CC BY
15
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 517.9
СИСТЕМА МОИСИЛА - ТЕОДОРЕСКУ В ОБЛАСТИ, ГОМЕОМОРФНОЙ ТОРУ
THE MOISIL - TEODORESCU SYSTEM IN THE AREA, HOMEOMORPHIC TO А TORUS
В.А. Полунин, А.П. Солдатов V.A. Polunin, A.P. Soldatov
Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod State University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia
E-mail: [email protected], [email protected]
Аннотация
В статье рассмотрен вопрос фредгольмовой разрешимости задачи Шварца для системы Моисила -Теодореску в области, гомеоморфной тору. Сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие разрешимости и вычислен индекс оператора этой задачи.
Abstract
In the article the question of the Fredholm solvability of the Schwarz problem for the Moisil-Teodorescu system in the domain homeomorphic to the torus is received. A necessary and sufficient condition for solvability is formulated and proved, and the index of the operator of this problem.
Ключевые слова: система Моисила - Теодореску, задача Шварца, краевая задача. Keywords: Moisil - Teodorescu system, Schwartz problem, baundary value problem
Рассмотрим в области О С 1Ч3, ограниченной гладкой поверхностью Г. эллиптическую систему Моисила-Теодореску
Г 0 С <Т2 <Тз ^
мх) = 0, M(Z) =
Zi о
Z2 Z3
2 Ь3
-Z3 Z2 0 -Zi
Z3 -Z2 Zi
0
(1)
для четырехкомпонентной вектор-функции и (х) = (м13 и2, и3, и4), которая в обозначениях и = (и2, и3, и4) записывается в виде
= 0, го^ + §гаёи1 =0. (2)
Отметим, что все компоненты и. вектора и решения этой системы являются гармоническими функциями.
Задача Шварца заключается в отыскании решения (и1, и ) Е С(О) рассматриваемой системы, удовлетворяющего краевым условиям
< = /г, ~+п = /2, (3)
где знак + указывает на граничное значение, п = (пг,п2,п3) есть единичная внешняя
нормаль и и+п означает скалярное произведение.
Отметим, что формула Гаусса-Остроградского, примененная к (2), (3), приводит к условию ортогональности
УгШ 2 У = 0, (4)
необходимому для разрешимости неоднородной задачи Шварца.
Эта задача фредгольмова в классе См(П) (см. теорему 1 из [1]). Как показано в [2],
ядро этой задачи имеет размерность Ш — 1, где Ш - порядок связности области П . Этот порядок определяется следующим образом: в области П можно провести ровно Ш попарно непересекающихся разрезов Яг,...,Ят, таких что дополнение к ним одосвязно. Под разрезом многосвязной области П здесь понимается односвязная гладкая поверхность
Я с гладким краем дЯ, которая содержится в П , причем Я П Г = ЭЯ .
В явном виде это ядро состоит из векторов иг = 0, и = §гаё№, где № -произвольная многозначная в П гармоничная функция, частные производные которой однозначны и которая удовлетворяет краевому условию
^ =0
дп
на Г.
В частности, если область П гомеоморфна шару (тору), то Ш = 1 (Ш = 2). Известно [3], что в первом случае условие (4) и достаточно для разрешимости неоднородной задачи (3). Утверждается, что этот факт справедлив и в во втором случае, когда область П гомеоморфна тору.
Теорема 1. Пусть поверхность Г принадлежит классу С2'У, 0 < V < 1, и область
П гомеоморфна тору. Тогда условие (4) необходимо и достаточно для разрешимости задачи (3).
Доказательство. Существуют такие неколлинеарные вектор- функции р, Ц е С1'У (Г), которые касаются Г в каждой точке. В самом деле, по условию существует
диффеоморфизм ОС класса С2'У поверхности Г0 тора на Г. Очевидно, для тора выбор векторов р0 и ц0 с указанными свойствами очевиден. Поэтому достаточно положить р = (Эа)(р0) и ц = (Эа)(ц0), где Э означает матрицу Якоби. Рассмотрим для системы (2) однородную задачу
и + р = и + ц = 0 (5)
и установим сначала следующий вспомогательный результат.
Лемма 1. Для любого решения и = (иг,и) е С1г(П) однородной задачи (5) функция и =0, а их постоянна.
Доказательство. Легко видеть, что неоднородная задача
~ + р = /х, ~ + 4 = /2 (6)
удовлетворяет условию дополнительности, описанному в [1]. А именно, пусть gkr означает минор второго порядка, составленной из к — го и Г — го столбцов матрицы
0 = г0 а р2 РЗ ^
i0 4 4 4з у
Тогда условие дополнительности заключается в том, что вектор 5 = (s1,52,53) с
компонентами
12 34 13 24 14 23
g12 + g , 52= g13 - g , S3= g14 + g23
не выходит в касательную плоскость всюду на Г. Легко видеть, что в рассматриваемом случае s = [р, 4] и поэтому указанное условие очевидным образом выполнено.
