Интегральные представления решений и задачи Коши-Рикье для одного уравнения, полученного итерированием обыкновенного дифференциального оператора первого порядка со сверхсингулярной точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №9-10_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.91

М.Я.Дадоджонова, А.Г.Олимов, академик АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабов

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ И ЗАДАЧИ КОШИ-РИКЬЕ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧЕННОГО ИТЕРИРОВАНИЕМ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

Худжандский государственный университет им. Б.Г.Гафурова, Таджикский национальный университет

В статье найдено интегральное представление общего решения уравнения, полученного итерированием обыкновенного дифференциального оператора первого порядка со сверхсингулярной точкой, в случаях, когда эта точка является левой или правой граничной сверхсингулярной точкой уравнения. Исследованы поведение решений в окрестности сверхсингулярной точки и задачи Коши-Рикье.

Ключевые слова: уравнение, полученное итерированием - обыкновенный дифференциальный оператор первого порядка - граничная сверхсингулярная точка - задача Коши-Рикье.

Пусть Г = (а, Ь) - интервал вещественной числовой оси, с - точка, удовлетворяющая неравенству а < с < Ь и Гс = Г \ {с}. На множестве Гс рассмотрим уравнение вида

АПсУ = /%, (1)

X _ с

где А СУ = У + Р(Х\ У--Х\ - обыкновенный дифференциальный оператор первого порядка,

' |х - с| |х - с|

а > 1 - д^ствительше п - натуральное число А с У = Аа,с (А71сУ), А0,с У = У, ■ Р( х) ■, 1( х), /(х) - известные функции, а У(х) - искомая на Гс функция. Левая часть уравнения (1) состоит из оператора, полученного п -кратной итерацией дифференциального оператора Аа с.

Определение. Решением уравнения (1) называется функция у( х), удовлетворяющая услови-

ям А6асУ £ С1{Гс) , 5 = 0,(п — 1), которая обращает это уравнение в тождество относительно точек Г .

Адрес для корреспонденции: Олимов Абдуманон Гафорович. 735700, Республика Таджикистан, гХуджанд, проезд Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]; Раджабов Нусрат Раджабович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected].

Отметим, что исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений c сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящён ряд работ, например [1-5]. В работах [1,2] уравнение (1) изучено в случае n = 1 и р> 1, а в работе [3] в случае р = 1. В них построены интегральные представления решений уравнения в зависимости от расположения сингулярной или сверхсингулярной точки x = c на Г . Рассмотрены случаи, когда она совпадает с левой, правой граничной точкой интервала и является внутренней ее точкой. С помощью полученных формул исследовано поведение решений в окрестности сингулярной или сверхсингулярной точки. В работе [2] решены задачи типа Коши.

Целью настоящей работы явилось нахождение интегрального представления общего решения уравнения (1), в случаях, когда сверхсингулярная точка c совпадает с граничными точками интервала Г , применение их к изучению свойства решений в окрестности этой точки, выяснению постановки и решению задач Коши-Рикье.

1. Случай, когда точка c является левой граничной сверхсингулярной точкой уравнения (1). Допустим, что в уравнении (1) точка c совпадает с левой граничной точкой Г, то есть c = a . Тогда уравнение записывается в виде

An v = f(x) A v - p(x) v q(x) xеГ =Г (11)

Ap'aV = (x - a )a ' A(,aV " V+ (x - a)a V (x - a)a , x ^ =Г , (U)

для которой точка a является левой граничной сверхсингулярной точкой. В этом случае справедливо следующее утверждение:

Теорема 1.1. Пусть в уравнении (1.1) p(x), q(x), f(x) е С (Г). В окрестности точки x = a функция p( x) удовлетворяет условию |p( x) — p(a)\ < L (x — a)'1, L = const. > 0, ' >p — 1 при x ^ a + 0 и p(a) > 0.

Тогда общее решение уравнения (1.1) выражается следующей формулой:

v( x) = exp [_p(a)cop(x)- wapa ( x)]^

•liZЧ(Ж — a)-a exp[wppa(£) — p(aW(tj]d£ +

L a j=0 J !

(x — „™.Г,„р f i Y^r (x~a)J I _

+i(x n, f(£U— a)-p expw(,a(£)-p(a)®P(Z)dZ + ZCj .. f -

a(n—1)! j=o 1 jj j

- К a q,f, C10, C11,..., C1( n— ] > (12)

где wpa(x) —dt, coP(x) = [(( — 1)(x — a)p 1 j1, Cj, J = 0,(n — 1) - произвольные

a (t—a )

стоянные.

