CC BY
15
МБ С 34М50
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ КОШИ-РИМАНА НА СВЕРХСИНГУЛЯРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
А.Б. Расулов, М.А. Расулзода
Аннотация. Рассматривается эллиптическое уравнение произвольнш'о порядка на плоскости, определяемое оператором Коши-Римана, с особенностью высокш'о порядка в начале координат. Устанавливаются наличие решений и явные выражения.
Ключевые слова: оператор Коши-Римана, сверхсингулярное мнш'ообразие, интегральное представление, граничные задачи.
Пусть О— односвязная конечная область, ограниченная кусочно-гладким замкнутым контуром дО Є С1,а, 0 < а < 1, содержащая внутри точку г = 0.
О
порядка в начало координат
где 2дт = дх + гду - оператор Коши-Римана, п > 1, а?(~), = 1, те., и(с) - искомая
функция, В (г), Г (г) - фиксированные заданные функции.
Из уравнения (1) при т =1 получим неоднородную систему Коши-Римана, которая в классе эллиптических систем первого порядка занимает особое место. Основополагающей работой в этом направлении является монография И.Н. Векуа |2|, Теория Векуа построена в предположении, что коэффициенты и правая часть принадлежат пространству Ьр(С),р > 2. Поэтому даже уравнение с такими коэффициентами, как Лх(г) = 1/г, В^) = 1/с но вписывается в эту теорию. Разработки но проблеме дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами были начаты еще в 1957-1963 годах Л.Г. Михайловым, о чем можно судить но его монографии |4|, Исследованию задач дня уравнений с коэффициентами, имеющими особенности в изолированной особой точке, посвящены работы З.Д. Усмапова|7|, Н.Р. Раджабова|5|, А. Тупгатарова, А.Ю. Тимофеева, Г.Т. Макацария , М. Райссега и др. ученых. Впервые основательная работа но исследованию дифференциальных и интегральных уравнений с сверхеипгулярпыми коэффициентами была проведена Н.Р. Раджабовым (см., например, |5|),
Из уравнения (1) при т =2 получим уравнение второго порядка с оператором Коши-Римана и со сверхеипгулярпыми коэффициентами. Классическим примером дифференциальных уравнений второго порядка (случай т = 2) с оператором дч является уравнение \]ф = 0, дня которого еще в 1948г. А.В. Бицадзе доказана некорректность
Москва, Россия, e-mail: [email protected]
(1)
постановки задачи Дирихле |1|, Существенный вклад в развитие таких и общих эллиптических систем с регулярными коэффициентами внес А.П. Солдатов (см., например, |6|), Модифицированное уравнение Бицадзе с добавленными младшими производными в случае регулярных коэффициентов было исследовано также Р.С. Саксом ,
Н.Е. Товмасяном и другими.
Объектом нашего исследования является уравнение произвольного порядка с оператором Коши-Римана в случае с сверхеингулярными коэффициентами, т.е. уравнение
Под обобщенным решением мы понимаем функцию II € С'(СДО) непрерывно дифференцируемую но с до т — 1 — го порядка, а обобщенная производная т — го порядка но с принадлежит классу и\С£) дня любого £ > 0, где Се = СП{|::|>£}.
Введем следующие обозначения:
Лемма 1. Пусть п > 1 и, в обозначениях (2), функция А,0 Є Ьр(О), р > 2 так, что
Тогда, при п > 1 сингулярный интеграл (Т)(г) существует и представим в виде
Пусть при п = 1, в обозначениях (2), функция Л^0 € Ьр(0), р > 2 и круг {|г| < р} содержится в С так, что
Тогда при п = 1 сингулярный интеграл (ТЛ3)(г) существует и представим в виде
Теорема 1. Пусть п > 1 ,т = 1,-В(с) = 0, е С функция Д10 € ЬР(С), р > 2 и правая часть уравнения (1) удовлетворяет условию Г € ЬР(С). Тогда любое
решение II(с) € С{С\0) уравнения (1) представимо в виде
(!)■
(2)
% ___________________________
“ М0)] ’ і = 1>т>
(п— 1)'Г,,~1 ‘
2
(ТЛ3 )(г) = —аз (0Мг) + ^ (г) .
