CC BY
23
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
А.В. БИЦАДЗЕ. ДОСТОЙНОЕ СЛУЖЕНИЕ НАУКЕ (К СТОЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ)
"A.V.BITSADZE - MERITORIOUS SERVICE TO SCIENCE. TOWARDS THE 100TH
ANNIVERSARY OF THE BIRTH"
А.П. Солдатов A.P. Soldatov
Белгородский государственный национальный исследовательский университет Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia
E-mail: polunin@bsu.edu.ru, soldatov@bsu.edu.ru
Аннотация. Данная статья посвящена 100-летию со дня рождения одного из выдающихся советских математиков, члена Национального комитета по математике, проф. А. В. Бицадзе. А. В. Бицадзе также известен как один из основателей Сибирского отделения Академии наук СССР. В статье широко представлены научные интересы проф. А. В. Бицадзе, а также его карьерный рост.
Resume. The article is dedicated to the 100th anniversary of the birth of one of the outstanding Soviet mathematicians, a member of the National Committee for Mathematics, Professor A.V. Bitsadze. A.V. Bitsadze is also well-known as one of the founders of the Siberian Division of Academy of Sciences of the USSR. The article represents in full the areas of Prof. A.V. Bitsadze research interests and his career development.
Ключевые слова: система Моисила-Теодореску, задача Римана-Гильберта, интеграл типа Коши, сингулярные интегральные уравнения.
Key words: Moisil - Teodorescu system, Riemann - Gilbert problem, Cauchy type integral, singular integral equation.
Андрей Васильевич Бицадзе родился 9 (12) мая 1916 года в с. Цхруквети Чиатурского района Грузинской ССР. Трудовая деятельность Андрея Васильевича началась очень рано. Окончив Чиатурский педагогический техникум, он в шестнадцать лет уже работал преподавателем математики и физики в неполных средних школах своего родного района. В 1940 г. Андрей Васильевич с отличием окончил Тбилисский университет и поступил в аспирантуру Тбилисского математического института АН ГССР, где он работал до 1948 г. Именно в этот период под руководством Н. И. Мусхелишвили были проведены первые научные исследования Андрея Васильевича, которые относятся к касательным производным потенциала простого слоя и теории упругости. В частности, им найдено решение в квадратурах обобщенной задачи Герца о местных деформациях при сжатии двух плоских упругих тел.
В этот же период А.В. Бицадзе начинает заниматься эллиптическими системами. Для таких систем с оператором Лапласа в главной части и вещественно аналитическими младшими коэффициентами он распространил известные результаты И.Н. Векуа. Повидимому здесь же были
а0= —1, а2=1,
е К
2x2
заложены основы тех результатов для эллиптических систем на плоскости с произвольными постоянными коэффициентами, которые сделали его имя широко известным в научном мире.
В 1945 г. А. В. Бицадзе защитил кандидатскую диссертацию и был командирован в докторантуру при Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР. Прежде всего в этом институте он продолжил свои исследования по эллиптическим системам
д2и д2и д2и Л „ .
а—т+а--+ а—т = о
дх дхду ду
с постоянными матричными коэффициентами а. е КК1х1. Здесь, в частности, он привел знаменитый ныне пример 2 х 2 — эллиптической системы с коэффициентами
= ( 0 — 2 ^ 1= I2 0 .
для которой однородная задача Дирихле в единичном круге имеет бесконечное число линейно независимых решений. Выступление Андрея Васильевича на заседании Московского математического общества, где был приведен этот пример, произвел эффект "разорвавшейся бомбы" , поскольку ранее молчаливо предполагалось, что как и в случае одного уравнения задача Дирихле для эллиптических систем носит универсальный характер в смысле ее фредгольмовости. Позднее А.В. Бицадзе ввел класс систем, названных им слабо связанными, для которых задача Дирихле фредгольмова. Этот класс описывется следующим образом.
