К теории одного класса двумерного слабо-сингулярного интегрального уравнения типа Вольтерра на первом квадранте Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №6_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.968.220

Л.Н.Раджабова, академик АН Республики Таджикистан Н.Раджабов*

К ТЕОРИИ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНОГО СЛАБО-СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРА НА ПЕРВОМ КВАДРАНТЕ

Таджикский технический университет им. академика М.С.Осими, Таджикский национальный университет

Приведено решение двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с граничным слабосингулярным ядром на первом квадранте.В случае, когда функции, присутствующие в ядрах связаны между собой определенным образом, решение интегрального уравнения находится в явном виде. Решение интегрального уравнения выражается через резольвенту интегрального уравнения со слабой особенностью, когда функции, присутствующие в ядрах не связаны между собой.

Ключевые слова: двумерные интегральные уравнения типа Вольтерра - слабая сингулярность -собственные значения - собственные функции.

Через D+ обозначим область D+ = { (x, y ): 0 < a < x < да, 0 < b < y < да j. Соответственно

обозначим Г = { 0 < a < x < да, y = b } , Г2 = { x = a ,0 < b < y < да }. В частности, при

a = 0, b = 0 область D+ совпадает с первым квадрантом. В области D+ рассмотрим интегральное уравнение:

, ч да A(t)v(t, y) да в (s)v(x, s\ да dt да с (t, s((t, s)^ w ч /i4

p(x,+ J W V dt + J y } ds + J-- J У J ds = f (x,y), (1)

x (t - a)a y (s - b)ß x(t - a f y (s - b )ß

где A(x), B(y), C(x,y), f (x,y) - заданные функции соответственно на Г, Г, D+ , р(x,y) -

искомая функция, 0 < a = const < 1, 0 < ß = const < 1.

Интегральное уравнение (1) будем исследовать при предположении, что A(a) * 0, B (b) * 0, С (a, b) * 0.

Решение интегрального уравнения (1) будем искать в классе функций р (x, y) g С (D+ ) , lim р (x, y) = 0 с асимптотическим поведением

p(x, y) = 0 [x~7ly~72 J , Y\> 1 -a, 1 -ß при x ^да, y ^да. (2)

Адрес для корреспонденции: Раджабова Лутфия Нусратовна. 734025,Республика Таджикистан , г.Душанбе, пр.акад. Раджабовых, 10, Таджикский технический университет. E-mail: [email protected]

Как в [1], сначала находим решение интегрального уравнения (1) при С(X, у) = —Л(х)В(у) . В этом случае уравнение (1) представим в виде

ГЪГА р = / (х, у) , (3)

АЙС^уЬ гВ(**)

где

Т> = р (x, у) + J ^^^ dt, Тьу¥ = ¥ (x, у) + ds.

В интегральном уравнении (3), вводя обозначение

ТА р = у(х у),

приходим к решению интегрального уравнения

ТЬу¥ = / (X У) •

(4)

(5)

Следовательно, задача о нахождении решения интегрального уравнения (1) свелась к решению расщеплённой системы одномерных интегральных уравнений по переменной х - (4) и по переменной у - (5). Теория одномерных интегральных уравнений вида (3), (4), (5) для конечной области разработана в [1], [2]. Используя схему нахождения решений из [1], легко можно видеть, что если

решение интегрального уравнения (5) при В (Ь) > 0 существует, тогда оно представимо в виде:

W (х, у) = exp [-В (J) oß (у) - wß (у) ] р (х) + f (х, у)

-J exp [ В ( j) (oß (s) - oß (у)) + wß (s) - wß (у)

B (S) f (Х,S ) ds -

(s-b)ß

- exp [-В ( j) oO (у) - wß (у) ] р (x) + (Ту ) 1 [ f (x, у ) ] , где р( x) - произвольная функция точек Г^,

j

(Ту ) -1 [ f (x, у) ] = f (x, у) - Jexp [ В ( j) ( oß (s) - oß (у) ) ■

У

+ wß( s )-wß( у )] B ( s ) f ( x,s ) ds,

(6)

(s - b )

o

(у) = [(ß-1)(у - b)

ß-i'

-1, w ß

(у )=J

_ J В (s)- В (j)

( s - b )

ds .

