Интегральные представления и граничные задачи для уравнения с оператором Коши-Римана и с сингулярной линией на полуплоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

MS С 34М50

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ КОШИ-РИМАНА И С СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ НА ПОЛУПЛОСКОСТИ

*С.М. Мухсинова, **А.Б. Расулов

*Худжанд, Таджикистан, e-mail: [email protected] **Москва, Россия, [email protected]

Аннотация. Представлена теорема о разрешимости эллиптической граничной задачи с операторами Коши-Римана, которые сингулярны на границе области.

Ключевые слова: задача Коши-Римана, эллиптические уравнения на плоскости, сингулярные условия.

Пусть S+ = {(x, y) : y > 0, —то < x < +то}, L = {(x, y) : y = 0, —то < x < +то} . В области S+ = {(x,y) : y > є, —то < x < +то} рассмотрим уравнение с сингулярной линией вида

^dz-j^ju = f(z), т = 1,2,3; (1)

где 2О? = дх іду—оператор Коши-Римана, a,j(z) Є C^~l(S+), j = 1, 3, U(z) искомая функция F(z) Є Lp,2(S+),p > 2 — фиксированные заданные функции.

Необходимую информация по истории развитии уравнения (1) и методика исследования граничных задач изложена в fl-б]. В дальнейшем для компактного изложения материала введем следующие обозначения:

L-8 a>[z) ■ (Та )('■)- 1 [ {а,{° - °°(С)№*' ■ j j-- М

t, = K F?' (r%)W = --i0 K_?|„(<_z) • J-1,2,3. (2)

Теорема 1. Пусть в уравнении (1) функции a,j(z) Є C2(S+), j = 1,2,3 ограничены в S+, и

в окрестности dS + удовлетворяют условиям

1) a,j(z) — a,j(z) = 0(l)\z — zp , 7j > n, l<j<3. (3)

Кроме того, функции aj (z), 1 < j < 3 таковы, что выполнено условия:

2) a,j{z) - a°(z) = 0(l)\z - zp , 7, > 0, у ->■ 0, 1 < j < 3 ; (4)

Real > Rea0 > Rea0 > 0, y ^ 0, (5)

aj(z) = o(|zp), £j > 1, y = 0, |z|^ro , 1 < j < 3; (6)

\z~zp-3f(z)eLp'2(S+), p> 2. (7)

Тогда и для любых функций Ф](г) € С(5+ У д£+), Ф] (г) = о(г 2), г ^ го, 1 < ] < 3, аналитических в области 5 + формула

и(г) = \ ~ - г\а1е{Т{а1))^] ^Ф1(*)+ |г-г|/3е(Т(9'з))(С)Ф2(С))^(-)-^((А'а1(С) - Ка1(г)) \г - г|«1(С1)-«з(С1)е-(Т(да1-аз))(С)фз(с)^ (г) +

(т((Ка11а2_азЮ-Ка11а2_азЮ) |^-^“3^-зе-(Т(9аз))(С)/(С)^(г)

определяет решение уравнения (1) из класса ^3,Р(£+\Ь), где

Ка1 (*) = Г(|С - СГе.^Ж), Р = а,1- а2 , Ка1,а2-аЛг) = Т((Ка1(г) - Аа1(г))|С-СГ'2'а1еТ“2-“з(С))(-) •

В дальнейшем, в основном будем пользоваться классом функций ^]’р(£+),р > 2 j = 1,2,3, имеющих обобщенную производную j-^'o порядка по г, ограниченных при г —> го по любым направлениям. В работе найдено интегральное представление решений уравнения (1) и исследована задача типа Римана -Гильберта.

Задача типа Римана-Гильберта. Задача Римана-Гильберта состоит в том, что требуется найти решение и (г) € ^3,р(£+) уравнения (1) по заданному краевому условию

Ке[А1|-г - х\~а1и]98+ = д^) ,

Ке[Л2|г - г\~а2Ь1и]д8+ = д2{Ь), (С)

Ке[Л3|г - г\-азЬ2Ь1и]дз+ = д3{1),

где функция А](£) = а](£) + гв](£) € Н(д5+), причем Xj(£) = 0,£ € +, д](£) = о(|£|-^'),

Ь] > 0,; = 1,2,3.

Наш результат состоит в следующем:

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и условий задача О. Если жд = 1п(1Ск^) > 0, к = 1,3, то задача (1) —(С) на полуплоскости безусловно разрешима п ес решение

3

содержит ^2 ж] + 3 произвольных постоянных. Если для какого-нибудь к = ко, ж^0 < -1, а ]=1

для остальных номеров жд > 0, то задача (1) — (О) разрешима лишь при выполнении —ж^0 — 1

3

условий разрешимости, и ее решение зависит от ^ +2 — жд0 > 0 произвольных постоянных.

к= 1

Если жд. = — 1,/г = 1,3, тогда задача (1) — (С) разрешима, безусловно.

Литература

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / М.: Наука, 1981. 448 с.

2. Векуа И.И. Обобщенные аналитические функции / М.: Физматгиз, 1959. 628 с.

3. Муехелишвили И.И. Сингулярные интегральные уравнения / М.: Наука, 1968. 512 с.

4. Михайлов Л.Г. Новые классы особых интегральных уравнений и их применение к диф-

ференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Душанбе: ТаджикНИ-IIHTII. 1963. 184 с.

5. Солдатов А.П. Эллиптические системы второх’о порядка в полуплоскости / Изв. РАН.

2006. 70,№6. С.161-192.

6. Раджабов Н.Р. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со еверхеишулярными коэффициентами / Душанбе: Изд-во ТГУ, 1992. 236 с

INTEGRAL REPRESENTATIONS AND BOUNDARY PROBLEMS FOR EQUATIONS WITH CAUCHY-RIEMANN OPERATORS AND WITH SINGULAR LINE ON HALF-PLANE *S.M. Mukhsinova, **A.B. Rasulov

*Khujand, Tajikistan, e-mail: [email protected] **Mscow, Russia, [email protected]

Abstract. The solubility theorem of elliptic boundary problem with Cauehy-Riemann’s operators which are singular at the domain boundary is proposed.

Key words: Cauehy-Riemann’s problem, elliptic equations on plane, singular conditions.