Следуя М.В. Келдышу набор векторов х,•••,х^ е К, удовлетворяющих уравнениям р(у) х = 0, р(у) х2 + р'(у) х =0 и
р(у)х} + р'(у)х^—1 +1 р''(у)х^ =0, 2 < ] < к,
назовем цепочкой собственных и присоединенных векторов квадратичного пучка р(z) = а + + a2z2, отвечающих собственному значению у в верхней полуплоскости характеристичесого уравнения ёе р(z) = 0 . В этих обозначениях эллиптическая система слабо
связана, если в С1 существует базис, составленный из таких цепочек.
С помощью цепочек собственных и присоединенных векторов указанного пучка А.В. Бицадзе дал представление общего решения и эллиптической системы через аналитические функции. Пусть множество с(Ь) состоит из точек у,„.,у в верхней полуплоскости
1x1
характеристического уравнения и столбцы матрицы ь. е С у составлены из цепочек,
отвечающих у .. Тогда существуют такие 1. — вектор - функции ^ . (£), аналитические
относительно комплексной переменной £ = х + у у, что
* ^ - ук и( х, у) = X Я Ъ} X у- А) ¥(к) (х + уу ),
]=1 к=0 к!
где А ■ представляет собой матрицу, все элементы которой равны нулю, кроме некоторых
элементов на первой диагонали над главной, которые равны единице.
С помощью этого представления А.В. Бицадзе установил фредгольмовость задачи Дирихле для слабо связанной эллиптической системы в классе Гельдера путем сведения задачи к эквивалентной системе сингулярных интегральных уравнений на Г .
Условие согласования коэффициентов эллиптической системы с коэффициентами граничных операторов, достаточное для сводимости граничной задачи общего вида к регулярным интегральным уравнениям, было впервые получено Я.Б. Лопатинским (УМЖ, 1953). В этой же работе Я. Б. Лопатинский описал метод сведения граничной задачи в ограниченной выпуклой области к системе регулярных интегральных уравнений при помощи построенных и исследованных им потенциалов. Ранее подобный метод применяла 3. Я. Шапиро для систем с постоянными коэффициентами в трехмерной области. В настоящее время это условие известно как условие Шапиро - Лопатинского (или условие дополнительности).
Возникает вопрос, как связано это условие с понятием слабой связанности. Средствами только линейной алгебры можно показать (А. Солдатов, 2010), что следующие утверждения эквивалентны:
(a) эллиптическая система (Ь) слабо связана;
(b) выполнено условие дополнительности;
(c) матричный трехчлен р(Х) = а0 + 1ах + ^ 2а2 удовлетворяет условию
ёе |)йг * 0.
Пример Бицадзе стимулировал введение различных классов эллиптических систем, для которых задача Дирихле фредгольмова.
По определению эллиптическая система сильно эллиптична (М.И. Вишик), если матрица р({) положительно определена для всех / еР. Эллиптическую систему (Ь) назовем усиленно эллиптичной (А. Солдатов, 2001), если существует неотрицательно определенная блочная матрица А = (а^, элементы а^ е которой связаны с коэффициентами а. соотношениями
а0 = а 1, а = + а21 и а2 = а22. В силу условия (с) эти системы заведомо сильно эллиптичны.
Усиленно эллиптические системы характеризуются тем, что задача Дирихле для них однозначно разрешима. Например, система Ламе плоской анизотропной упругости усиленно эллиптична. Еще более узкий класс составляют системы, сильно эллиптические по Сомильяно, они определяются условием положительной определенности матрицы А .
Результаты А.В. Бицадзе по эллиптическим системам могли бы составить докторскую диссертацию, они в дальнейшем вошли в его монографию "Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка", изданную в новосибирский период его жизни. Однако его второй научный учитель М.А. Лаврентьев предложил заняться уравнениями смешанного типа. Эти уравнения тесно связаны с трансзвуковой газовой динамикой и в связи с возросшими сверхзвуковыми скоростями летательных аппаратов в середине 40- годов их исследование приобрело особую актуальность. Здесь Андрей Васильевич разработал существенно новые методы,
которые позволили значительно продвинуть теорию уравнений смешанного и смешанно -составного типов и получить выдающиеся результаты в постановке и исследовании качественно новых краевых задач, многие из которых в настоящее время носят его имя. Андрей Васильевич впервые доказал теорему однозначной разрешимости общей смешанной задачи для уравнения Лаврентьева - Бицадзе
У)ихх + иуу = 0-
Хотя это уравнение и выглядит как модельное, в действительности оно было предложено М.А. Лаврентьевым и А.В. Бицадзе для описания течения газа, график адиабаты которого имеет в одной точке излом.
