Интегральные представления многообразия решений для одного класса обобщённого интегрального уравнения Вольтерра с двумя граничными сингулярными точками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517. 968. 220

Академик АН Республики Таджикистан Н.Раджабов, С.Саидов

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОГООБРАЗИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ОБОБЩЁННОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА С ДВУМЯ ГРАНИЧНЫМИ СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ

Таджикский национальный университет

В статье изучается интегральное уравнение, обобщающее интегральное уравнение типа Вольтерра с двумя граничными сингулярными точками. В модельном случае в зависимости от корней соответствующего характеристического уравнения найдено общее решение. Общий случай изучается при помощи метода, подобного методу регуляризации.

Ключевые слова: сингулярное ядро - интегральное уравнение с граничными сингулярными точками -логарифмические особенности.

Через Г обозначим множество точек Г = |х; а < х < на вещественной оси. На Г рассмотрим интегральное уравнение

х - а V Ь - ^

(р(x) +1< k (x,t) + k2 (x,t)ln

b - x A t - a

где кх (х, t), к2 (х, t), / (х) - заданные непрерывные функции точек области Я = |(х, t);а < х < Ь, а < t < Ь| и Г, причём (а, а0, к2 (а, а0. Решение интегрального уравнения (1) будем искать в классе функций (р(х)еС(Г), (р(а) = 0 с асимптотическим поведе-

нием:

(р(х) = о (х - а)е , е> 0 при х ^ а.

Проблеме исследования интегральных уравнений Вольтерра с одной левой, с одной правой или с одной внутренней сингулярной или супер - сингулярной точкой посвящена работа [1]. Теория интегрального уравнения (1) при к2 (х, t) = 0, кх (х, t) = А ^) и к2 (х, t) = 0, к2 (х, t) Ф А^) построена в [1-4]. Модельное интегральное уравнение типа (1) с левой граничной сингулярной точкой, то есть интегральное уравнение

x )+I Гp+«ln fif liradt -'(x),

a

a

Адрес для корреспонденции: Раджабов Нусрат. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

исследовано в[5]

Исследование интегрального уравнения (1) в модельном случае, когда корни соответствующего характеристического уравнения

] 2 ,

Я (Ь - а) + кх (а, а )Я + к2 (а, а ) = 0

(2)

вещественные и разные, вещественные и равные, проведено в [7]. Интегральное уравнение (1) представим в следующем виде

((х) + Н к (а,а) + к2 (а,а) 1п

х - а V Ь - г

Ь - х Л г - а

((г) & = (г-а){Ь -г) А (X),

(3)

где

/1 (Х) = / (Х) - 11 № (^ 1) - К (a, а)) + к (^ г) - к2 (a, а) 1П

х - а V Ь - г Ь - х Л г - а

((г) &

(г - а )(Ь - г)

. (4)

Интегральное уравнение (3) назовём характеристическим уравнением, соответствующем общему уравнению (1).

Таким образом, задача об исследовании общего уравнения (1) сводится к исследованию следующего модельного уравнения

((х) + !<! р + q 1п

х - а V Ь - г Ь - х Л г - а

((г) & = (г - а)(ь - г) / (х),

(5)

где р, q - заданные постоянные.

Сначала находим решение уравнения (5), представимое в виде обобщённого степенного ряда. Имеет место следующее утверждение

Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (5) функция / (х) представима в виде равномерно-сходящегося степенного ряда

/ (х ) = Е

ш / \к+У

' х - а 1

к=0

Ь - х

х е [а, Ь), у = еотг > 0

и (к + у)2 (Ь - а) + р (к + у) + q Ф 0 для всех к = 1,2,...., . .

Корни алгебраического уравнения Я (Ь - а) + рЯ + q = 0 вещественные, разные и положительные, то есть р < 0, q > 0, О = р2 + 4 (Ь - а) q > 0. Тогда однородное интегральное уравнение (5), в классе функций ((х) е С [а, Ь) обращающееся в нуль в точке х = а и неограниченное в точке х = Ь, имеет два линейно-независимых решения, которые даются формулой

( ( х ) =

х - а

Ь - х

, ( (х) =

х - а

Ь - х )

Я

х

а

а

х

а

где Я = Я= И^0

4 2 (Ь - а) ' ^ 2 ( Ь - а)'

Неоднородное интегральное уравнение (5), в классе функций ((х) е С [а, Ь) обращающееся в нуль в

точке х = а и неограниченное в точке х = Ь, всегда разрешимо и его решение даётся формулой

( (х) = (1 ( х) С + (2 (х) С2 + К (/),

где с, сг - произвольные постоянные,

к (/ ) = £-

(к + у)2 (Ь - а) /к

х - а

\к+У

к=0 I

!(к + у) (Ь - а) + р (к + у) + q V Ь - х ) В случае, когда корни характеристического уравнения (2) вещественные и равные (К (а, а) < 0, (К (а, а)) = 4 (Ь - а) К2 (а, а)), имеет место следующее утверждение (если / (х) -

считать известной функцией).

Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (3) К (а, а)< 0,

(К (а, а))2 = 4 (Ь - а) К2 (а, а), / (х) е с (Г), £ (а) = 0

с асимптотическим поведением

у*! * 1к1 (аа )|

/ (х ) = 0( х - а) , оЛ>—,-г при х ^ а.

^ } 1 2 (Ь - а)

(6)

Тогда интегральное уравнение (3), в классе функций ((х) е С [а, Ь) обращающееся в нуль в точке х = а и неограниченное в точке х = Ь, всегда разрешимо и его решение даётся формулой

(( х ) =

К(а х - а 12(Ь-

Ь - х

, , х - а

с1+1п 1ыа |с

+ /1 (х)-/

х - а V Ь - г

Ь - х А г - а

2(Ь-а

•[к (а, а) - к (а, а)] 1п

х - а Ь - г

/1 (г) &

(г - а )(Ь - г)'

(7)

Ь-хг-а

Теперь в (7) вместо / (х), подставляя её значения из (4), затем совершая некоторые преобразования и перенося те слагаемые, которые зависят от неизвестной функции ((х), в левую часть, приходим к решению следующего интегрального уравнения

(( х) +1

м(х,г((г) & = £ (х)

(г - а)(Ь - г) & = Е (х),

(8)

где

X

а

а

М (х, t) = к (х, t) - к (а, а) + (к2 (х, t) - к2 (а,а)) 1п

х - аЬ -1

Ь - т V х - а

т - а А Ь - х

2(Ь-а

к (а, а) - к2 (а, а) 1п

Ь - х ^ t - а х - а V Ь - т

(к х (т, т ) - к (а, а)) + (к х (т, т ) - кх (а,а)) 1п

К ( х ) =

_ \к(а,а )|

х - а Л 2(Ь-а) Ь - х ]

с1 +1п ¡7-^ I с2

Ь - х ^

+/(хИ

• [ к (а, а ) - к2 (а, а )] 1п

х - а Ь -1 Ь - х А t - а

Ь-х А т-а

т-аЬ-t Ь — туч t - а

Ь-1х - а ^ - а Ь - х^

/1 (t) Л

(9)

К (а,а)|

" 2(Ь-а)

^ - а)(Ь - {) '

(10)

Если функции к (х, t) и к2 (х, t) в окрестности точек (х, t) = (а, а) удовлетворяют следую-

щим условиям

кх (х, t)- кх (а, а) = о (х - а^ - а)

к2 (х, t)- к2 (а, а) = о (х - а(t - а)

\к\ (а, а)|

^>2^-), ^3>£ при (х, а) (11)

, ^2

к (а, а) . . . .

, > -), 5ъ>е при (х,*) ^ (а,а) (12)

тогда в интегральном уравнении (8) ядро М (х, t) по переменному t имеет слабую особенность и в окрестности точек х = а обращается в нуль.

Если / (х)е с ( Г ), f (а) = 0 с асимптотическим поведением

/ ( х ) = о ( х - а )

|к1 (^ а )|

, ^ > туг-ч при х ^ а,

2 ( Ь - а)

(13)

тогда в интегральном уравнении (8) функция К (х) £ с [а, Ь), К (а) = 0 и, следовательно, ядра интегрального уравнения (8) для всех t £ с [а, Ь) имеют слабую особенность, правая часть

К (х) £ с [а, Ь) . Тогда, согласно общей теории интегральных уравнений, интегральное уравнение (8) имеет единственное решение, которое даётся формулой

л

<р( х ) = К (х ) -1 г (х, X) Е (х) dt,

где Г (х, X) - резольвента интегрального уравнения Таким образом, доказана

х

а

а

Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении (1) К (х, г)е с (Я), 1 < 7 < 2, постоянные К (а, а), 1 < 7 < 2 такие, что корни алгебраического уравнения (2) вещественные равные, К (а, а)< 0, (К (а, а)) = 4 (Ь - а) К2 (а, а). Функции К (х, г), 1 < 7 < 2 в окрестности точки (х, г) = (а, а) удовлетворяют условиям (11), (12) при (х, г)^(а, а). Функция / (х)е с (Г), £ (а) = 0 с асимптотическим поведением (13).