(3)
Л°(с) = (ТА3о)(с) + (ТА%)М Є Н(С)
где
(ТА,-)(~) = 2а,-(0) 1п — + Щ^).
Р
(4)
где ф\ Е С'(СДО) аиалитичиа в области С\0. п > 1
и (г) = О(1)ва1(0)ш щи с ^ 0, (5)
то по теореме 1 аналитическая в С\0 функция фг(г) ограничена в окрестности г = 0 и, следовательно, аналитична во всей области С, Этот факт ниже используем в постановке задачи Римапа-Гильберта.
Задача типа Римана-Гильберта. Пусть п > 1. Задача Римапа-Гильберта состоит в том, что требуется пайти решение и^) € С(С\0) уравнения
аС7-.4,МС7М = /М, .4 = (6)
удовлетворяющее (5) и краевому условию
Ве[Лвг1та1(0)ши]дс = д(1), (7)
где функция Л(Ь) € С(дС), Л(Ь) = 0,Ь € дС.
Теорема 2. Пусть п > 1, т = 1, В (с) = 0, У z Е С, функция А0 е ЦЧСИ), р > 2, правая часть уравнения (1) удовлетворяет условию еа1(0)шГ € ЬР(С) и
■ге=-^атЕХ\ас.
Тоща справедливы следующие утверждения.
1). При ж > 0 однородное задача (6),(7) имеет ж+1 линейно-независимых решений
иг,...., иш+1 € Н1ОС(С\0), а неоднородная задача всегда разрешима.
2). Если ж < 0, то однородная задача имеет только нулевое решение, а неоднородная разрешима при выполнении —ж — 1 условий разрешимости вида
[ д0(егв )в-ш 49 = 0 , (к =1,..., —ж — 1).
Здо
Теорема 3. Пусть т. = 2, п > 1, Б(с) = 0, ф а2(с), = гп^{г), \/с € С, где
аналитическая функция </?(с) € С (С). Кроме того,
а2(с) € С1{С), Кеа2(0) > 0; Аф)М~2пе ЬР{С) , р > 2 . (8)
Тогда функции К0(г) = е-а2(о)ш+/г2(г)-(Т(^))(г) ^ С(С); и для любых функций ф-2 € С'(СДО), ф\ € С'(С), аналитических в области С формула
(Тф)(г).
и (г) = в(1^)(г)х ш + Т (]<0(<; )ф1(( ))(г) + Т ((Ка, (г) — Ка, (г)
определяет решение уравнения (1) из класса С'(СДО), где
Ка, (г) = Т (К)« ))(г), Ш = |г|-2пеа,(0)^)+^ (г).
Поведение этих решений в окрестности начала координат описывает следующая
Теорема 4. Пусть для уравнения (1) выполнены условия теоремы 3. Тоща поведение решений однородного уравнения (1) из класса С'(СДО) в окрестности сверхсишу-ляриой точки определяется формулой:
U(z) = e
(T<p)(z)
\ ч 1 Г МОФЛО 1Ґ1 '
02 (~)--/ —7-----------d£drj
п Jg С — z
2 ф) - ¥>(0) , ^
R--------------------Ь Zip(z) 0г(-) +
где
eoEo(a(0),n, 0) 1 1 ( п \
Н --------тт—:------Ь -----тт—: (фі(ї) — PojEi(a(0),n, с)
(n — 1)пг z (n — 1)пг V /
Eo(a(0), п, 0) = е cvi] 1
J R1-n Г ж 2
Ei(a(0), n, z) = z)d)].
