CC BY
35
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2010, том 53, №1________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.554
Х.С.Хидиров
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 20.10.2009 г.)
Доказано существование решения неоднородной системы линейных уравнений с непрерывными коэффициентами на отрезке [-1;1], где концы отрезка и точка х=0 - сингулярные точки уравнения, и найдено количество решений однородных систем в классах С и М.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения - линейные системы - сингулярные точки.
В работах [1] и [2] ранее была изучена система с одной и двумя сингулярными точками (х = 0, х = 1).
П
,1 -
xy\ = Z akj(x) у] + f](x)
n ]=1 (!)
x(x —1)yk = Z ak](x)y] + f](x)(k = 1,2,...5 n)>
1=1
где 0/(х) — заданные непрерывные функции (в отличие от теории Фукса [3]): что касается свободных
членов и решений, то они могут быть непрерывными (класс С) либо просто ограниченными (класс М). В предлагаемой работе тот же метод будет распространён на систему с тремя сингулярными точками.
П
х(х —1)(х +1)у[ =2(х)у. + (х), (к = 1,2,...,п) . (2)
1=1
Или в векторной форме
х(х — 1)(х + 1)У 1 = А(х) ■ У + ¥(х), где ¥(х) = (Л,/2...,/п), У(х) = (У1,У2,...,Уп. Заметив, что для функции у = 1 ^1 — будет У = —--------------------------------------------------------------------------------------------у- , мы рассмотрим сначала модельную систему дифференциальных уравнений.
x ( x +1)( x — 1)
Адрес для корреспонденции: Хидиров Худойкул Сатторович. 735360, Республика Таджикистан, г. Куляб, ул.Сангака Сафарова, 26, Кулябский государственный университет им. А.Рудаки. E-mail: [email protected]
х(х + 1)(х - 1)у[ = 2 ак] (0) • У} + І (X), {к = 1,2,..., и), (-1 < х < 1)
І=1
Для однородной системы
(3)
х(х +1)(х - 1)_ук = 2 акз(0) • У І,(к = ^г.^ п)
І=1
решения будем искать в виде:
Ч1-хО •г*2[1 -"..'Ч1 -
(к)
- У (X)
(3о)
(4)
Подставляя (4) в (30), получим характеристическое уравнение
д(л)=А(0) -л/| = о,
(5)
где А( х) = ||а^. (х)||, (к,. = 1,2,..., п) , 1-единичная матрица.
Будем рассматривать случай, когда корни (5) (вещественные или комплексные) все различные, обозначаются Х,Х,...,ЛП и ^е\ф 0,(к = 1,2,...,п) из этого необходимо следует, что
А0 = ёе!А(0) Ф 0 . Если (/и,/^2,...,^),(к = 1,2,...,п) являются линейно независимыми решениями систем с определителями, равными нулю, ранга П — 1)
[А(0)- XI ] = 0
[аи(0) - Л-к ] • Гк1 + а12(0)/к2 + • • • + а2и (0)7ки = 0 а21(0)/к1 + [а22(0) - Лк]П2 + • • • + а2и (0)Пп = 0
аи1(0)/к1 + ап2(0)Ук2 + • • • + [апп(0) - Лк ]Укп = 0
то ёеи \уЛ = Г Ф 0, и
Л1 -т) -/к2['---Х2)
(к)
= У0 (х), (к = 1'2'...' п) образуют
п-линейно независимых решений системы (30). Записывая общее решение системы (30)
уз(х)=2скУкз(1 —21 ,(з = ід...,п)
к=1
х
п (к)
У( х)=2 скУ (х);
к=1
<
Л
где с — произвольные постоянные, для нахождения частного решения неоднородной системы У( х) = У Я ) методом вариации постоянные будем иметь
п ( 1 V* йС
- -1
к=1
х
йх х(х + 1)(х -1)
,(І = 1'2'...'п) •
Откуда получаем
йс х2Лк-1 п
к- -2 з- и=l,2,..., п),
йх (х2 - 1)Л
(6)
где а. = Гк.^,и Г — алгебраическое дополнение элемента ^ в матрице ||/^||,(к,. = 1,2,...,п). Интегрируя (6) в пределах [-1,х] и [х,1] при ЯеХ < — 1 и в пределах [х,0] при Яе^ > 1, (к = 1,2,...,п)
и вводя операторы
0 ї к-1 1
Ъу=-1ь—у^^ КеЛк > о ’ (к=1,2,..., п) і (ї - 1у 2
х ЛЛъ-Х
1 ЛЛь-\
, Яе <-1, (к = 1,2,...,п),
сможем записать
( п 1 п
2акіїк =2аківк(їк) ,
^і=1 ] і=1
так что
€(х) = 2 І- (р=1,2,..., п)=
І=1
6рі=2УкаЛ, и=1,2,,п), (7)
к=1
Таким образом, общее решение (3) дается формулами
п ґ 1 п
Ур(х) = 2%I1 ^^"2 ) + 2і (Р = 1,2,...,п),
к=1 V х ] І=1
Лк
п
n (k)
Y(x) = 2C Yq(x) + TqF.