В западной литературе общую смешанную задачу часто называют задачей Моравец. Однозначная разрешимость этой задачи показывает некорректность задачи Дирихле в смешанной области, гиперболическая часть которой выпукла относительно характеристик. В дальнейшем однако оказалось, что допущение сколь угодно малой особенности у решения в граничной точке на линии изменения типа сохраняет корректность задачи Дирихле. Для слабых решений уравнения Трикоми это было показано в 70-х годах К.Моравец, для классических решений уравнения Лаврентьева - Бицадзе этот факт также имеет место (А.Солдатов, 1990).
После блестящей защиты в 1951 г. диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук А.В. Бицадзе был оставлен в Математическом институте АН СССР в качестве старшего научного сотрудника. В конце 50-годов он был командирован в Китайскую народную республику, где выступил с циклами докладов по проблемам уравнений смешанного типа и их приложений, и подготовил несколько учеников. В 1958 г. А. В. Бицадзе за выдающиеся заслуги в математике был избран членом-корреспондентом АН СССР.
С 1959 г. начинается новосибирский период Андрея Васильевича. По инициативе М.А. Лаврентьева, С.Л. Соболева и С.А. Христиановича в это время организуется Новосибирский академгородок, где А. В. Бицадзе возглавляет отдел общей теории функций Института математики Сибирского отделения АН СССР и кафедру теории функций Новосибирского государственного университета. Здесь Андрей Васильевич продолжает свои исследования по эллиптическим уравнениям и уравнениям смешанного типа, создав известную научную школу в этих направлениях. В частности, им впервые были установлены теоремы о существовании и размерности пространства решений задачи с наклонной производной для гармонических функций в трёхмерной области в зависимости от структуры множества, где вектор, по направлению которого задаётся производная от искомой функции на границе области, выходит в касательную плоскость. Значительные исследования Андрея Васильевича посвящены проблеме поиска многомерных аналогов задачи Трикомы в смешанных областях, когда многообразия изменения типа уравнения является либо пространственно, либо временным образом ориентированной поверхностью. Андреем Васильевичем предложены также качественно новые задачи (как начальные, так и краевые) для уравнении смешанного типа на плоскости, когда линия изменения типа одновременно является и вырождения порядка.
Совершенно неожиданный эффект обнаружен А.В. Бицадзе и в теории гиперболических систем. Хорошо известно, что в случае одного гиперболического уравнения второго порядка на
плоскости задача Гурса является корректно поставленной. Андреем Васильевичем установлено, что для линейных гиперболических систем этот факт может нарушаться даже в случае простых корней характеристического уравнения.
В 1971 г. постановлением Президиума АН СССР Андрей Васильевич был приглашен в Математический институт АН СССР им. В.А. Стеклова, где возглавил вновь созданный отдел уравнений в частных производных. В этом же году А. В. Бицадзе был избран действительным членом АН ГССР. Одновременно по решению ЦК КПСС с 1979 г. по 1983 г. он успешно возглавлял Институт прикладной математики им. И.Н. Векуа Тбилисского университета.
Начиная с 1972 г. А.В. Бицадзе вел исследования по построению широких классов решений квазилинейных уравнений в частных производных, охватывающих уравнения гравитационного поля (уравнения Эйнштейна), уравнения гейзенберговской теории ферромагнетизма, Лоренц-ковариантных уравнений. Найденные Андреем Васильевичем решения вошли в изданные в Советском Союзе и за рубежом монографии и справочники по решениям указанных уравнений. Одновременно он читает курс уравнений в частных производных в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. Широко известны также работы А. В. Бицадзе по нелокальным краевым задачам, толчком к их исследованию послужила предложенная Андреем Васильевичем постановка (совместно с А.А. Самарским) нелокальная задача для уравнения Лапласа, когда данные Дирихле на одной части границы области сопрягаются со значениями решения внутри ее.
