 (у) + бр,д [((X,у)],(Xу)е ^
(5)
где
1 X
б+,д [( (X, у)] = ( (X, у) + / - |
2^1 р2 - 2д
(X у )е ^
1 X
бр.д [( (X, у)] = —( (— X, У) + I 2 0 |
[ ] 2^р2 - 2д 0
X М2 X
2 2
М2 1 1
((1, у) + ((—1, у)
Ж,
X X
2 2
Д2 — —
1 1
((1, у) + ((-1, у)
Ж
( X у )е R1
д = -р -у/р2 - 2д,/л2 = -р + у/р2 - 2д , ¥1 (у), ¥2 (у) _ произвольные непрерывные функции.
Согласно [1], если решение интегрального уравнения (4) в случае Я < 0 существует, тогда оно представимо в виде:
где
(( х, у ) = еА/( % (х)) / (х, у )-А|е
*/( у ) = [(/ -1) у3-1 ]-1
а(«3(у(-)) / (x, -)
С-.
(6)
1
где
( 3-1) у33-1"
В равенстве (5) вместо функции (( х, у) подставляя её значение из равенства (6), получим:
1
г (х, у) = 2 [|х|л (у) )1х|л щ (у)] ) еАй/(у)(! (х) ),
А/ (у)
+
А
х № х л
2 2
^2 — -
г г
(1 (' ))( ) С ) К)[/(х, у)] (х, у) е Л2, (7)
и
(-x, у) = 2 |х|л ¥1 (у)) |х|л ¥2 (у)
- е
А®/(у)
( (-х))
у)
)
24Р2 - 2?
х л х л
2 2
Л г -л г
( (г ))(1 (-г)
Сг - К- [/(х, у)], (х, у) е
(8)
1
/ (^ у )] = / (^ у |
2^р2 - 2? 0
х л х л
2 2
Л г -л г
/ (г, у)) / (-г, у)
С -
У
-А|е 0
-гел(ш/(у)-<(-))А у[Лч3(уМ3(*)) Ж х
А|е - 2,/рг^ -Iе 3
х л х л
2 2
Л2 — —
г г
/ (г, -)) / (-г, -)
сг
(х у )е
(9)
А|е
1 х
Кг[/(x,у)] = /(-^у)) . 2 I
Ц р2 - 2 ? '0
а(<(у)-<(-))_ А у)-»/(,)) Ж
х л х л
2 2
л — -л —
г г
/ (г, у)) / (-г, у)
Сг)
2^р2 - 2?
А
I
х л х л
2 2
л — -л —
г г
/ (г, -)) / (-г, -)
С
(х у )е
Из вышеприведенных рассуждений вытекает:
р
х
Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (1) р < 0, д > 0, р2 - 2д > 0 , Я< 0, рх = Яр . дх = Яд, I ( X, у) е С (Я ), I (0,0) = 0, с асимптотическим поведением
I (X, у ) = 0
у) Н 31 уГ2
, 51 > Д2, у2 > 0-1 при X —> +0,у — 0.
(11)
Тогда любое решение двумерного интегрального уравнения (1) в классе функций и (X, у) е С (R), обращающееся в нуль при х — +0,у — 0, представимо в явном виде. Общее решение двумерного интегрального уравнения содержит три произвольные функции одной переменной и выражается формулами (7), (8), где ( (X), ¥\ (у), ¥2 (у) _ произвольные непрерывные функции, обращающиеся в нуль при X — +0, у — 0 и их асимптотическое поведение определяется из формул
( (X) = 0 |X]52 ,52 > д2 при X — +0, ^(у) = 0[уъ], Уз >Р-1 при у — 0, ] = 1,2.
(12)
(13)
Следствие 1. При выполнении условий теоремы 1 любое решение уравнения (1) из класса С (Я) на R обращается в нуль и его асимптотическое поведение при X —+0, у — 0 определяется из равенства
и
(X, у ) = 0
1X1 53 уГ4
,53 > Д2,уА >0-1 при х —+0,у — 0.