-"к 0'
к=1
Возвращаясь к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (2) к системе с постоянными коэффициентами, но со «свободными членами»
П
Ь (х)=2 / х) у*+// (х) а/*(х)=а/*(х) — а*(0) •
к=1
Вставляя их в формулы обращения (8), придем к системе интегральных уравнений
П ^ 1 Л -^к П
У1(х) = Т11У1 + • • • + ТщУп + 2скПкI 1 —И + 2//,
к=1 V Х У ./=1
n Ґ 1 Л Ak n
Уп (x) = Tnl Уі + • • • + On +2 ckYnk I 1---2 1 +26nJfJ
k=1 V X J J=1
n (k)
Y = TY+2 C Yq( x) + Tq F
J=1
n
где І^У = 2 в (a
J=1
v=22 вц (а]РУ). (9)
Как показывают формулы (9) и (6), все Ткр выражаются в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами над простейшими операторами
Q a (t) • 12Х*—1 в)шУ=в к(t) у(t)]=—j a-2—vv+r y(t )dt= J J x (t2 — ljk
0&y = 0,:K (t)y(t)] = j ^ _ 1 yt +! y(t)dt + J *2 ^ ^+! yit)dt.
Прежде всего, поскольку aki (t) непрерывны, то операторы 6]ki действуют и ограничены в С и М, причем в^ы l-i^rr -Iу, где ^=maxJ ak, (t)l , то нами доказана
в± <
eJki Re^.
Теорема. Пусть в системе (2) коэффициенты а^(х) — заданные непрерывные функции (без ограничения общности можем считать их вещественными) и пусть определяемое значениями 0/(0) — характеристическое уравнение (5) имеет п-различных корней ,...,Ап (вещественных или
комплексных, причем Ф 0,(/ = 1,2,...,п)). Тогда:
1) каков бы ни был отрезок [-1,1] и свободные члены из С или М, всегда существует частное решение неоднородной системы (2) из того же класса;
(k)
2) однородная система (3) имеет Р линейно независимых решений Y(х), одних и тех же в С и М, где Р есть число корней Xj, для которых Re^ > 0.
Поступило 5.11.2009 г
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 1994, т. 336, № 1, с.21-24.
2. Михайлов Л. Г., Хидиров Х.С. - ДАН РТ, 2009, т.52, № 3, с.169-173.
3. Хартман. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970.
Х.С.Хидиров
СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДЙ БО СЕ НУЦТАИ СИНГУЛЯРЙ
Донишго^и давлатии Кулоб ба номи А.А.Рудаки
Барои системаи муодилах,ои хаттий бо коэффисиентх,ои бефосила дар порчаи [-1,1], ки охирх,ои порча ва нуктаи х=0 нуктаи сингулярй мебошад, мавчудияти хдлли системаи муодилах,ои гайриякчинса дар синфх,ои С ва М исбот карда щуда, микдори хдлли онх,о дар системаи якчинса ёфта шудааст.
Калима^ои калиди: муодилауои дифференсиалии хаттй - якцинсаю системаи - бефосилагй -нуцтаи сингулярй.
Kh.S.Khidirov
LINEAR SYSTEMS OF THE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH THREE SINGULAR POINTS
A.Rudaki Kulyab State University For linear systems of differential equation from are continuous factors in piece [-1; 1] which end of piece and point x=0 is singular points it is proved existence decisions in classes C, M is found quantity decision inhomogeneous systems.
Key words: ordinary differential equations - linear systems - singular point.
