CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №6_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Ф.М.Шамсудинов
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЁННОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СВЕРХСИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Курган-Тюбинский государственный университет им.Н.Хусрава
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 11.03.2015 г.)
Для одной переопределённой системы уравнений второго порядка со сверхсингулярными коэффициентами найдены представления многообразия решений при помощи одной произвольной постоянной, изучены свойства полученных решений, а также рассмотрены задачи В1г В2 и В3.
Ключевые слова: многообразия решений - переопределённая система - прямоугольник - свойства решений.
Пусть Б - прямоугольник
В = {(х, у) : 0 < х <6 0 < у < 62 }.
Далее обозначим
Г ={ у = 0,0 < х <6,},Г2 = {х = 0,0 < у <52}. В области В рассмотрим систему
д2и а, (х, у) ди Ъх (х, у ) ди с, (х, у ) _ / (х, у )
""Ъ " п " п и -
дхду га дх г( ду гаЪ( гаЪ( '
ди + а2(ы1и = ¡2(х у) ш
/-.у у 5 V /
дх г г
ди Ъ2 ( х у ) /з (х у )
+-6— и =-6—,
ду г г
где г2 = х2 + у2, а] (х, у), Ъ] (х, у), с1 (х, у), / (х, у), ^ = 1.2, к = 1.3 - заданные функции в области В, а < 1, (< 1, у > 2, 6 > 2.
Проблеме исследования уравнений и переопределённых систем с регулярными, сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящены работы [1-10].
Система уравнений (1) с двумя линиями вырождения была изучена в [5].
В настоящей работе на основе способа, разработанного в [4] и [5]. получены представления многообразия решений при помощи одной произвольной постоянной.
Адрес для корреспонденции: Шамсудинов Файзулло Мамадуллоевич. 735140, Республика Таджикистан, Курган-Тюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. E-mail: [email protected]
Обозначим в дальнейшем через С2 (Б) класс функций, которые имеют непрерывные производные первого порядка в Б и такие, что
д2и
дхду
■ е
С ( Б ).
Случай 1. Пусть первое уравнение системы (1) является главным. В этом случае получим следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть в системе уравнений (1) а< 1, Р < 1, у > 2, 5> 2 коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям
1) а (ху)еС1{Б), а2(х,у), Л(ху)еС)( Б), сЛх,у)А(ху)(ху)еС(Б);
а
2) С2 (х, у ) = -С1 (х, у) + га+р^
дх
а
1(x, у)
+ аг (х, у) \ (х, у );
3) |а2 (х, 0) - а2 (0,0)| < Ихх71, Щ = еотг, у > у -1;
4) а2 (0,0) > 0;
5) а) —
дх
(
а (х у)
Л я (
V у
Р(„-у,
ду
а
(х у)
в D,
Ь) га+р (г~уа2 (х, у) - г(х, у)) ехр [-Wр (х, у)]
•/г (1,у) + с2 (*,у)п(г,у)
Щ
(у )+Р
(12+у2)
а+р 2
-ехр
[ <( у )] Л
Жх у )
+С2 (х, у) и (х, у ) = га+р —
/2 (^ у)
+ гр~уа1 (х, у ) /2 (х, у) в Д
с) г5 (г(*, у) - г-4 (*, у ))exp [-^а (У )]
(х ) + {ехр [ Жаа( х, 5 )- Жьр( х, 5 )]
Щ
( ^ Н
/ (t, 5) + с2 (t, 5) и (Г, 5)
а+р
2
+ г5ехр [-ЩР (х, у)]
Щ
(12 + 52 )
(у)+
ехр [^(1,5 )] Л
\ Л У У
(12+у2)
а+р 2
ехр
[шър(и у )] Л
= /3(x, у )вА
0
V
где
6) / (х, у) = О (г-1), С2 (х, у) = о (г- ), - > а + ( -1, / (х, 0) = о (хУ2), у2 > у -1. Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса С2 (В) представимо в виде
и (х, у) = ехр
-К( х, у)
, / (х у))+
у х
(ф (г)„(5),/ (х,5))Г! (х,у;X,5)Л \ ;
0 0 \
= Хг (ф1 (х) ¥ (у)(х у)),.
ф (х) = ехр [-Жау (х, 0) " а2 (0,0) Жу^ (х)]
( х с
V 0
/2 (t ,0)
ехр [ Жау(/,0)-а2 (0,0)^— (/)] Л - ^ (с, /2 (х,0)),
¥ (у) = ^^, при уаЪ2 (0, у) = у6а (0, у),
у
О (ф (х), ¥ (у), / (х, у)) = ф (х) " |ехр [жа (х, 5) - (х, 5)]
0
Г \
¥ (5) " ехр (/, 5)]ЛЛ
а+(
0(Г 2 + 5 2УГ
ж^и^а х,у^^Щ,
0(х2 + 52)2 0(Г2 + у 2У
х
жу (х,0) = I
а,
(Г, у)- а2 (0,0)
Л, Жу-Х (х) = [(у-1) ху-1 ]-1,
С — произвольная постоянная.
