Об интегральном представлении решений системы Моисила-Теодореску 8) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ МОИСИЛА-ТЕОДОРЕСКУ8)

В.А. Полунин, А.П. Солдатов

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: soldatov@bsu.edu.ru, polunin@bsu.edu.ru

Аннотация. В работе получено новое интегральное представление общего решения системы Моисила-Теодореску в ограниченной области.

Ключевые слова: система Моисила-Теодореску, задача Римана-Гильберта, интеграл типа Коши, уравнение Фредгольма.

Пусть область DcR3 ограничена гладкой поверхностью S. В этой области рассмотрим эллиптическую систему Моисила-Теодере^ку [1] |

( I 0 ь Ь Ь |

м |х и(х)=0, м й) = -V | ° “03 _\ /•, (1)

Ь _Ь Ь 0

для четырехкомпонентного вектора и(х) = (и1,и2, и3, и4).

Напомним [1], что фундаментальным решением дифференциального оператора М(д/дх)в пространстве К3 является матрица-функция МТ(х)/|х|3, где Т - символ матричного транспонирования. Поэтому для непрерывной вектор-функции ф, заданной на поверхности S, интеграл типа Коши

1 MТ(у - х)

(IФ)(х) = 2П 5 |у _ х|3 М [п(У)]ф(У^у, х е S, (2)

где dsy - элемент площади на поверхности S и п(у) -единичная внешняя (по отношению к области D) нормаль, определяет вне этой поверхности решение системы (1).

К оператору I в (2) можно применить результаты [2], согласно которым в предположении S е С 1’м+° он ограничен См^) CM(D±), где для единообразия введены обозначения D+ = D, D_ = К3 \ D, и для предельных значений

и±(у0) = lim и(х), У0 еS>

х^у0,хеР±

функции и = 1ф справедлив аналог формулы Сохоцкого—Племеля

и± = ±ф + и*, (3)

8Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (госконтракты № П19, № П693, № 02.740.11.0613)

где u* = I *ф определяется сингулярным интегралом

1 M Т(V — Vn)

(I *W(Vn> = ^ I M [n^^ds,,

2n s |y — Vnl3

который понимается как предел при е 0 интегралов по S n {|y — yn| > е}.

Для любого решения u е C(D) системы (1) справедлива формула Коши

2u(x) = (I u+)(x), x е D.

В частности, оператор I переводит класс CM(S) на все пространство CM(D) решений системы (1). Однако в представлении u = 1ф плотность ф определяется, конечно, неединственным образом. Ситуация здесь вполне аналогична с классическими интегралами типа Коши, определяющих аналитические функции, где согласно теореме Н.И. Мусхелишвили соответствующее представление единственно для вещественных плотностей. Аналогичная проблема для системы (1) тесно связана с задачей Римана-Г ильберта (

( 10 0 0

H (V)u+(y) = f(V), H (y) = 0 n1 n2 n3 , (4)

в классе C(D) n C 1(D).

Систему (1) по отношению к вектор-функции u = (u1,v), v = (u2, u3, u4), можно переписать в форме

div v = 0, rot v + grad u1 = 0. (5)

Соответственно, краевое условие (4) примет вид

u+ = f1 , v+n = f2 , (6)

где fj, j = 1,2 означают компоненты вектор-функции f. Из соотношений (6), (7), в силу

формулы Гаусса-Остроградского, следует, что условие ортогональности

f2 (V)dSV = 0 (7)

S

необходимо для разрешимости неоднородной задачи (4).

Задачу (4) ниже будем исследовать в классе CM(D). Для ее решения рассмотрим интегральный оператор 10ф = I (H Тф) с 2- вектор-функцией ф^) = (ф1, ф2) е CM(S). С учетом (3) подстановка u = I0ф в (4) приводит к системе интегральных уравнений

ННТф + HI *(НТф) = f

для неизвестной плотности ф. Легко видеть, что H H Т = 1, и, следовательно, эта система примет вид

ф + Кф = f , (8)

где интегральный оператор

(Кф)(у0) = к(у0, у)ф(у)dsy, у0 е Б , определяется матричным ядром

3У

Б

к(У"'У )= 2”(Уо) ,3 Мт(У-Уо)М [п(у )]НТ (у).