Интеграл в правой части равенства (6) сходится, если f (x, у) е C (D+ ), lim f (x, у)

(x, у) = 0 с

асимптотическим поведением

f (xу) = 0[ у^exp(-obß(у))] , Гз >1 -ß пРи У ^

j

(7)

Подставляя в правую часть равенства (4) найденное значение функции у (x, у) , и решая интегральное уравнение (4) согласно [1], получим

p(x, у) = exp [-A (®K(x)-< (x )]у( у) + (Гх )-1 [y(x, у)], (8)

где у (у) - произвольная функция точек Г2,

j

(Tx )-1 ( у) = у (x, у) - J exp [ A (j)(o:(t)-o:(x) ) +

x

+w (t)-w (x)]dt,

(x)=[:-1)(x-a)-1]-1, w:(x)=JAуA(")dt

Интеграл в правой части (8) сходится, если f (x, у) е C (D+ ), lim f (x, у) = 0 с асимптоти-

ческим поведением :

f (x, у ) = 0 x ~/4exp (-A(j)oa:( x ))J , у > 1 -: при x — j . (9)

В равенстве (8) вместо функции у (x, у) , подставляя её значение из (6), получим

С (X у) = exp Г - A (J) o1 (x) - wa (x)] У (у ) +

(10)

+ exp[-В(J)oß(у)-wß(у)](Tx)-1 р(x) + (Tx)-1 (Ту)-1 [f (x,у)] .

Интеграл в правой части (10) сходится, если р(x)е C (Г ), р(®) = 0 с асимптотическим поведением:

р (x) = 0 [ x] , у > 1 - а при x —^ j ,

f (x, у) е С (D+) , lim f (x, y) = 0 с асимптотическим поведением:

у—J

/ (х, у) = 0 [ ехр [ — А (г) (0аа (х) — В (г) со? (у) ] х^4у], (11)

/3 > 1 — Ь, Уа> 1 — & при х ^ г, у ^ г и х ^ 0, у ^ 0, а при у = 0, х ^ г с асимптотическим поведением (9) , при х = 0, у ^ г с асимптотическим поведением (7).

Кроме того, так как мы ищем решение интегрального уравнения (1) в классе C (D ) с асимптотическим поведением (2), поэтому в равенстве (10) необходимо выполнение условий щ(у) е C (Г ), ^(да) = 0 с асимптотическим поведением

w(у) = 0[ у-76] , 76 > 1 -а при у ^да . (12)

Таким образом, доказано следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (1) 0 <а< 1, 0 <ß< 1, А (х) е C ( Г ) , А (да) > 0 и в окрестности точек х = да удовлетворяет условию

А(х)-A (да) = 0 [х~77 ] , /7> 1 -а при x ^да , (13)

В(у) е C (Г2 ) , B (да) > 0 и в окрестности точек y = да удовлетворяет условию

B(y)-B(да) = 0 [ у~78] , 7> 1 -ß при у ^да . (14)

Далее, пусть С(x, у) = -A (x) B (у) , функция f (х, у)е C (D+) , f (да, да) = 0 с асимптотическим поведением (11). Тогда любое решение уравнения (1) из класса C (d +) представимо в

виде (10), где ((х) е C (Г) , W(у) е C (Г2) _ произвольные функции точек Г и Г2. Причём у/(да>) = 0 с асимптотическим поведением (12) , ф(да) = 0 с асимптотическим поведением

((х) = 0 exp (-А(а)^а(х )) х~75 , 75 > 1 -а при x ^да . (15)

Замечание 1. Утверждения, подобные теореме 1, получены и в случаях А (да) > 0, B (да) < 0; А (да) < 0, B (да) > 0.

При А (да) < 0, B (да) < 0 имеет место утверждение:

Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (1) функции А(х) , B(у) , С(х, у) удовлетворяют условиям теоремы 1, кроме условий А (да) > 0, B (да) > 0. Пусть А (да) < 0 , B (да) < 0, так же f (х, у ) е С (D+ ) , lim f (х, у) = 0 с асимптотическим поведением:

у^да

f (х,у) = 0[ х 74у 73] , 73 > 1 -ß , 74 > 1 -а при x ^да, у ^да

Тогда однородное интегральное уравнение (1) в классе С(р+) не имеет решения, кроме нулевого.