Замечание 1. При выполнении условий
С1(х, у > =
с
а
1 (х, у)
+ а (х, у) Ъ (х, у)
(2)
(3)
(4)
г
I
0
решение системы уравнений (1) даётся в явном виде.
Замечание 2. Если уаЪ2 (0, у) ^ у5ах (0, у), тогда общее решение системы уравнений (1)
выражается при помощи двух произвольных постоянных. Полученное решение обладает свойствами:
10 - если у ^ 0, то
lim u (x, y) = (f\ (x);
20 - если y ^ 0 и x ^ 0, то
lim j lim u \ x, y \ f = O \ exp
a,
(0,0) W-1 ( x )
3 - lim j exp
xx 0
a2 (0,0) Wß_i (x) lim u (x, y) l = q;
4 - если x ^ 0, то
u(x,y) = O(exp(0,0) Wy- (x)] ) .
Замечание 3. Утверждение теоремы 1 остаётся в силе при выполнении условий:
1)a2 (0,0) < 0; 2f (x,0)= о (exp [ (0,0)Wy- (x)]3), у >у-1.
Замечание 4. При выполнении условий замечания 3 полученное решение имеет поведение
limj limu(x,y)> = 0 w limu(x,y) = 0.
x^0 I y^0 V ' I x^0 v '
y #0
Случай 2. Пусть второе уравнение системы (1) является главным, тогда имеет место следующее утверждение
Теорема 2. Пусть в системе уравнений (1) а< 1, ß < 1, у > 2, 8 > 2 коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям
1) а^х,у), Ъ2(х,у), /ъ(х,у)&С\(ё), а2(х,у), f2(x,y)&C\(D)
1\(х,у), <\(х,у), ^(х,у)&с(р)-,
Я
2) с2 (x, y) = -Cl (x, y) + ra+ßj-
a
1 (x y)
+ a1 (x y) b2 (x y);
3)|a2 (x, y) - a2 (0,0) < H2ry4, H2 = const, y4 > у -1, \b2 (0, y) - b (0,0) < Hy8, H3 = const, 83 > 8 -1;
4)a2 (0,0) < 0, 62 (0,0) > 0;
5)а)—{о^Сх^у)^ Ъ2(х,уд f^ в£)
ду
ч гу ) дх V г6 ) дх ^ га
Ъ)га+( (г уа2 (х, у)- г-(Ъ, (х, у))
ехр
- Жъ( (х, у )
х
¥ (у ) + |
Л (г, у)+С2 (г, у)и (г, у)
а+(
(г2 + у2)^
ехр [ж(( г, у)] аг
+ / (х, у) +
+С2 ( х, у ) и ( х, у ) = га+(-
Г
ду
/2 (X, у)
+ г(-уа(х, у ) /2 (х, у ) в А
с) г
у+6
А
дх
/з ( х у )
+ а2 (^ у) /з (X, у ) =
= гу+6 -
(
ду
/2 (^ у )
Л
6
+ Ъ2 (х, у) А (х, у)вА;
V
х, у) =
6)/2(х,у)=о(гу5), уъ > у-1 ,/з(0,у) = о(х62), 62 >6- 1.
Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса С2 (В) представимо в виде
и (х, у) = ехр
-Ж (х, у )- а2 (0,0) Ж(1)( х, у )
х
¥2 (у ) + |
/2 (г, у)
ехр
0( г2 + у2)2
Ж (г, у)+а2 (0,0)ж()(г, у)
аг
-■Х2 (¥2 (у) ,/2 (х у)),
(5)
где
¥2 (у) = ехр [-Ж (0, у) + Ъ2 (0,0) Ж-1 (у)]
' {^Мехр [Ж (0,5) - Ъ2 (0,0) Ж-1 (5)]
с +
V 0
N2 (С2, /з (0, у)),
х
Ж2( ^^ у И
а,
(г, у)- а2 (0,0)
0 (г2 + у2)2
аг, Жъ6 (0, у) = {
\Ъ2 (0,5)-Ъ2(0,0)
05,
д
wy 1 (^ y ) =
_x_+y-17( 1) (x y)
y2(У-2)гУ-2 + y2 y-2\1 )>
iy (x, y) = J(t2 + y V dt, W8-1 (y) = [ (8-1) y8-1 ]- ,
е2 - произвольная постоянная.