А.В. Бицадзе был выдающимся организатором российской науки и образования, возглавлял различные научные проекты и коллективы. Ему принадлежат основополагающие результаты по многим направлениям современной математики и её приложениям: в области теории функций и функционального анализа, дифференциальных уравнений и математической физики, вычислительной математики и математического моделирования. В различных разделах теории уравнений в частных производных можно встретить систему Бицадзе, уравнение Лаврентьева- Бицадзе, принцип экстремума Бицадзе, задачу Бицадзе -Самарского. Имя А.В. Бицадзе пользуется высоким международным авторитетом. Многие его монографии и учебники изданы и переведены за границей на английский, немецкий, китайский, польский и др. языки. Андрей Васильевич являлся заместителем редактора "Сибирского математического журнала" , членом бюро Отделения математики АН СССР, членом Национального комитета математиков. Его заслуги высоко оценены государством: он награжден орденом Ленина (1971), орденом Октябрьской революции (1985), двумя орденами Трудового Красного Знамения (1966, 1975).
Андрей Васильевич прожил яркую гражданскую и научную жизнь (9.5.1916 - 6.4.1994). Принципиальный, справедливый, временами эмоционально резкий, он всегда был впереди, пользовался высоким моральным авторитетом в научной среде и служил примером для молодежи. Именно принципиальность и проницательность в оценке людей послужила причиной нескольких неудач при избрании в действительные члены Академии наук, хотя по масштабу личности и выдающимся научным заслугам он давно заслуживал этого. Среди учеников Андрея Васильевича свыше 13 докторов наук и 30 кандидатов наук, однако число людей, которым он помог и среди которых оставил добрую память, неизмеримо больше.
УДК 517.9
СИСТЕМА МОИСИЛА- ТЕОДОРЕСКУ В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ THE MOISIL- TEODORESCU SYSTEM IN MULTIPLY CONNECTED DOMAINS
В.А. Полунин, А.П. Солдатов V.A. Polunin, A.P. Soldatov
Белгородский государственный национальный исследовательский университет Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia E-mail: polunin@bsu.edu.ru, soldatov@bsu.edu.ru
Аннотация. В статье получено новое интегральное представление общего решения системы Моисила-Теодореску в многосвязных областях. Это представление использовано для исследования задачи Римана-Гильберта для системы Моисила-Теодореску.
Resume. In the paper a new integral representation of general solution of the Moisil - Teodorescu system is received in a multiply connected domain. Applications of this representation to Riemann - Gilbert problem for Moisil-Teodorescu system are also given.
Ключевые слова: система Моисила-Теодореску, задача Римана-Гильберта, интеграл типа Коши, сингулярные интегральные уравнения.
Key words: Moisil - Teodorescu system, Riemann - Gilbert problem, Cauchy type integral, singular integral equation.
