Задачи типа коши для симметричного интегрального уравнения типа Вольтерра с особенностью и логарифмической особенностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №5-6_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.987.1

Л.Н.Раджабова, Г.Н.Шукурова

задачи типа коши для симметричного интегрального уравнения типа вольтерра с особенностью и логарифмической особенностью

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 13.04.2017 г.)

В статье находятся явные решения, содержащие произвольные постоянные симметричного интегрального уравнения типа Вольтера с сингулярной и логарифмической особенностью в случае, когда корни характеристического уравнения равные или комплекснозначные. Для определения произвольных постоянных решаются задачи типа Коши.

Ключевые слова: симметричные уравнения, интегральные уравнения, сингулярная особенность, логарифмическая особенность.

Через L = {х: -a < x < a} обозна

РИМ _ _ х^

u ( х)+|

уравнения, сингулярная

;ственно й оси. На L рассмот-

p (х, t) + q (х, t) ln

(1)

уравнение (1

[3]. Исследов; ты [4-6].

юние инте

и -

где p (х, t), q (х, t), f (х) - заданые функции на L, u (х) - искомая функция.

Интегральное уравнение (1) при q (х, t) = 0 на множестве точек Г = {х :0 < х < а} является модельным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с фиксированной левой граничной точкой, теория которой построена в [1]. При p(х,t) = p = const, q(х,t) = q = const интегральное

изучено на Г в [2], а для четных и нечетных значений p (х, t), q(х, t) исследовано в для двумерных интегральных уравнений в данном направлении посвящены рабо-

равнения (1) будем искать в классе функций u (х)е C (L ), обра-щающ] я в нуль в начале координат с ас

u ( х ) = о

sh

ия решени

ого ур

Для нахождения ]

гат с асимптотическим поведением , а > 0 при х ^ 0 . 1ия интегрального уравнения (1) отрезок Ь разобьем на два отрезка

Адрес для корреспонденции: Раджабова Лутфия Нусратовна, Шукурова Ганджина Нарзикуловна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]; [email protected]

L = {х: -a < х < 0}, L2 = {х :0 < х < a} .

Тогда Ь = Ц\) L2 U {0}.

После некоторых преобразований, в случае, когда p(х, t) = p = const и q (х, t) = q = const, уравнение (1) представим в виде системы уравнений:

u ( х ) +J

(

х

(-х ) + /

p + qln p + qln

[u(t) + u(-t)]d х е L2,

Для системы интегральных уравнений получим характеристи еское уравнение вида:

[u(t) + u(-t)] / = f (-х), -.

(2)

Or

где Dx = х-d-, S(х) = u(х) + u(-х), F(х) = f (х) + f (-х) .

(Dx )25( х ) + 2pDxЗ( х ) + 2дЗ( х]

х) = и (х ) + и (-х), Р (х) = f (х) + f (-х) .

Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (1) р < 0, р2 = 2д ((х) е С (Ь), /(0) = 0 с

асимптотическим поведением /' (х) = 01 х^4 1, 8, >1 р\ при х — ±0. То да интегральное уравнение

(1) в классе функций и (х)е С(Ь) , обращающихся в нуль в точке х = ( решение содержит две произвольные постоянные и выражается фор

(с

где C50, C60 - произвольные по.

ль в точке х = 0, всегда разрешимо, общее ормулой:

х е L0

:5° + с>|х|) K-;\ ные' А,2 = - p'

f (х)]!, х е Li

(3)

произволь

к:2 [ f (х )]=f (х )+f f Г 2-ц,

N vv л'

f (t)+f (-')

dt, х е L

2

к-2 [ f (х )] =

2 - ¡jln

f (t) + f (-t)

dt, х е L

асимптотическим по

Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (1) р > 0, р2 = 2д, ((х) еС(Ь), {(0) = 0 с

( (х) = 0 ^,е > 0 при х —> ±0. Тогда интегральное уравнение (1) в

классе функций и (х)е С(Ь) , обращающихся в нуль в точке х = 0, имеет единственное решение, которое выражается равенством:

х

t

'( х ) =

К;2 [/(х)], х е £ К—2 [/ (х)], х е Ь

Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении (1) 2q — р2 > 0, р < 0, I(х) е С(Ь)

I(0) = 0 с асимптотическим поведением I (х) = 0 х"5 >|р| при х ^±0. Тогда интегральное

уравнение (1) в классе функций и (х )еС (Ь), обращающихся в нуль в точке х = 0, всегда разрешимо, общее решение содержит две произвольные постоянные и выражается формулой:

2(с,°«к(V2, — р21п|х|) ; Сш,^2, — р21п\х\))х» ; К« (I(х)), х е Ь2

( х ) =

где С, С80 - произвольные постоянные,

к;;, (I (х))

— г

2 (с>^ (V 2, — р2 /и|х|); Со0 ми у 2, — р2 /и|х|)) хр ; Кр3, (I (х )), х е £

I(х

к— р21их |;(р2 — ,)5

(V 2, — р2 /и|х|)

(4)

л

| (Г2 — ,)

/и— —

' — р2 /и

Х1 [р72,г7с<' '

•х V ' I (*); I (—)

dt

I (р2 — ,) 4

■\f2q~

(р2 — ,) бш ^2д — р

I (—t) sin (^ 2, — р2 /и|х|)

dt; I

л/2,

р sin

'х ^); I (—t)

dt.

