CC BY
34
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.2
Г.Джангибеков, Д.М.Одинабеков*
ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ОБЩИХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Таджикский национальный университет, Таджикский государственный университет коммерции
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 05.06.2014 г.)
В работе изучается вопрос нётеровости и индекса задачи Неймана для общей эллиптической системы дифференциальных уравнений второго порядка. Исследование этой задачи проводится методом эквивалентного её приведения к двумерному сингулярному интегральному уравнению по ограниченой области на плоскости.
Ключевые слова: эллиптическая система - задача Неймана - сингулярные интегральные уравнения -нётеровость и индекс задачи.
Пусть О - конечная односвязная область плоскости, ограниченная замкнутой кривой Ляпунова Г.
Рассмотрим следующую систему уравнений второго порядка
2 С2и Си Си
^а!(У) дх]ду2"1 + Ь (X,У) & + Ь2(X,У)ду + Ь0(Х'У)и = 9(Х'У(1)
где а (х, У), Ь (х> У) (1 = 2) - квадратные матрицы размера 2 х 2, и = (щ, и2) - неизвестная вектор-функция переменных х, у, 9 = (9, д2) - заданная вектор-функция.
Оператор из левой части (1) называется эллиптическим в О, если в любой точке (х, у) е О для всякого дествительного параметра £, выполняется условие
2
ёе! ^ а} (х, у)? * 0. (2)
1 =0
Введя комплексную функцию Ж(г) = щ (х, у) + ш2 (х, у), х = х + гу, умножая одно из уравнений (1) на мнимую единицу г и складывая с другим, мы можем записать систему (1) в комплексном виде
а( х)Ж - + Ь( 2)Жхг + с( + й (+ е( + Н( х)Ж гг +
+а, (х)Ж- + Ь1(х)Жж + Ф)Ж + й1(х)Ж- + г,(£)Ж + Н1(г)Ж = 9 (х), (3
Адрес для корреспонденции: Джангибеков Гулходжа. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рубаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail:jangibekov@land.ru; Одинабеков Джасур Музофиро-вич. 734055, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Дехоти 1/2, Таджикский государственный университет коммерции. E-mail: jasur_79@inbox.ru
где формальные производные по 2 и г определяются обычным образом
1
дг ~ 2
{ д д ^ я я А
--г-
д 1
дх ду) дг 2 ^дх ду )
дд
а коэффициенты а(г), Ъ(г) и так далее будем считать непрерывными функциями в О, а
д(г) е Ир (Б), 2 < р
По главной части системы (1) построим матричный полином
¥ (г) =
^ а( г) + с( г)г + е( г)г Ъ( г) + й (г)г + к( г)^
и | = 1, г е Б.
Ъ( г) + й (г)г + к( г) а( г) + с( г)г + е( г)г ^ Эллиптичность системы (1) означает, что для всех г : | г | = 1, Уг е Б выполнено неравенство
А* ¥ (г) = |р (г )| 2 -|бг (г )1 2 * о, (4)
где р (г) = с(г)2 + а(г) + е(г), ^ (г) = й(г)г + Ъ(г)г + к(г).
Множество всех полиномиальнах матриц вида р. (г), удовлетворяющих условию ёй¥(г) > 0(< 0) для всех г:| г | = 1,Уг е Б, обозначим через ¥+ (¥-).
Две матрицы I'] ( / ), /'?(/ ) из /' (/' ) назовем гомотопными, то есть /'_' (/ ) ~ р2( /). если существует семейство полиномиальных матриц ¥1(г',т) из ¥+ , непрерывно зависящих от действительного параметра т: 0 <т < 1, такое, что
¥ (г; 0) = ¥1(г), ¥ (ц\) = ¥^(г).
Известно [1], что соотношение гомотопии разбивает ¥+ (¥ ) на три класса гомотопии - связанные, открытые компоненты у0,у,у2 :
класс у0) 1пйщ=р (г) = 0, то есть квадратный трехчлен р (г) внутри единичного круга | г | = 1 корней не имеет;
класс у ) 1пйщ=уР2 (г) = 1, то есть р (г) внутри единичного круга | г | = 1 имеет один корень;
класс у2) ЫтР2 (г) = 2, то есть р (г) внутри единичного круга | г | = 1 имеет два корня.
Эти классы составляют полную систему множеств ¥+, то есть ¥г1 и ¥из ¥+ принадлежат
некоторому классу ук,к = 0,1,2, тогда и только тогда, когда I'] (/ ) ~ /'?(/).
Устанавливается, что указанные классы однозначно описываются соответственно условиями
| \(г) | > Х( г) , (5)
| Л2 (2) | > Х(2) ¿)+ | /(2) | 2 - | К2) | 2 - | /(2) | 2 - | 2) | 2 , (6)
| Л3 (2) | > Х( 2) + (7)
где
Л = | а |2-| Ь |2,Л2 = |с |2-| й|2,Лз = | е |2-| к |2, \ = ас - Ьй, Ч = кс - ей, Ч = ае - Ьк, / = ай - Ьс= кй - ес,/ = ак - Ье,
\М (2), если Л. (2) > 0,
%(. 2) = 1 1
I т(2), если Л. (2) < 0,
М(2) = Яе{/2 (2)1 - (/Ч (2)) + Ч (2)},
т(2) = ШШк|=1 Яе{/2(2У - (/Ч2(2)) + Ч2У}.