Рассмотрим эллиптическую систему Моисила- Теодереску [1]
M (^Ъ x) = 0, M (0 =
( 0 С С2 Сз
с 0 -с, С2
С2 Сз 0 -С:
Us ~Сг С: 0
Л
(1)
для четырехкомпонентного вектора и(х) = (щ, щ, щ, щ) . В силу очевидного соотношения
Мт (С)М(£) =| £ |2 компоненты этого вектора являются гармоническими функциями. Полезно отметить также, что в обозначениях
и = (их, ^ (2)
система (1) записывается в виде
= 0, го1у + §гаё щ = 0. (3)
Напомним [1], что фундаментальным решением дифференциального оператора М (д/дх)
в пространстве Р3 является матрица-функция Мт (х)/1 х |3, где Т - символ матричного транспонирования. Поэтому для непрерывной вектор-функции у, заданной на гладкой
поверхности Г ^ Р3, интеграл типа Коши
(I¥)(x) = — Г (У 3) M[n(уШy)d2y, x £ Г, (4)
| y - x |
где d2y есть элемент площади и n(y) - единичная нормаль, определяет решение системы (l). Пусть поверхность Г ограничивает конечную область D, по отношению к которой n является внешной нормалью, открытое множество D' = R3 \ D и для единообразия введены обозначения D+ = D, D = D'. Тогда если функция р удовлетворяет условию Гельдера и поверхность Г ляпуновская, то существуют предельные значения
u± (У,) = lim u(x), y, еГ,
x^ уд, xeD±
для которых справедлив аналог формул Сохоцкого- Племеля
u± = ±ш + u *. (5)
Здесь u* = IШ определяется сингулярным интегралом
(I Ш)(Уо) = -1 Г MT (У Узо) M [n( у)]ш( y)d2 У,
2^Г 1 y - у,1
который понимается как предел при 0 интегралов по £ у — у0 |>^}. Эти формулы впервые были получены А.В. Бицадзе [2]. С точки зрения минимальных требований на гладкость поверхности этот результат был уточнен в [3]: если Г принадлежит классу С1у,0<у <1, то
оператор I ограничен Сл (Г) ^ Сл (П), 0 < / < у.
Пусть задана на Г непрерывная 2 х 4 — матрица
B =
(Bu B12 B13 B14 ^
Я Я Я Я
V B21 B22 B23 B24 J
имеющая ранг 2 в каждой точке поверхности. Рассмотрим для системы (1) аналог краевой задачи Римана - Гильберта
Бы + = /, (6)
которую кратко назовем задачей Я. Естественный подход к изучению этой задачи (для специальных матриц Б ), основанный на использовании интегралов типа Коши (2), был предложен А.В. Бицадзе[4]. Законченное исследование задач Я в областях, гомеоморфных шару, было дано В.И. Шевченко [5, 6]. Другой подход, основанный на интегральном представлении специального вида, был описан в [7, 8].
В настоящей работе рассмотрим случай произвольной многосвязной области. С точки зрения общей эллиптической теории [9, 10] задача Я фредгольмова при выполнении так называемого условия дополнительности. Известно[6, 8], что это условие можно описать следующим образом. Рассмотрим вектор 5 = (5, 52, 53) с компонентами
5 = Ь12 + Ь34, 52 = Ь13 — Ь24, 5 = Ь14 + Ь23,
где Ьк = ~ ЬЬк означают соответствующие миноры матрицы B. Тогда условие
дополнительности равносильно тому, что вектор 5 нигде не выходит в касательную плоскость. Другими словами, скалярное произведение
у)п(у) Ф 0, у еГ. (7)
Как показано в [6], если поверхность Г гомеоморфна сфере, то при выполнении этого условия задача Я фредгольмова и ее индекс равен — 1. В общем случае произвольной области О можно утверждать лишь свойство фредгольмовости этой задачи.
Теорема 1. Пусть поверхность Г принадлежит классу С1^ и матрица- функция В е С (Г) удовлетворяет условию (7). Тогда оператор Я задачи (1), (6) фредгольмов
См (Г) ^ С М(П).
Доказательство. С каждым двукомпонентным вектором ( = (( , (2) свяжем
четырехкомпонентный вектор у = по формуле (р = ((, п( ) и положим
(Л)ф)(х) = (I р)(х), х е О. (8)
Таким образом, оператор 10 действует из пространства См(О) двукомпонентных вектор-
функций в пространство См(О) решений системы (1) в области О . Покажем, что этот оператор фредгольмов.
С этой целью рассмотрим частный случай задачи Я , определяемую краевым условием
Си+ = / (9)
с матрицей- функцией
(1 0 0 0 ^
С = .
10 п п2 пз)
Убедимся, что ядро этой задачи конечномерно.