Непосредственными вычислениями можно убедиться, что для степеней оператора А от функции вида (1.2) справедлива следующая формула:

А,аУ = еХР \_Р(а)о>а (XX) — <в (х)] Р^ д(Ш- а)- а ехр [ (Р) - Р(а)©а (Р)] йр +

I а 1=00 1 !

+} (х-Р)"-*-1 ^л^лЪ* , ^ (х-а) ^

-f (Ш - a)-о exp [ wPa (Р) - p(aK (£)>£ + ZC

(n - s -1)1— ' ^ — v - — -j - js 1 (j - s).

- K«s [p,q,f,Cw, C„,..., Ci( n-i) ], s = 0,(n -1). (1.3)

Замечание 1.1. Пусть в теореме 1.1 вместо условия p(a) > 0 выполняется условие p(a) < 0, функции q(х), f (х) в точке a обращаются в нуль и удовлетворяют, соответственно, условию q(x)exp [-p(a)^" (х)] = O ((х - a)Pi), f (x)exp [-p(a)^"(x)J = O ((х - a)n ), Д,^ > о -1 при x ^ a + 0 .

Тогда общее решение уравнения (1.1) опять выражается формулой (1.2).

Замечание 1.2. Непосредственно из представления (1.2) следует, что все решения уравнения (1.1), при х ^ a + 0 стремятся к бесконечности в случае p(a) > 0; к нулю в случае p(a) < 0 и имеют порядок y(х) = O {exp ^p(a)^0(х)^. Они удовлетворяют следующим характеристическим равенствам:

{exp[-p(a)<(-)] А1аУ\__а+0 = Qs, s = 0,(n -1) . (1.4)

2. Случай, когда точка c является правой граничной сверхсингулярной точкой уравнения (1). Допустим, что в уравнении (1) точка c совпадает с правой граничной точкой Г, то есть c = b. Тогда уравнение записывается в виде

An y = .f(х) A y-V>| р(х) y q(х) хеГ =г (21)

А,ьУ = (b-х) о ' AobV-y+ (b-х) о y (b-х) о , хеГь =Г , (2.1)

для которого точка b является правой граничной сверхсингулярной точкой. В этом случае справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.1. Пусть в уравнении (2.1) р(х), q(х), f^) е С(Г). В окрестности точки х = b функция p(х) удовлетворяет условию |p(b) - p(х)| < L2 (b - х) 2, L - const. > 0, /2 > о -1 при х ^ b - 0 и p (b )< 0.

Тогда общее решение уравнения (2.1) выражается следующей формулой:

a

у(х) = ехр [-р(Ъ)юр(X) - ъ (х)}\ £С2; -

V у=0 .) !

"1 £ Ч(О)(Ъ -ета ехр [ <ъ (О) + р(Ъ)юрО)]^

J!

1(Х- еП- /е)(Ъ - ОТр ехр [™рръ (О) + р(Ъ)аР(£)Уе | -

= КЪ Ър Ч'/' С20' Сц'---' С2( п-1 ) ] ' (2-2)

где (х) = ЬР(Ъ Р() Ж, сСр(х) = [(р-1)(Ъ-х)Р 1 ] 1, С2Я J = 0,(п-1) - произвольные

X (Ъ- 1)

стоянные.

Для степеней оператора Аа ъ от функции вида (2.2) имеет место следующая формула:

' п-1 (Ъ-х)

J=в

Ъ п-в-1 ,

х J !

АРъУ(х) = ехр\-р(Ъ)сэР(х)-™ррЪ(х)]-«| {-\У^£С2]

Ъ п-в-1 / _ ечу

1 £ д(О)(Ъ-О)-р ехр(О) + р(Ъ)юР(О]ЖО-

■( х- О)п

— ■ - 11/ II II —

/О)(Ъ-р ехр[wРъ(О) + р(Ъ)юре)Уе

х (п-в-1)!