В соответствии с гомотопическими классами У1,У2,Уо, то есть условиями (5),(6),(7), эллиптическая система (1) приводится к одному из трех видов:
\( 2)Ж- + Ч( 2)Ж + /(2)^-2-2 + Ч 2)Ж- + /(2)Ж 22 + Т(Ж) = 91( 2), (8)
Ч(2)Ж--/(гШъ + Лг&Ж в-/(2Ж а +Ч(2)ЖВ + ЧЖ) = 92(2), (9)
Лз(2^Ж-- /з(2)¥~22 - М2)К -М2)¥й + ЛзЖл + Тз(Ж) = 9з(2), (10)
где 9 = а9 - Ь9, 92 = С9 - й9, 93 = ей - к9, Т](Ж) (1 = 1,2, з) - младшие члены.
В работе [2] методом редукции к двумерным сингулярным интегральным уравнениям по области были получены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости и формулы для подсчета индекса задачи Дирихле для эллиптических систем общего вида (1).
Без ограничения общности будем считать, что область О - есть единичный круг: О = {2 : | 2 | < 1}. Здесь рассматривается
Задача Неймана. Найти непрерывные решения системы (1) в области О из класса Ж^(П),
2 < р <х>, удовлетворяющие на границе Г условию
СЖ
— |г = 0. (11)
СП
Поскольку [1],[3],[4] любая функция, обладающая в D обобщёнными производными второго порядка с непрерывными в Б первыми производными, удовлетворяющая условию (6) и ^ Ж(= 0 может быть единственным образом представлена в виде
Ж(г) = ЦО(г, С)//(г) е И(Б), 2 < р < ю,
Б
где
- 2 — 1 3
О (г, С) = -Ы | (г - £)(\ - гС) | - -(| г | 2 + |С | 2) + 3, л л 4
тогда имеем
Жг-г = /(г)-Л ¡¡/(Ы, == ~ ^
Ж, = /Ц) - - [[Ш(, Жг = -- ¡[СС- - Ц/.
л Б л Б (С - г) л Б (1 - гС)
1 гг /(С)
л Б (С-г)2
1 ГГ КС)
л У (С-г)2
■скс-1
С л Б (1 - гС)2 С,
-I ГГ С2 / (С) Л г л-У (1 - С2 С
Подставляя значения указанных производных в системы (8)-(10) и выделив вполне непрерывные слагаемые, получим, что задача Неймана для системы (1) в соответствии с классами гомотопии
У1, У2, Уо в пространствах И (Б), 2 < р < ю эквивалентна одному из трех сингулярных интегральных уравнений
V/- г/- z2 в)/- 22 в)/- г/+т/=(12)
V-а/ + А2(^ - -/Б)/- г2 В)/ + - ~г2В)/ + Т/ = (13)
Аз/-Мз(г)/-^Б - г Б)/-Л2(Б - г2 Б)/ + А3(Б - г2 Б)/ + Т/ = (14)
где
(Б/)(г) = -1 ¡¡-^Цтй^, (Б/)(2) = 1 [[ ЯС1 ск^ л» (С- г)2 С л» (1 - гС)2 С
- элемент плоской меры Лебега, первый интеграл понимается в смысле главного значения Коши.
гг
Применяяя к сингулярным интегральным уравнениям (12)-(14) теорему (1) из работы [2], получим, что справедлива
Теорема. Для того чтобы задача Неймана (6) для эллиптической системы (1) была нётеро-вой, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:
a) неравенство (3) для всех 2 е О;
b) неравенство (4) для всех 2 е О и Ч(0Ч(0 + Л(0/(0 * 0, V! е Г,
c) неравенство (5) для всех 2 е О и Ч (1 )Ч (0 - Л (0/ (0 * 0, V! е Г.
При этом если выполнено условие а), то задача фредгольмова, если выполнено Ь), то индекс задачи равен
к = 2ШТ (Ч(1)Ч (1) + Л (0/(0),
если выполнено с), то
к = -2ШТ (Ч (1)Ч (1) - Л (1)/(1)) .
Поступило 09.06.2014г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Боярский Б.В. Исследования по уравнениям эллиптического типа на плоскости и граничным задачам теории функций: Автореф. дисс...д.физ.-мат.н. - М., 1959, 43 с.
2. Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам эллиптических систем уравнений на плоскости - ДАН России, 1993, т. 330, №4, с. 415-417.
3. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. - М.: Физматгиз, 1959. 627 с.
4. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1987, 415 с.
Г.Ч,ангибеков, Ч,.М.Одинабеков* МАСЪАЛАИ НЕЙМАН БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ЭЛЛИПТИКИИ УМУМИИ ТАРТИБИ ДУЮМ
Донишго^и миллии Тоцикистон, *Донишго%и давлатии тицорати Тоцикистон
Дар макола шартхои зарурй ва кифоягии нётеровй ва формула барои хдсобкунии индек-си масъалаи Нейман барои системаи муодилахои дифференсиалии эллиптикии умумии тартиби дуюм омухта шудааст. Омузиши ин масъала ба тадкик намудани муодилахои сингулярии дуче-нака аз руи сохаи махдуд дар хамворй оварда мерасонад.
Калима^ои калиди: системаи эллиптикй - масъалаи Нейман - муодилаи интегралии сингулярй -нётеровй ва индекси масъала.
G.Jangibekov, J.M.Odinabekov* NEUMANN PROBLEM FOR GENERAL ELLIPTIC SYSTEM OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
Tajik National University, Tajik State University of Commerce
In this paper the noethericity and index question of Neumann problem for general elliptic systems of differential equations of second order was studied. Investigation of this problem is carried out by method of bringing the equivalent into two-dimensional singular equation on a bounded domain on the plane. Key words: elliptic systems - Neumann problem - singular integral equation - neothericity and index problem.