В самом деле, пусть Си+ = 0. Тогда в обозначениях (2) имеем:
=0 V+п = 0. (10)
Поскольку функция щ гармонична в области О, отсюда щ =0 и второе равенство (3) переходит в го^ = 0. Следовательно, в каждой односвязной подобласти О0 ^ О функция V представляется в виде градиента §таё некоторой функции w0, которая с учетом первого равенства (3) гармонична. Если О означает другую односвязную подобласть О с соответствующим представлением V = §таё w1, то на открытом множестве О0 О разность w0 — W является локально постоянной функцией, поскольку ее градиент равен нулю. Во всей вообще говоря многосвязной области О гармоническая функция w в представлении V = §гаё w многозначна и
допускает ветвление вдоль контуров, не стягиваемых к точке в области О. При этом второе краевое условие в (10) переходит в
ди'4
= 0. (11)
дп
От многозначности можно освободиться, проводя в области О соответствующие разрезы. Условимся под разрезом Я понимать односвязную гладкую поверхность с гладким краем дЬ,
которая содержится в О , причем Я о Г = дЬ . В области О всегда можно провести такие попарно непересекающиеся разрезы Ях,..., Я, что
О = О\Я, Я = Я Я ,
Я 5 1 т5
является односвязной областью. В этой области функция и является однозначной и ее граничные значения на разрезах связаны соотношением
(и+— ) = с, 1 ^ I ^ т, (12)
I
с некоторыми постоянными сг. При этом равенства с = . • • = си =0 означают однозначность
функции и, т.е. ее гармоничность во всей области О , что с учетом (11) возможно только когда и постоянна. Эти рассуждения и доказывают конечномерность пространства решений однородной задачи (9).
Обозначим £ оператор задачи (9) и рассмотрим композицию 310, которая представляет собой оператор, действующий в пространстве С'"(Г) двухкомпонентных вектор-функций.
Заметим, что произведение ССт представляет собой единичную 2 х 2 — матрицу. Кроме того,
□ т
равенство (6) можно записать в форме р = С (р. Поэтому в силу (4), (5) имеем равенство Б10 =1 + К0 с интегральным оператором К0 , действующим по формуле
(КоР)(Уо) = [р(у)й2у, уо е Г, (13)
2^Г I У — Уо I2
с матричной функцией
¿о(Уо,У) = С(УоМт ЮМп(у)]Ст (у), £ =
_ У — Уо
1 У — Уо1
Непосредственная проверка показывает, что
Мт (£)М (п)Ст =
п£ о ^
[п,£]1 £
[п,£]2 £2
[п,£]з £з
(14)
где здесь и ниже квадратные скобки означают векторное произведение, произведение без скобок скалярное, и \п,Е, \ - компоненты вектора [п,^]. Отсюда в явном виде
Г пШ 0 1 ( п( у)£ 0 1
п(ус)[п(у),^] п( Уо)£
ко( Уо, У) =
[п(уД п(уЖ п(Уо)^
Как установлено в [3], в предположении Ге О1'1* функция к0 (?0,1) принадлежит классу О (Г х Г) и обращается в нуль при t = ¿0 . Поэтому ядро оператора К0 имеет слабую особенность, а сам оператор компактен в пространстве См (Г). На основании теоремы Рисса заключаем, что образ т(570) является замкнутым подпространством конечной коразмерности. Поскольку т£ з т(£/0) , этим свойством обладает и образ оператора £ . Таким образом, оператор £ фредгольмов, что с учетом фредгольмовости произведения 570 =1 + К приводит и к фредгольмовости оператора /0.
Обратимся к исходной задаче (6). Как и выше убеждаемся, что композиция Я10 = О + К с матрицей- функцией О = ВСт и интегральным оператором К, который определяется аналогично (13) по отношению к функции к(у0, у) = В(у0 )Мт (%)М[п(у)]Ст (у) и который в отличие от предыдущего случая является сингулярным.
Поскольку оператор /0 фредгольмов, оператор Я задачи фредгольмово эквивалентен
оператору N = О + К. В случае поверхности Г , гомеоморфной сфере, условие (7) гарантирует фредгольмовость сингулярного оператора N. Поскольку критерий фредгольмовости этого оператора носит локальный характер[11], аналогичное утверждение справедливо и для любой поверхности, что завершает доказательство теоремы.