lR1-n
c, (,,,)= exp { V c- 2a<°)
I ' m +1 J
m +1 J ’ (n — 1)
km1
Теорема 5. Пусть в уравнении (1), функции
a,j(z) Є Cm(G), ReOj(0) < 0 , Aj0{z) Є LP{G), p > 2, j = 1 ,m, B(c) = 0
я правая часть e-TAlF(z) Є Lp(G), p > 2. Тоща любое решение уравнения (1) из класса (G\0) представимо в виде
m- 1
U(z) = П Sk(Uk+1), (10)
j=o
ще
Sk(Uk+1) = eTAm-k (z)^ фm-k (z) + (t (e-TAm-k(c))Uk+?j (z)^ , (11)
k = 0,1, 2...m — 1, ще Uo = U, Um = F, фm-k(z), k = 0,1...m — 1 - произвольные аналитические функции комплексного переменного z, причем, если известно, U в G, то соответствующие аналитические функции фj(z), j = 1 , tn через значения функции U(z)
m— 1
DC
Замечание. Случай В(г) = 0 сводится к интегральному уравнению
т— 1
и (г) = П ^ (ик+1),
3=0
где: В^), е~ТЛ1г~п~1!€ Ьр(С), р > 2, причем 17т = Б(с)[/ + ^ которое решается методом последовательных приближений.
Аналогичные результаты получены дня уравнения
ВМ - А(:)И + В(:)1Г = О, А(:) = . (12)
Теорема 6. Пусть п > 1, т > 0, В^) € ТР(С)) и Wz е С, функция Л10 е ЬР(С), р > 2, а также правая часть уравнения (1) удовлетворяет условию е(т—1)а1 (0)ш(*) Ь € ЬР(С). Тогда любое решение 1/(г) £ С(С\0) уравнения (12) представимо в виде
и = + (т - 1)Т(е(т-1)(а1(0)ш-/г1)Ь)]^ , (13)
где ф\ Е С'(С\0) аиалитичиа в области С\0.
Задача типа Римана-Гильберта. Пусть п > 1. Требуется найти решение и (г) € С(С\0) уравнения (12) удовлетворяющее (5) и краевому условию
Яе [Лег1та1(0)ш ит—1]до = д(Ь) , (14)
где функция Л(1) € С(дС), Л(1) = 0,Ь € дС.
Применяя к последней при т = 1 — 1/к, к € N классические результаты о разрешимости |3| сформулированной задачи, приходим к решению задачи Римана-Гильберта в классе однозначных аналитических функций.
Литература
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / М.: Наука, 1981. 448 с.
2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции / М.: Физматгиз, 1959. 628 с.
3. Муехелишвили И.Н. Сингулярные интегральные уравнения / М.: Наука, 1968. 512 с.
4. Михайлов Л.Г. Новые классы особых интегральных уравнений и их применение к диф-
ференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Душанбе: ТаджикНИ-1III111. 1963. 184 с.
5. Раджабов Н.Р. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со еверхеишулярными коэффициентами / Душанбе: Изд-во ТГУ, 1992. 236 с.
6. Солдатов А.П. Эллиптические системы второх’о порядка в полуплоскости /7 Изв. РАН.
2006. .70,№6. С.161-192.
7. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой / Душанбе: Изд.
АН Тадж. ССР, 1993. 244с.
8. Расулов А.Б. Интегральные представления решений линейной эллиптической системы второхх) порядка с внутренней еверхеингулярной точкой /7 ДАН России. 2009. 429,№6. С.735-737.
9. Расулов А.Б. Интегральные представления и граничные задачи для линейной эллиптической системы третьих) порядка с внутренней еверхеишулярной точкой / Дифференциальные уравнения. Минск. 2011. 47, №2. С.287-290.
INTEGRAL REPRESENTATIONS AND BOUNDARY PROBLEMS FOR THE EQUATION OF ARBITRARY ORDER WITH THE CAUCHY-RIEMANN OPERATOR ON SUPERSINGULAR MANIFOLDS
A.B. Rasulov, M.A. Rasulzoda Moscow, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. Elliptic equation of arbitrary order on complex plane, defined by eauehy-Riemann’s operator with the singularity of a high order at the origin is under consideration. It is found the solution existence and their explicit expressions.
Key words: Cauchy-Riemann’s operator, supersingular manifolds, integral representation, boundary problems.