Теорема 4. Пусть в интегральном уравнении (1) 2, — р2 > 0, р > 0, I(х) е С(Ь), I(0) = 0 с асимптотическим поведением I (х) = 0ха], а> 0 при х ^±0. Тогда интегральное

Х

Х

х

Х

уравнение (1) в классе функций и(х) е С(L), обращающихся в нуль в точке х = 0, имеет единственное решение, которое выражается формулой:

\К1 (/ (х)), х е L2

и (х) =

(/ (х)), х е L1• ^^

N

ения (1)

Задача . Требуется найти решение интегрального уравнения (1) из класса С (Ь), обра-гася в нуль в точке х = 0, при выполнении условий р < 0 , р 2 = 2, по граничным условиям:

/от" ч ^о

|х|—1р [(1 + 1п\х\)и(х) - 1п|х|Dx (и(х))] I = А2, х-р [Dx (и(х))-и(х)]] = В

где А2 и В2 - заданные числа.

Теорема 5. Пусть в интегральном уравнение ряют условиям теоремы 1. Тогда задача Ы4 имеет единственное решение, формулой (3), где

и (х ))-и (хЙ- 0 = В2,

'аУ

авнении (1) параметры р и д, функция [ (х) уд

С = А2,С0 = В2.

которое выражается

у?

нии (1)

меет е меет е

2, С60 = _

Задача . Требуется найти решение интегрального уравнения (1) из класса С (Ь), обра-

'нии (1) параметры р и д, функция [ (х) удовлетво

меет ед меет ед

С = А2, С: = найти решение интеграл

щающихся в нуль в точке ям:

2д — р > 0 по граничным услови-

( _ ,

( у] 2д — р 2/п |х| ) и (х) — -- '

^^^ Ы 2д — р 1п\х\

,(х ) + .

где А3 и В3 - заданные числа.

; Бх (и (х ))- -и (х = Аз -х=0

; бх (и (х))- -и (х = Вз -х=0

Теорема 6. Пусть в интегральном уравнении (1) параметры р и д, функция {(х) удовлетвори 3. Тогда з

ряют условиям теоремы мулой (4), где

задача N имеет единственное решение, которое выражается фор-

С7° = Аз, С = Вз.

Поступило 13.04.2017 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Раджабов Н. Интегральные уравнения типа Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Душанбе: Деваштич, 2007, 222 с.

2. Раджабов Н. Об одном классе модельного сингулярного интегрального уравнения, обобщающего одномерное интегральное уравнение Вольтерра с левой граничной сингулярной точкой в ядре. -Вестник ТНУ (научный журнал), 2012, №1/1(77) сер.естеств.н. - Душанбе: Сино,с.21-32.

3. Раджабова Л.Н., Шукурова Г.Н. К теории одного класса симметричного интегрального уравнения Вольтерра с внутренней сингулярной и логарифмической особенностью. - Вестник Таджикского технического университета. Научно-теоретический журнал, 2015, №3 (31), стр.10-13.

4. Раджабов Н., Зарипов С. К теории одного класса двумерного симметричного интегрального уравнения вольтерровского типа с одной граничной и одной внутренней сингулярной линиями. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №12, с. 962-970.

5. Раджабова Л.Н., Раджабов Н. К теории одного класса двумерного слабосингулярн о интегрального уравнения типа Вольтерра на первом квадранте. - ДАН РТ, 2014 т. 57, №6,

с. 443-451.

6. Раджабова Л.Н., Шукурова Г.Н. К теории двумерны логарифмической особенностью в ядре. - Мат-, проф. Т.С.Сабирова - Душанбе, 201

ых уравн

масъалаи наму. интегралии нам

дре. - 1 2015, с.143-144.

1.Н.Рачабова

с особенностью и посвящ. 75 -летию

Дар макола далли ошкор ги Волте

ши бар

лтерра бо махсу логарифмй

о%и миллии Тоцикистон

аи симметрии

:ият ва махсусияти

)рои доимидои ихтиёрй барои муодилаи симметрии интегралии намуди Волтерра бо махсусият ва махсусияти логарифмй дар долате, ки решадои муодилаи характеристикй баробар ва комплексй мебошанд, ёфта шудааст. Барои муайян намудани доимидои ихтиёрй масъаладои намуди Коши дал шудаанд.

Калима^ои калиди: муодила^ои симметри, муодила^ои интегралы, махсусияти сингуляри, махсусияти логарифм

L.N.Rajabova, G.N.Shukurova cauchy-type problem for symmetric integral equations of type volterra with singularity and a logarithmic singularity

ietric lnteg

Tajik National University

In the article the solutions containing arbitrary constants of symmetric integral equation of Volterra type with a singular and logarithmic singularity, when the roots of the characteristic equation are equal or complex-valued are obtained. To determine the arbitrary constants the Cauchy problem is resolved.

Key words: symmetric equations, integral equations, a singular feature, a logarithmic singularity.

srr^

sO

>> Jy Ay

A Jv Jv