Допуская, что решение интегрального уравнения (4) для других значений Я, р, д существует, далее повторяя вышеприведённую схему нахождения решения интегрального уравнения (1), получим следующие утверждения [1]:
Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (1) р < 0, д > 0, р2 - 2д > 0 , Я> 0, рх = Яр , дх = Яд, I(х,у) еС(Я), I(0,0) = 0 с асимптотическим поведением
I (X, у ) = 0
|х|54 уГ5
,54 >Д2,/5 >0-1 при х —+0,у — 0. (14)
Тогда любое решение двумерного интегрального уравнения (1) в классе функций и (х, у) е С (Я), обращающихся в нуль при х — +0,у — 0, представимо в явном виде. Общее решение двумерного интегрального уравнения содержит две произвольные функции одной переменной и выражается равенствами
и (X у) =1 [|х|Д ¥1 (у) +1х|Д ¥2 (у)] + К1 [/ (X у)], (х, у) е Я2,
и (-х у)=2 |х|А ¥1 (у)+1х|Д2 ¥2 (у) - К- [/ (х у)], (х, у) е Я1 ,
где К+ [I (х, у)], К- [I (х, у)] определяются из равенств (9), (10), ¥\ (у), ¥2 (у) - произвольные
непрерывные функции, обращающиеся в нуль при у — 0, поведение которых определяется из асимптотических формул (13).
Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 любое решение уравнения (1) из класса С (Я) обращается в нуль и его асимптотическое поведение при х —+0, у — 0 определяется из формулы
u
(XУ) =0
x05 У6
Д > /л2,у6 >0 — 1 при x ^±0,y ^ 0.
Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении (1) p < 0 ,q < 0, p2 — 2q > 0, Л < 0, p1 = Яр , q1 = Лq, f ( x, y ) e C (R ), f (0,0) = 0 с асимптотическим поведением (11).
Тогда любое решение двумерного интегрального уравнения (1) в классе функций u (x, y) e C (R) обращающееся в нуль при x ^ ±0,y ^ 0, представимо в явном виде. Общее решение двумерного интегрального уравнения содержит две произвольные функции одной переменной и выражается равенствами
u (X у) = 2|x|/2 ¥ (У)-
у)
Pi (x )-
у)
+
ъ] р2 — 2q
x /2 x /1
2 2
/2 — — /1 -
t t
Pi (t) + Pi (—t)
dt - K-[f ( x, y )],
( x У )e
u (—x, У) = 2x|/2 ¥3 (У) — еЛш"{y)Pi (—x) +
y)
+
2yj p2 — 2q
л
J
x /2 x /1
2 2
/2 t — / t
Pi (t ) + Pi (—t )
dt — Ki— [f ( x, y )],
(х у )е ^
где /и2 =-р + р2 - 2д , К1++ [I (х, у)], К1- [I (х, у)] определяются из равенств (9),(10), ( (X),
¥3 (у) - произвольные непрерывные функции обращающиеся в нуль при х — ±С , у — 0, асимптотическое поведение которых определяется из формул (12) и
¥3 (у) = 0[у], у% >0-1 при у — 0. (15)
х
Следствие 3. При выполнении условий теоремы 3 любое решение уравнения (1) из класса С (R) обращается в нуль и его асимптотическое поведение при х — 0, у — 0 определяется из равенства
и(х,у) = 0 |х|4 У9 ,д% > ^2,у9 > Р~\при х —> +0,у — 0.
Теорема 4. Пусть в интегральном уравнении (1) р < 0, q < 0, р2 — 2д > 0, Л> 0, р1 = Яр , q1 = Лд, / ( х, у) е С (R ), / (0,0) = 0 с асимптотическим поведением (14).
Тогда любое решение двумерного интегрального уравнения (1) в классе функций и (х, у) е С (Я), обращающееся в нуль при х — +0,у — 0, представимо в явном виде. Общее решение двумерного интегрального уравнения содержит одну произвольную функцию одной переменной и выражается равенствами
(х у ) = 2 х|№ щ (у ) + К+ [/ (х у )], (х, у) е Я2, (—х у) =1 х|^ ¥ъ (у) — КГ [/ (х, У)], (х у) е
и (— ...
2
где /и2 = — р + 4р2 — 2д , К+ [/ (х, у)], К— [/ (х, у)] определяются из равенств (9), (10), щ3 (у) -
произвольная непрерывная функция, обращающаяся в нуль при у — 0, асимптотическое поведение которой определяется из равенства (15).
Следствие 4. При выполнении условий теоремы 4 любое решение уравнения (1) из класса С (Я) обращается в нуль и его асимптотическое поведение при х — +0, у — 0 определяется из равенства
и (х, у) = 0 |х|^ у/10 ,89 >^2,/10 >^ — 1 при х — +0,у — 0.