Полученное решение обладает свойствами: 10 - если х ^ 0, то
Üm u(x, у ) = ^2 (y);
20 - если x ^ 0 и y ^ 0, то
lim j lim u (x, y) [ = O (exp [b2 (0,0) Ws_, (y )]);
y I x^Ö
20 - lim|exp[-b2 (0,0)05-1 (У)]ljmu(x,y)| = C2; 40 - Если y ^ 0 u x ф 0, то
u (x, y) = O
exp
- a2 (0,0) W(1) ( x, y )
Замечание 5. Утверждение теоремы 2 остаётся в силе при выполнении условий: 1) а2 (0,0) > 0, ¿2 (0,0) < 0;
2) f (x, y) = 01 exp
a2 (0,0) Wy (x, y )
Лф
, Л >/-i;
3) f (0, y) = 0 (exp [b2 (0,0) W8-1 (y)] y83) ,83 > 8 -1.
Замечание 6. При выполнении условий замечания 5 полученное решение имеет поведение limjlimu(x,y)j = 0 и limu(x,у) = 0.
уф0
Случай 3. Пусть третье уравнение системы (1) является главным, тогда получим следующие утверждения.
Теорема 3. Пусть в системе уравнений (1) а< 1, ß < 1, у > 2, 8 > 2 коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям
1)a1 ( x У), b2 ( x У ), f ( x У )е С1 ( D), a2 ( x, У ),
x
2
0
/ (х, у), /2 (х, у) е су (В), Ъ (х, у) ,c1 (х, у )е С (В);
д
2)С2 (х, у ) = -с (х, у) + га+(|-
а,
1 (х, у)
+ а1 (х, у) Ъ (х, у);
з)|Ъ2 (х, у) - Ъ2 (0,0) < ИА гу6, И4 = Сотг, у6 > 6 -1, |а2 (х, 0) - а2 (0,0)| < И ху7, И = Сотг, у7 > у -1;
4) ¿2 (0,0) < 0, а2 (0,0) > 0;
5) а)~г
дх
д ( Ъ2 (х у)
А
ду
а
(X у)
в А,
Ъ) г6(г^аа1 (х, у)- г~6Ъ2 (х, у) (ехр
-Ж6(х,у)-Ъ2(0,0)Ж6(2) (х,у)
у
Ф ( х ) + |
/з (X, 5 )
ехр
0( х 2 + 5 2)2
Ж6( х, 5) + Ъ2 (0,0) ж]2) (х, 5)
Л1
+/з ( х, у ) = г6 ехр [-Ж(( х, у )]
/ ч , (г, у) + С2 (г, У) и (^ У) УШ((* М ¥1(у) +1 ——--^-а+р—ехр \_К(г, у )]
0 (г2 + у2) 2
Лг
в А,
С) гу+д —
ду
/2 (X У )
+ Ъ2 (X у ) /2 (X У ) =
= гу+6 -
дх
/з (х у)
+а2 (х у) /з (х у) вА;
6)/з (х, у)= о (г64), 64 >6-1, /2 (х,0) = о (х^) >у-1. Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса С2 (В) представимо в виде
и (х, у) = ехр
+
/з (X 5)
х 2 + 5 2)2
-Ж6(х, у)- Ъ2 (0,0)ж62)1(х, у)
2
-ехр Ж6( х, 5 ) + Ъ2 ( 0,0)Ж,Ц( х, 5 )
_ 2
= (ф2 (х) , /з (^ у )) ,
(Ф (х) +
Л1 =
(7)
д
ф2 (х) = ехр [-Жу (х, 0) + а2 (0,0) Ж^ (х)] ( х/, (1,0) ^
V 0
С3 + { ехр [И (1,0) - а2 (0,0) Жг_х (1)]Л
- ^ (С3/(х,0)),
<( x, у И
(х, 5)- Ъ2 (0,0)
5
0 (х 2 + 52)2
г(2)2.\_ у
Ж, Ж у (х, у ) = {
а2( 1,0)-а2 (0,0)
Ли
х, у ) = ■
+4 5-3/2 х, у),
^ х~(5-2)г5-2 х2 5-2 5-1
у 1-5 _,
/^(х,у) = |(х2 + Ж^(х) = [(у-1)ху-1 ]- ,
С - произвольная постоянная.
Полученное решение обладает свойствами: 10 - если у ^ 0, то
Нш и (х, у) = ф (х);
20 - если у ^ 0 и х ^ 0, то
НШ ^Ш и (х, у )| = О (ехр [а2 (0,0) Ж^ (х )]);
30 - Нш|ехр[-а2 (0,0)Жу_х (х)]Нши(х,у)| = с3; 40 - если х ^ 0 и у Ф 0, то
и (х, у) = О
ехр
- ъ (0,0) Ж52) (х, у )
—1
2
Замечание 7. Утверждение теоремы 3 остаётся в силе при выполнении условий:
1) 1) А (0,0) > 0, а2 (0,0) < 0;
2) /3 (х, у ) = о
ехр
-Ъ2 (0,0) Ж52) (х, у)
г
, " >5-1;
3) /2 (х, у ) = о (ехр [ (0, 0) Ж-1 (х)] ), " > 7
-1.