Выражения для матриц О и к можно несколько упростить. С этой целью запишем матрицу В = (В у ) в виде
(в11 ь1
В = в21 ь2
v )
с векторами Ьк = (В^2, Вкъ, Вы ) . Тогда с учетом (14)
О =
(В„ Ьп1 В21 Ь2п
k(y0, y)= B2i(yo)n(y)£ + ь2(Уо)[п(У),£] b2(y\£
' Bii (yo )n( y )£ + [bi ( Уо ), n( y )]£ bi (y)£ ^ B2i(yo)n(y)£ + [b2(yo),n(y)]£ b2(y)£ , £
У - Уо I y - Уо I
V
У
Список литературы
1. Бицадзе А.В. 1972. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука.
Bitsadze A.V. 1972. Osnovy teorii analiticheskih funkcij kompleksnogo peremennogo. M.:Nauka.
2. Бицадзе А.В. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его приложения, Изв. АН СССР, сер. матем., 1953, Т. 17, 6., 525-538
Bitsadze A.V. Prostranstvennyj analog integrala tipa Koshi i nekotorye ego prilozhenija, Izv. AN SSSR, ser. matem., 1953, T. 17,6, 525-538.
3. Полунин В.А., Солдатов А.П. 2011. Трехмерный аналог интеграла типа Коши. Дифференц. уравнения. Т. 47, №3: 366-375.
Polunin V.A., Soldatov A.P. 2011. Three-dimensional analog of the Cauchy type integral. Differential equations, V .47, No.3: 366-375.
4. Бицадзе А.В. 1955. О двумерных интегралах типа Коши. Сообщ. Ан Груз. ССР, 16, 3: 177-184.
Bitsadze A.V. 1955. O dvumernyh integralah tipa Koshi, Soobsh. AN Gruz. SSR, 16,3: 177-184.
5. Шевченко В.И. 1966. О задаче Римана-Гильберта для голоморфного вектора. Докл. АН СССР, 169(6) :1285-1288.
Shevchenko V.I. 1966. O zadache Rimana-Gil'berta dlja golomorfnogo vektora. Dokl, AN SSSR, 169(6): 1285-1288.
6. Шевченко В.И. 1970. О некоторых краевых задачах для голоморфного вектора. Сб. "Матем. физика". Киев, Вып.8: 172-187.
Shevchenko V.I. 1970. O nekotoryh kraevyh zadachah dlja golomorfnogo vektora. Sb."Matem. fizika", Vip. 8: 172-187.
7. Полунин В.А., Солдатов А.П. 2010. Задача Римана-Гильберта для системы Моисила-Теодореску в ограниченной области. Неклассические уравнения математической физики, Сб. науч. работ, Новосибирск: изд-во ин-та математики.
Polunin V.A., Soldatov A.P. 2010. Zadacha Rimana-Gil'berta dla sistemy Moisila-Teodoresku v ogranichennoj oblasti. Neklassicheskie uravnenija matematicheskoi fiziki. Sb. nauchn. rabot, Novosibirsk:Institut matematiki: 192-201.
8. Полунин В.А., Солдатов А.П. 2011. Об интегральном представлении решений системы Моисила"- Теодореску. Научные ведомости БелГУ, Математика. Физика.
Polunin V.A., Soldatov A.P. 2011. Ob integral'nom predstavlenii reshenij sistemy Moisila-Teodoresku. Naushnie vedomosti BelGU, Matematika. Fizika.
9. Гилбарг Д., Трудингер Н. 1989. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука: 464.
Gilbarg D., Trudinger N.S. 1989. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer, Reprint of the 1998 Edition.
10. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. 1964. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II. Comm. Pure Appl. Math., 17: 35-92.
11. Михлин С.Г. 1962. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз.
Mikhlin S.G. 1965. Multidimensional singular integrals and integral equations. International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, 83, Pergamon Press, Oxford-London-Edinburgh-New York-Paris-Frankfurt.