= Кр [Р' Ъ/' С20' С21С2(п-1) ] В = 0,(п~ 1)- (2-3)

Замечание 2.1. Пусть в условиях теоремы (2.1) вместо неравенства р(Ъ) < 0 выполняется условие р(Ъ) > 0, функции д(х) и /(х) в точке Ъ обращаются в нуль и удовлетворяют, соответственно, условию

д(х)ехр \_р(Ъ)сРъ(х)]= О ((Ъ-х)?2), /(х)ехр \_р(Ъ)юРъ (х)] = О ((Ъ-х)?2), /32,у2 >р-1 при х ^ Ъ-0.

Тогда общее решение уравнения (2.1) опять выражается формулой (2.2).

Замечание 2.2. Непосредственно из представления (2.2) следует, что все решения уравнения (2.1) при х ^ Ъ - 0 стремятся к бесконечности в случае р(Ъ) < 0 ; к нулю в случае р(Ъ) > 0 и имеют

порядок у(х) = О {ехр ^-р(Ъ)ср(х)^. Они удовлетворяют следующим характеристическим равенствам:

{ехр\_р(Ъ)ср(х)\А1ъу}х__ь = (-1)'С2,, в = 0^-1) . (2.4)

3. Постановка и решение задач Коши-Рикье. Полученные в предыдущих пунктах интегральные представления общего решения уравнения (1) позволяют ставить и решать задачи Коши-Рикье с условиями в сверхсингулярной точке. Приводим постановку задач.

Задача 3.1. Пусть в уравнении (1) точка c совпадает с левой граничной точкой интервала Г , c = a, то есть является левой граничной сверхсингулярной точкой уравнения. При выполнении условий теоремы 1.1 найти решение уравнения (1.1), удовлетворяющее следующим граничным условиям:

{exp[-p(aK(-)]А,у}_+0 = /г , s = 0,(n -1), (3.1)

где y^, s = 0, (n -1) - заданные постоянные числа.

Задача 3.2. Пусть в уравнении (1) точка c совпадает с правой граничной точкой интервала Г , c = b, то есть является правой граничной сверхсингулярной точкой уравнения. При выполнении условий теоремы 2.1 найти решение уравнения (2.1), удовлетворяющее следующим граничным условиям:

{exp [p(b)< (х)] = y'2, s = 0,(n -1), (3.2)

где ys2, s = 0, (n -1) заданные постоянные числа.

Решим задачу 3.1. Используя интегральное представление (1.2), формулу (1.3) для степеней оператора Aaa и равенства (1.4), потребуем выполнение граничных условий (3.1). Тогда находим

значение произвольных постоянных Cls: Cls = yf , s = 0,(n -1) и, подставляя их в формулу (1.2),

получим решение задачи 3.1. Покажем, что найденное решение задачи 3.1 является единственным. С этой целью установим, что вообще задача 3.1 не может иметь два различных решения.

При помощи математической индукции легко доказать, что для функций y (х) и y2 (х), удовлетворяющих условиям определения, приведенного в начале статьи, справедливы формулы:

AoV! - = В, a (y - y2) , * = 1,2,..., П , (3.3)

где Baav - v'(х) ^^р^х^оо v(х), B^av = B^ (В», B0aV - v .

Теперь допустим, что задача 3.1 имеет два различных решения y (х) и y2 (х), y (х) ^ y (х) . Тогда на основании формул (3.3) заключаем, что их разность v(х) = y (х) -y (х) будет решением уравнения

Bl av = 0, (3.4)

причём удовлетворяющим следующим граничным условиям в точке х = a :

{exp[— p(aК(-)]К,av}_+0 = 0, s = 0, (n -1) . (3.5)

Таким образом, для нахождения функции V (х) = у (х) — у (х) приходим к граничной задаче (3.4), (3.5). Общее решение уравнения (3.4), согласно представлению (1.2), записывается в следующем виде:

V (х) = exp [p(a)<(х) - wpja(х)]-

^ ( х — а) У

_]=0 У !

Для степеней оператора а от этой функции имеем следующие равенства:

(3.6)

B^ay = exp [ p(a)a>: (х) - wapA (х)]-

Й (х - a)j-s

^ 1 (j - s)!

j=s

,s = 1, (n -1) . (3.7)

Используя формулы (3.6) и (3.7) находим, что задача (3.4), (3.5) имеет единственное нулевое решение

V(х) = 0 . Отсюда следует, что у (х) — у (х) = 0 или у (х) = у (х) . Значит, задача 3.1 не может

иметь два различных решения, её найденное решение единственное. Таким образом, доказано следующее утверждение:

Теорема 3.1. Пусть относительно уравнения 1.1 выполняются условия теоремы 1.1. Тогда задача 3.1 имеет единственное решение, которое выражается формулой

у(х) = К [р,д,/,у0,у;,...уГ1 ]•

Для решения задачи 3.2 действуем аналогично и убедимся, что единственное ее решение получается из формулы (2.2) при замене произвольных постоянных С2ж начальными данными, соглас-

но равенств C2s = (- 1)s ys2, s = 0, (n -1) .