(8)
0
Замечание 8. При выполнении условий замечания 7 полученное решение имеет поведение
limllimu(x, y)J = 0 и limu(x, y) = 0.
x^0 ( y ^0 V x^o V
Для полученных интегральных представлений ставятся и решаются следующие задачи с начальными данными.
Задача Q . Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2 (D) по начальному условию
lim {exp \_~а2 (o, o) (x)] lim u (x, y )J=p1,
где р - заданное постоянное число.
Задача В2. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2 (А) по начальному условию
lim < exp
yyO [
- Ь2( 0,0) W ( y )
где p2 - заданная известная постоянная.
lim u (x, y )L= p2,
xx 0
Задача Б3. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2(В) по начальному условию
lim \ exp
x^0
-а2 (0,0) W(x)
lim u (x, y )L= p3,
y^0
где р - заданное известное постоянное .
О разрешимости задач В, В2и Б3 получены следующие утверждения.
Теорема 4. Если коэффициенты и правые части системы уравнений (1) удовлетворяют всем условиям теоремы 1, то единственное решение задачи В1 даётся формулами (2), (3), (4) при С = рх.
Теорема 5. Если в системе уравнений (1) коэффициенты и правые части удовлетворяют всем условиям теоремы 2, то единственное решение задачи В2 даётся формулами (5),(6) при
с2 = Рг.
Теорема 6. Пусть в системе уравнений (1) коэффициенты и правые части удовлетворяют всем условиям теоремы 3. Тогда единственное решение задачи В3 выражается формулами (7), (8)
при С3 = р3.
Замечание 9. Для системы уравнений (1) подобные утверждения получены, когда коэффициенты первого уравнения удовлетворяют условию
С2 » Х
( x y ) = -с1 ( x, y ) + r
a+ß
д f bi (у)'
ду
+ «i (x, y) bi (x, y).
Поступило 13.03.2915 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wilczynski E.J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. - Zeip. Zig; Leubner, 1906,120 p.
2. Appel P. And Kampe de Fariet M.J. Functions hypergeometriges of hyperspheriges Polynomesd Hermite. - Paris, Gauthir - Villars, 1926, 434 s.
3. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. - Душанбе: Дониш,1986, 115 с.
4. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. - Душанбе: Изд. ТГУ, 1992, 236 с.
5. Раджабов Н., Мохаммед Эльсаед Абдел Аал. Переопределенная линейная система второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями. - Lap Lambert Academic Publishing, Germany, 2011, 234 с.
6. Усманов З.Д. Обобщённые системы Коши-Римана с сингулярной точкой. - Душанбе: ТГУ, 1993, 234 с
7. Шамсудинов Ф.М. Интегральные представления решений для одной переопределённой системы дифференциальных уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой. - Труды междунар. научной конф. «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», г. Стерлитамак 26-30 июня 2013. с. 300-304.
8. Шамсудинов Ф.М. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярными коэффициентами. - Мат-лы меж-дунар. конф. «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик : КБНЦ РАН, 2013, с. 282-286.
9. Тасмамбетов Ж.Н. О развитии исследований специальных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. - Мат-лы междунар. научно-практ. конф. "Информационные технологии: инновации в науке и образовании"; г. Актобе 20-21 февраля 2015г,с. 6-17.
10. Шамсуддинов Ф.М. Об исследовании одной переопределенной системы дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярной точкой. - Там же, - с. 247-250.
Ф.М.Шамсудинов
ОИД БА ТАДЦИЦИ ЯК СИСТЕМАИ БАРЗИЁДМУАЙЯНШУДАИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ТАРТИБИ ДУЮМ БО КОЭФФИСИЕНТ^ОИ
СУПЕРСИНГУЛЯРЙ
Донишго^и давлатии Кургонтеппа ба номи Н.Хусрав
Дар кори мазкур барои як системаи барзиёдмуайяншудаи тартиби дуюм бо коэффисиентх,ои суперсингулярй тасвирх,ои интегралии хдл ба воситаи як доимии ихтиёрй ёф-ташуда, барои онхо масъалахои B, B ваБ3 хдл карда шудаанд.
Калима^ои калиди: бисёршаклии х,ал - системаи барзиёдмуайяншуда -росткуща - хосиятуои х,ал.
F.M.Shamsudinov
REGARDING THE INVESTIGATION FOR ONE OVER DETERMINED SYSTEM OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATOINS WITH SUPERSINGUL
COEFFICIENTS
N.Khusrav Qurgantyube State University In this paper, for an over determined system of second order equations with a super singularity point, found representation of the variety solution and study the properties of the solutions, as well as consider the problem of Bb B2 and B3.
Key words: manifold solution - over determined system - rectangle - properties solution.