Таким образом, на основании известных результатов [2, 4] задача (6) фредгольмова в классе С^ (Е), причем любое ее решение однородной задачи в действительности
принадлежит классу С1'ц.
Рассмотрим односвязную поверхность Г0 с Г с гладким краем и применим к
вектор- функции и + на этой поверхности теорему Стокса. Тогда
£ (го1~)+ (х)п(х)й2х = £и+ (у)е(уЦу,
где е(у) есть единичный касательный вектор к контуру дГ0, ориентированный положительно по отношению к п (т.е. обход этого контура, если смотреть из конца вектора П, осуществляется против часовой стрелки). В соответствии с (5) вектор и+ пропорционален П на Г и, следовательно, подинтегральное выражение в правой части последнего равенства обращается в нуль. Поэтому с учетом (2) оно примет вид
Г х = 0.
•Ч дп
Так как оно верно для любой односвязной области Г0 поверхности Г, отсюда заключаем, что нормальная производная
ди+
= 0.
дп
Следовательно, гармоническая функция u1 постоянна в области D и система (3)
переходит в div ~ = 0, rot ~ = 0. Поэтому функцию u можно представить в виде
u = gradw с некоторой многозначной гармонической функцией W, частные производные
которой однозначны. При этом в силу (5) ее частные производные по касательным
направлениям p ид равны нулю на границе, так что функция w+ постоянна на Г.
Следовательно, она однозначна и постоянна во всей области D, что и завершает доказательство леммы.
Продолжение доказательства теоремы 1. По отношению к u = (u1,u2,u3,u4) краевое условие (3) можем записать в форме
f1 0 0 0 ^
Cu + = f, C =
V0 n1 n2 n3 у
(7)
Не ограничивая общности можно считать, что вектора р, Ч имеют единичную длину и ортогональны друг другу. Поэтому матрица
0 0 0 ^ 1 п1 п2 п3
1 Р1 Р 2 Рз
ч0 41 Ч2 Чз у ортогональна и согласно [5] равенство
ОМ т {п)у+ =0 (7*)
представляет собой однородное сопряженное краевое условие к (3) для сопряженной системы
M у x) = 0. (1*)
Прямая проверка показывает, что
fl [n, p]i [n, p]2 [n, р]з ^
GMT (n) =
(8)
J3
v0 [n, q\ [n, q]2 [n, q\ j где квадратные скобки означают векторное произведение. Поскольку векторы [n, p] и
[n, q] также лежат в касательной плоскости и ортогональны друг другу, отвечающая (7 )
неоднородная задача также удовлетворяет условию дополнительности.
На основании теоремы 4 из [5] отсюда заключаем, что условие ортогональности
У (y)(CM т (n)v)(y)d 2 y = 0 (9)
всем решениям V однородной задачи (1 ),(7 ) необходимо и достаточно для
разрешимости задачи (1), (3). В обозначениях v = (v1, ~) система (1 ) примет вид
div~ = 0, rot ~ - gradv1 = 0, (2*)
аналогичный (2). Поэтому лемма 1 сохраняет свою силу и для этой системы (с тем же доказательством). В частности, с учетом (8) эта лемма применима и к задаче (2 ),(7 ), так что на основании этой леммы в условии ортогональности (9) можем положить v1 = 1, ~ = 0 . Принимая во внимание очевидное соотношение
CMт =
( 0 n n2 n3 ^ V1 0 0 0 J
убеждаемся, что условие (9) в точности переходит в (4). Тем самым теорема 1 полностью установлена.
Список литературы References
1. Полунин В.А., Солдатов А.П. 2016. Система Моисила - Теодореску в многосвязных областях. Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика., 27(248): 10-15.
Polunin V.A., Soldatov A.P. 2016. The Moisila - Teodoresku system in multicoherent areas. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics & Physics, 27(248): 10-15.
2. Полунин В.А., Солдатов А.П. 2017. Об интегральном представлении решений системы Моисила - Тедореску в многосвязных областях. Докл. РАН, 475 (4).
Polunin V.A., Soldatov A.P. 2017. About integrated submission of solutions of the Moisila -Tedoresku system in multicoherent areas. Reports of RAS, 475(4).
3. Шевченко В.И. 1970. О некоторых краевых задачах для голоморфного вектора, Сб. "Матем. физика". Киев. Вып.8: 172-187.
Shevchenko V.I. 1970. About some regional tasks for a holomorphic vector, Sb. "Matem. physics". Kiev. Issue 8: 172-187.
4. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. 1964. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II. Comm. Pure Appl. Math., 17: 3592.
5. Полунин В.А., Солдатов А.П. 2011. О сопряженной задаче Римана - Гильберта для системы Моисила - Теодореску, Научные ведомости БелГУ, 5 (22): 106-111
Polunin V.A., Soldatov A.P. 2011. About the interfaced Riemann's task - Gilbert for the Moisila -Teodoresku system. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics & Physics, 5(22): 106-111.