Тогда интегральное уравнение (1), в классе с [а, Ь) обращающееся в нуль в точке х = а, всегда разрешимо и даётся при помощи формул (9), (10), (14), где Г (х, ^) - резольвента интегрального уравнения (8).

Следствие. При выполнении всех условий теоремы (3) любое решение уравнения (1) из класса с [а, Ь) при х ^ а обращается в нуль с асимптотическим поведением

(( x) = o

' Ma (x - a) 2(b-

при x ^ a,

а при x ^ b неограниченно, с асимптотических поведением

((x) = o

(x - a) 2(b-

при x ^ b.

Замечание 1. Непосредственной проверкой легко можно убедиться, что если выполнены все условия теоремы 3, тогда функция / (х), определяемая при помощи формулы (4) в окрестности

точек х = а, обладает свойством (6).

Замечание 2. В случае, когда корни характеристического уравнения (2) комплексно-сопряженные

(K (a, a) < 0, (K (a, a))2 < 4 (b - a) K2 (a, a)),

используя теорему 4 из [7], найдено общее решение уравнения (1) и в этом случае через резольвенту соответствующего интегрального уравнения типа Вольтерра со слабой особенностью в точке х = а.

Поступило 10.02.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. 1. Rajabov N. Volterra type integral equation with boundary and interior fixed singularity points. - LAP LAMBERT Academic Publishing, Germany, 2011, 282 p.

2. Раджабов Н., Саидов С. К теории общего интегрального уравнения Вольтерровского типа с двумя граничными сингулярными точками - ДАН РТ, 2012, т. 55, №7, c. 519-525.

3. Раджабов Н., Саидов С. - Тр. Всеросс. науч. конф. с междунар. участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» 27-30 июня 2011, Стерлитамак - Уфа: Гилем, 2011, с. 72-74.

4. Раджабов Н., Саидов С. К теории одного класса одномерного модельного интегрального уравнения Вольтерровского типа с двумя граничными сингулярными точками. - Мат-лы XI Школы молодых учёных «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы современного анализа и информатики». - Терскол, Россия, 2013, с. 55-58.

5. Раджабов Н. Об одном классе модельного сингулярного интегрального уравнения, обобщающего одномерное интегральное уравнение Вольтерра с левой граничной сингулярной точкой в ядре. -Вестник ТНУ, Серия естест. наук, 2012, №1/1 , с. 21-32.

6. Rajabov N., Saidov S. About New Class of Volterra Type Integral Equation with Two Boundary Singularity in Kernels. - Proceedings of the 2014 International conference on Pure Mathematics - Applied Mathematic (PM-AM/(4)), Venice, Italy, March 15-17, 2014, pp. 214-217.

7. Rajabov N., Saidov S. To theory Volttera type integral Equation with two boundary singularity in Kernels. - Евразийский Союз ученых, междунар. науч.-практ. конф. «Современные концепции научных исследований», ч. 5, Москва 26-27 сентября 2014 г, Физико- Математические науки # 6, 2014, с. 37-42.

Н.Рачабов, С.Саидов

ТАСВИРИ ИНТЕГРАЛИИ БИСЁРШАКЛАИ ХДЛ БАРОИ ЯК СИНФИ МУОДИЛАИ УМУМИКАРДАШУДАИ НАМУДИ ВОЛТЕРРА БО ДУ НУ^ТАХОИ С АРКАДИИ МАХСУС

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар ма;ола муодилаи интегралии намуди Волтерра, ки ядрои он аз суммаи ду функсия иборат буда, чамъшавандаи якум махсусияти сархдди дошта чамъшавандаи дуюм аз косили зарби ду функсия иборат аст, ки яке аз онх,о дар ну;тах,ои сархддй махсусияти дарачаи як дошта дуюмаш бошад махсусияти логарифмй дорад, омухта шудааст.

КалимаХоОи калиди: ду нуцтаи махсуси сархади - махсусияти логарифмы - уолати умуми.

N.Rajabov, S.Saidov

INTEGRAL REPRESENTATION MANIFOLD SOLUTION FOR ONE CLASS GENERALIZED VOLTERRA TYPE INTEGRAL EQUATION WITH TWO

BOUNDARY SINGULAR POINTS.

Tajik National University In this work investigation one class general Volterra type Integral Equation with two boundary logarithmic and singular points was made. In depend from roots corresponding characteristic equation, solution this integral equation can contain two arbitrary constants, one constant and may be having unique solution. Key words: general Volterra type Integral Equation - boundary singular points - logarithmic boundary singularity.