Неоднородное уравнение (1) в классе С(р+) имеет единственное решение, которое выражается формулой

р(х,) = (Тх)— 1 (Ту)— 1 [/(х,)] •

В случае, когда С (х, у) ^ —Л(х) В(у) , используя способы, разработанные в §2.3 [1], приходим к решению интегрального уравнения:

^ (,■ £ (х,, ('6)

где С (х, у) = С(х, у) + Л(х) В(у) ,

V (х, у) = р (х, у) ехр [А (г) < (х ) + В (г) а* (у ) + (х ) + у )] , Е (x, у) = ехр [ А (г) ®аа (х) + waa (х) ] р (х) —

г

—| ехр [ В (г) (*) + wf (у) ] у (*) ё* +

у

ехр [ А(г) а (х) + В (г) а* (у) + ^ (х) + wЬ (у) ] / (х, у) +

(17)

+ (

J

+J exp [В (J) oß ( у) + wß (у) + A ( J) o: (t) + w: (t) ] A]fy ) dt +

+Jexp [ A (j) o'a (x) + В ( j) oß (s) + we: (x) + wß (s) ds +

у (s Ь)

+J exP [ A (J) o (t) + B ( j) oß (s) + < (t) + wß (s)] x

x ('- a) у ]

x £fi) ds

(s - b )'

Пусть в интегральном уравнении (16) Q (x, y) е С (D+ ) , lim Q (x, y) = 0 с асимптоти-

V ' x—J

у—J

ческим поведением

Q(x,y) = 0[x~79y~n°] , у > 1 -a, yw> 1 -ß при x — j, у — j, (18)

E (х, у) е С (D+ ) , lim E (x, у) = 0 с асимптотическим поведением

у^да

E(х,у) = 0[ х 711 у 712] , 7п > 1 -а , уи > 1 -ß при х ^да, у ^да . Тогда интегральное уравнение (16) имеет единственное решение, которое выражается формулой

да да

V (х, у) = E (х, у) - J dtJ Г (x, у; t, 5) E (t, 5) ds , (19)

х у

где Г (x, у; t, s) - резольвента интегрального уравнения (16). Функция E (х, у) обладает вышеуказанными свойствами, если функции А (х) , B (у) , С (х, у) обладают свойствами, указанными в теореме 1, функция ((х) удовлетворяет условию (15) , у/(у) е C(Г) , lim^(у) = 0 с асимптотическим поведением

w(у) = 0[exp(-B(да) (у)) у~76] , 76 > 1-ß, при у ^да, (20)

функция f (х,у)е С ( D+) , lim f (x, у)= 0 с асимптотическим поведением (11) .

у^да

В решении (19) вместо функции V (х, у), подставляя её значение, находим функцию ((х, у ) : ( (х, у) = exp [ - А (да) < (х) - B (да) oßb (у) - < (х) - wß (у) ] х

да да

E(х,у)-JdtJГ(x, у; t, s) E( t,s )ds

х у

(21)

Таким образом, доказана

Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении (1) 0 <а< 1 , 0 <ß< 1 , А (х) е C (Г ),

B (у) е C (Г2 ) , А(да)> 0, B (да)> 0,C (x, у )^-A (х ) B (у ). Функции А(х) , B (у) в окрестности точек х = да, у = да удовлетворяют условиям (13), (14). Функция С (x, у)е С (D) , lim Q (x, у) = 0 с асимптотическим поведением (18). Кроме того, пусть

V ' х^да

у^да

f (х,у)е С (d+) , lim f (x, у)= 0 с асимптотическим поведением (11). Тогда интегральное урав-

у^да

нение (1) всегда разрешимо и его общее решение из класса С(d+) выражается формулой (21), где Г (x, у; t, s) - резольвента интегрального уравнения (16), E (х, у) выражается формулой (17),

(р(x), у/((y) - произвольные функции соответственно точек Гг и Г2, удовлетворяющие условиям

(15), (20).

Пусть, в частности, в интегральном уравнении (16) Q (x, y) = 8 = const ^ 0. В этом случае уравнение (16) примет вид:

=£(x-y>- (22)

Непосредственной проверкой легко можно убедиться, что однородное интегральное уравнение (22) имеет бесконечное число линейно-независимых решений вида

V,m (x,y) = ^K(x)+(m+yn, m = 0,1, 2,... (23)

при 8 = 8n,m = - (n + /1) (m + У2 ) •

Таким образом, однородное интегральное уравнение (22) имеет бесконечное число собственных чисел 8 = 8ииг (n, m = 0,1,2,3,...)и бесконечное число линейно независимых собственных

функций вида (23), причём lim V т (x, y) = 0 .