Теорема 3.2. Пусть относительно уравнения 2.1 выполняются условия теоремы 2.1. Тогда задача 3.2 имеет единственное решение, которое выражается формулой

y(х) = Къ [p, q, f, y0, -y1,..., (-1)n-1 y2n-1 ].

Замечание 3.1. Аналогичные результаты получены и в случае, когда точка c является внутренней сверхсингулярной точкой уравнения (1).

Поступило 28.09.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Раджабов Н., Шевчук В.К. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений со сверхсингулярной точкой. - ДАН ТаджССР, 1989, т. 32, №8, с. 506-509.

2. Rajabov N. Introduction to ordinary differential equations with singular and super-singular coefficients. - Dushanbe, 1998, 160 p.

3. Дадоджонова М.Ё., Раджабов Н.Р., Олимов А.Г. - Вестник педагогического университета. - Душанбе, 2013, №5(54), с. 39-43.

4. Rajabov N. - Partial Differential and Integral Equations, 1999, Kluwer Academic Publishers . Printed in Netherland , pp. 347-357.

5. Олимов А.Г. - Современные проблемы математики и её приложения. - Мат-лы междунар. научн. конф., посвящ. 70-летию чл.-корр. АН РТ Мухамадиева Э.М. - Душанбе: Дониш, 2011, с. 99-101.

6. Олимов А.Г. - Учёные записки Худжандского государственного университета им. Б.Г.Гафурова, 2010, №2(17), с. 17-19.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: ГИФМЛ, 1963, т.3, 656 с.

8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: ГИФМЛ, 1959, 468 с.

М.Ё.Дадочонова, А.Г.Олимов, Н.Р.Рачабов* ТАСВИРХОИ ИНТЕГРАЛИИ ^АЛ^О ВА МАСЬАЛА^ОИ КОШЙ - РИКЕ БАРОИ МУОДИЛАЕ, КИ ДАР НАТИЧ,АИ ТАКРОРШАВИИ ОПЕРАТОРИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДИИ ТАРТИБИ ЯКУМ БО НУЦТАИ СИНГУЛЯРНОКИАШ БОЛО ^ОСИЛ ШУДААСТ

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи академик Бобоцон Рафуров, *Донишго%и миллии Тоцикистон

Дар макола тасвири интегралии хдлли умумии муодилаи кисми чапаш дар натичаи так-роршавии оператори дифференсиалии оддии тартиби якуми нуктаи сингулярнокиаш боло х,осилшуда, дар х,олатх,ои ин нукта нуктаи сархддии чап ё рости сингулярнокиаш болои муодила будан сохта шудааст. Рафтори х,алх,ои муодила дар атрофи нуктаи сингулярнокиаш боло омухта, масъала^ои Кошй - Рике тадкик карда шудаанд.

Калима^ои калиди: муодилаи бо роуи итеронидан уосилшуда - оператори дифференсиалии оддии тартиби якум - нуцтаи саруадии сингулярнокиаш боло - масъалаи Коши-Рикйе.

M.Ya.Dadojonova, A.G.Olimov, N.R.Rajabov* INTEGRAL REPRESENTATION OF SOLUTIONS AND COSHY-RYKE PROBLEMS FOR ONE EQUATION RECEIVED BY ITERATING AN ORDINARY DIFFERENTIAL FIRST-ORDER OPERATOR WITH A SUPER-SINGULAR POINT

B.G.Gafurov KhygandState University, Tajik National University This article touches upon a differencial equation the left side of which consists of iterations of an ordinary differencial first - order operator with a super-singular point. In cases when the super-singular point consides with the left or right border point of the interval, there are received integral representations of the general solutions of the equation. The formulars received by this way are used for clarifying the characteristics of the solution in the border super-singular point and to solve by Coshy-Ryke problems. Key words: equation obtained by iterating - ordinary differencial first-order operator - border supersingular point - Coshy-Ryke problem.