Теорема 5. Пусть в интегральном уравнении (1) р > 0, д < 0, р2 — 2д > 0, Я< 0, рх = Лр , дх = Лд, / (х, у) е С (Я), /(0,0) = 0 с асимптотическим поведением (11).
Тогда любое решение двумерного интегрального уравнения (1) в классе функций и (х, у)е С (Я), обращающихся в нуль при х — 0,у — 0, представимо в явном виде. Общее решение двумерного интегрального уравнения содержит две произвольные функции одной переменной и выражается равенствами
и (х, у) = 21х|М2 щъ (у) + еЛш'{У)ух (х) +
у)
+
2yj p2 — 2q
x /2 x /1
2 2
/2 — — /1 —
t t
Pi (t ) + Pi (—t )
dt - K-[f ( x, y )],
( X У )e
u (—x, У ) = 2 x|/2 ¥3 (У ) — еЛ<{У)Pi (—x) +
y)
+
2yl p2 — 2q
x /2 x /1
2 2
/2 t —/1 t
Pi (t ) + Pi (—t )
dt — Ki— [f ( x, y )],
( x y )e R
где д2 =-р + р2 - 2д , К+ [I (х, у)], К1 [I (х, у)] определяются из равенств (9), (10), ( (х) ,
¥3 (у) - произвольные непрерывные функции, обращающиеся в нуль при х — +0, у — 0, асимптотическое поведение которых определяются из формул (12),(15).
Следствие 5. При выполнении условий теоремы 5 любое решение уравнения (1) из класса С (Я) обращается в нуль и его асимптотическое поведение при х — +0, у — 0 определяется из ра-
венств
u ( x, y ) = 0
Ixl011 y7-
,011 >/2,712 >0 — 1 при x —> ±0,y — 0.
Теорема 6. Пусть в интегральном уравнении (1) p > 0, q < 0, p — 2q > 0 , Я> 0, p1 = Лp, q1 = Лq, f ( x, y ) e C (R ), f (0,0) = 0 с асимптотическим поведением (14).
Тогда любое решение двумерного интегрального уравнения (1) в классе функций u (x, y) e C (R), обращающееся в нуль при x — ±0,y — 0, представимо в явном виде. Общее решение двумерного интегрального уравнения содержит одну произвольную функцию одной переменной и выражается равенствами
(x, y ) = 2 x|/2 ¥з (У ) - K [f (x, y )], (x, y) e R,, u (—X У) =1 x|/2 ¥3 (У) — K1— [f (X У)], (x, У) e R,
где /и2 =-р + ^р2 - 2д , К+ [I (х, у)], К1 [I (х, у)] определяются из равенств (9), (10), ¥3 (у) -произвольная непрерывная функция, обращающаяся в нуль при у — 0, асимптотическое поведение которой определяется из формулы (15).
x
x
Следствие 6. При выполнении условий теоремы 6 любое решение уравнения (1) из класса С (R) обращается в нуль и его асимптотическое поведение при х — 0, у — 0 определяется из равенства
и (х, у ) = 0
|х|у713
,ёп > ^2,71з > Р —1 при х — ±0,у — 0.
Теорема 7. Пусть в интегральном уравнении (1) р > 0, q > 0, р2 — 2д > 0 , Л< 0, р1 = Лр , дх = Лд, /(х,у) е С(Я), /(0,0) = 0 с асимптотическим поведением (11).
Тогда любое решение двумерного интегрального уравнения (1) в классе функций и (х, у) е С (Я), обращающихся в нуль при х — ±0,у — 0, представимо в явном виде. Общее решение двумерного интегрального уравнения содержит одну произвольную функцию одной переменной и выражается равенствами
у) ' 4 е
и ( х,у ) = у Ц ( х ) +
Л<( у)
2^ р2 — 2д
х А х А
2 2
А2 * — А *
Ц (* ) + Ц (—*)
Л + К+[/ (х,у )],
( х у )е
у) г s е
и (—х у ) = —еЛь (у Ц (—х ) +
Л®Рь (у)
2^ р2 — 2д
л 1
х А х А
2 2
А * — А *
Ц (* )+ц (—*)
Л — К—[/ (х,у)],
(x, у )е R1,
где К+Ц / (х, у)], К1— [ / (х, у)] определяются из равенств (9),(10),Ц (х) - произвольная непрерывная функция, обращающаяся в нуль при х — 0, асимптотическое поведение которой определяется из равенства (12).