Теперь предположим, что в (22) функция E (x, y) представима в виде

E(x, У) = Z Е^"* к(x)-(m+/2К(У)], n, m = 0,1, 2,..., (24)

n,m=0

где Enm - известные постоянные, у = const > 0, у = const > 0 .

Решение неоднородного уравнения (22) будем искать в виде

V(x, У) = Z V^ К(x)-(m+/2К(У, n, m = 0,1, 2,..., (25)

n ,m=0

где V - неизвестные постоянные.

^ п ,т

Подставляя в (22) значения Е (X, у) и V (X, у) соответственно из (24) и (25), и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях exp (п + у)®"( X ) —(т + у)®/( У )] при п, т = 0,1, 2,..., для нахождения V т получим следующую систему уравнений

V

8

(n + у )(m + у2)

= E__.

Отсюда получим

V_ =

(п + у )(т + у2)

£, n, т = 0,1,2,... (26)

5 + (п + у ) (т + у )

Следовательно, при 5^-(п + у1 )(т + у2) постоянные Vnm находятся через Епт по формуле (26). Подставляя полученные значения Vnm в равенство (25), находим решение интегрального уравнения (22) в виде:

v(x,у)=iуут:+у2)ехр[+*+у;)oß(уя- (27)

Причём легко можно видеть, что если ряд (24) сходится абсолютно и равномерно, тогда ряд вида (27) также сходится абсолютно и равномерно.

Теорема 4. Интегральное уравнение (22) имеет бесконечное число собственных значений вида 5 = -(п + у)(т + у) п, т = 0,1,2,... и бесконечное число собственных функций вида (23), соответствующих собственным значениям 5пт. Если правая часть интегрального уравнения (22) представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда (24) и 5 ^5пт, тогда неоднородное

интегральное уравнение (22) в классе функций, представимых в виде (25), имеет единственное решение, которое выражается формулой (27).

Поступило 22.04.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Раджабов Н., Раджабова Л. Введение в теорию многомерных интегральных уравнений типа Воль-терра с фиксированными сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. -LAP LAMBERT Academic Publishing, Leipzig, Germany, 2012, 502 p.

2. Rajabov N. Volterra Type Integral Equation with boundary and interior fixed singularity and their application. - LAP LAMBERT Academic Publishing, Leipzig, Germany, 2011, 282 p.

Л.Н.Рачабова, Н.Рачабов* ОИД БА НАЗАРИЯИ ЯК СИНФИ МУОДИЛАИ ДУЧЕНАКАИ НАМУДИ ВОЛТЕРРА БО ДУ ХАТИ МАХСУСИЯТИ СУСТ ДОШТА ДАР КВАДРАНТИ

ЯКУМ

Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи М.С.Осими, *Донишго%и миллии Тоцикистон

Дар макола хдлли муодилах,ои дученакаи намуди Волтерра бо ду хатти сархддии махсусияти суст дошта дар квадранти якум оварда шудааст. Дар х,олати алокаманд будани функсиях,ои дар ядро чойгирифта, хдлли ошкори муодилах,ои интегралй ёфта шуда, дар полати алокаманд набудани ин функсияхо, х,ал ба воситаи резолвентаи муодилаи дученакаи интегралии махсусияти суст дошта ифода мешавад.

Kmujua^ou Krnudu: Myobuna^ou dynemmu HaMydu Bonmeppa - Maxcycmmu cycm - quMamyou xoc -$yHKcm%ou xoc.

L.Rajabova, N.Rajabov* TO THEORY ONE CLASS OF TWO-DIMENSIONAL VOLTERRA TYPE INTEGRAL EQUATION WITH WEAKLY SINGULARITY IN FIRST QUADRANT

Tajik Technical University by named of M.Osimi, Tajik National University In this work we found the solution of two-dimensional integral equation of Volterra type with boundary weakly singularity boundary. In the case, when the functions that are present in the kernel, connected between himself certain form, we obtained explicitly solution the integral equation , when the functions present in the kernel are not connected between, we obtained the solution by resolvent integral equation with a weak singularity, in the first quadrant.

Key words: two-dimensional integral equation of Volterra type - weakly singularity - own signs - own functions.