Следствие 7. При выполнении условий теоремы 7 любое решение уравнения (1) из класса С (Я) обращается в нуль и его асимптотическое поведение при х — ±0, у — 0 определяется из формулы
и ( х , у ) = 0
|х|*3 у714
Д3 > ¡л2,уи > Р — 1 при х — ±0,у — 0.
Теорема 8. Пусть в интегральном уравнении (1) р > 0, д > 0, р2 — 2д > 0 , Л > 0, рх = Яр, д1 = Лд, / (х, у)е С (Я ), / (0,0) = 0 с асимптотическим поведением
/ ( х, у ) = 0
х у
715
,£> 0,715 >Р — 1 при х —> ±0,у — 0.
х
Тогда двумерное интегральное уравнение (1) в классе функций и (х, у)е С (Я), обращающихся в нуль при х — +0, у — 0, имеет единственное решение, которое выражается равенствами
и ( х, у ) = К+ [ I (х, у )], (х, у) е Я1,
и (- х, у) = - К" [ I (х, у )], (х, у) е Ях,
где К+ [I (х, у)], К1- [I (х, у )] определяются из равенств (9), (10).
Следствие 8. При выполнении условий теоремы 8 любое решение уравнения (1) из класса С (Я) обращается в нуль и его асимптотическое поведение при х —+0, у — 0 определяется из формулы
и(х,у) = 0 |х|8у/16 ,8 >0,/16 >0-1 при х — +0,у — 0.
Поступило 10.01.2018г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Раджабов Н. Интегральные уравнения типа Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Душанбе: Деваштич, 2007, 222 с.
2. Раджабова Л.Н., Шукурова Г.Н. К теории одного класса симметричного интегрального уравнения Вольтерра с внутренней сингулярной и логарифмической особенностью. - Вестник Таджикского технического университета. Научно-теоретический журнал, 2015, №3 (31), с.10-13.
3. Раджабова Л.Н., Шукурова Г.Н. К теории симметричных интегральных уравнений типа Вольтерра с особенностью и логарифмической особенностью в ядре. - ДАН РТ, 2017, т. 60, №3-4, с. 126 - 131.
4. Раджабова Л.Н., Шукурова Г.Н. Задача типа Коши для симметричного интегрального уравнения типа Вольтерра с особенностью и логарифмической особенностью. - ДАН РТ, 2017, т. 60, №5-6, с. 212 - 217.
5. Раджабова Л.Н., Шукурова Г.Н. О исследовании симметричного интегрального уравнения типа Вольтерра с сингулярной и логарифмической особенностью для произвольных функций в ядре. -Вестник ТНУ (научный журнал), 2017, №1/4 сер.естеств.н, - Душанбе: Сино,с.6-10.
Л.Н.Рачабова, Г.Н.Шукурова ОИД БА ЯКЧАНД ^ОЛАТ^ОИ МУОДИЛА^ОИ ИНТЕГРАЛИИ СИММЕТРИИ ДУЧЕНАКАИ НАМУДИ ВОЛТЕРРА БО МАХСУСИЯТ ВА МАХСУСИЯТИ ЛОГАРИФМЙ ДАР ЯДРО
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола якчанд долатдои муодилаи интегралии симметрии дученакаи намуди Волтерра бо махсусият ва махсусияти логирифмй дар ядро тадкик карда шудааст. Дар долатдое, параметрдои муодила ба дам алокаманданд, вобаста ба аломати параметра далдои ошкори муодила ёфта шудааст, ки дорои доимих,ои ихтиёрй мебошанд.
Калима^ои калидй: муодилаи симметрии интегралы, махсусияти логарифмы, функсияуои ихтиёрй, рафтори асимптотикй, функсияуои бефосила, мубаддалшавй ба нул.
L.N.RajabovB, G.N.ShukurovB
ON SOME CASES OF SYMMETRIC TWO-DIMENSIONAL INTEGRAL EQUATIONS OF TYPE VOLTERRA WITH THE A SINGULARITY AND LOGARITHMIC SINGULARITY IN THE KERNEL
Tajik National University
In this paper, we investigate some cases of a symmetric two-dimensional integral equation of Volterra type with a singularity and a logarithmic singularity in the kernel. In the case when the parameters of the equation are related to each other, depending on the sign of the equation parameters, explicit solutions of the integral equation containing arbitrary functions are obtained.
Key words: symmetric integral equation, logarithmic singularity, arbitrary functions, asymptotic behavior, continuous functions, vanishing.