2піУ -Уо13

Непосредственной проверкой можно убедиться, что

с

Н (у0)МТ (Ь )М [п(у)]НТ(у ) =

Т/тл^ллшТлл - п(у)£ 0

п(у)[Ь, п(у°)] п(у°)Ь ’

где квадратные скобки означают векторное произведение, а произведение без скобок-скалярное. Поэтому в явном виде

к(у у)= 1 С п(у)(у_ус) 0 (9)

к(у°'у) 2п|у_у°|3 п(у)[у_у0,п(ус)] п(у0)(у_ус) ■ (9)

Можно показать, что в принятом предположении Б е С 1,м+° это ядро имеет слабую особенность. Более точно, справедливо следующее предложение.

Лемма 1. Пусть Б е С1,м, 0 <м< 1. Тогда функция

к°(у°,у)= 1у_у012к(у0,у) еСм(БхБ) , к.0(у, у) = 0 ■

П Утверждение леммы достаточно установить локально, т.е. для каждой точки а е Б найдется такая ее окрестность а е Г с б, что к0 е СМ(Г х Г). Не ограничивая общности можно считать, что Г гомеоморфна замкнутой плоской выпуклой области G с |^2, причем гомеоморфизм f : G Г устанавливает гладкая параметризация класса С1,м+°^). Таким образом, по определению параметризации частные производные , j = 1,2,

вектор- функции у = f ^) линейно независимы в каждой точке s = S2) е G. Нетрудно убедиться [2], что в этом случае отображение f липшицево, т.е. найдутся такие положительные постоянные т и М, что выполнена двусторонняя оценка

т|Б _ Б01 |f(s) _f(So)| M|s_s01. (10)

В частности, условие к0 е СМ(Г х Г) равносильно

k0(S' s°) = k°[f (s)' f Ы] е CM(G х G) ■

Доказательство последнего включения проведем по отношению к первому элементу к1-| матрицы к0, для остальных элементов рассуждения аналогичны. Согласно (9), (10) имеем:

к°1 S°) = 2_п[Г ф](ф, So) , ш(S' s°) = ■

2П |Т(>) _ Г(>°)|

Поскольку единичная нормаль

[Г( )] = [P1(S)'P2(S)] р = Ц

п[Г(S)] = |[Р1^),Р2^)]| ' Pj д Sj '

и функция |[Р1^),Р2^)]| е См^ х G), достаточно убедиться, что смешанное произведение

(Р1,Р2,ш) = [Р1,Р2]Ш е CM(G х G) ■ (11)

Поскольку область G является выпуклой, можем записать

г^) _ г^°) = д^, So)(s _ So)l + g2(S' So)(s _ So)2 ,

где

1

дкSo) = Рк[s° + ф _ So)] du е CM(G х G)

0

и (s _ s0)j означает j -ю компоненту вектора (s _ s°). Поэтому смешанное произведение

V = (Р1, Р2, ш) можно переписать в виде

So)(S _ Б°)1 + h2(S' So)(S _ So)2

^ =-------------------|ед_Гы!--------------'

где Ик = (р1,р2,дк). Очевидно, Ик е CM(G х G) и hk(s,s) = 0. Последнее свойство

вытекает из того, что дкs) = рк(s).

Далее зафиксируем s° е G ив области Е = {s _ s0' s е G} рассмотрим функции

а^) = hk(t + So' So), q(t) = Г(t + s°) _ ГЫ.

Тогда для функции w(t) = V(I + s0' s°) имеем выражение

= *№,+»2(% .

№)|

и неравенство (10) приводит к оценкам

^(0| m|t|, |q(tl) _q(t2)| М |11 _ t21. (12)

Утверждается, что в этих обозначениях для полунормы Гельдера функции w справедлива оценка

г . |w(t) _ w(t )|

М" = 8и?~У_П“ С [а]„ (13)

t=t!

с некоторой постоянной С > 0, зависящей только от т, М. Для доказательства рассмотрим вектор-функцию ф^) = ^^)| на Е \ 0 и покажем, что

»_ ыХЧ-ф(t )| 4 с 1+ М _ _

А = Ш I------1-- 4 — + —- t = t =0 (14)

|1_^" т т2 , 1 1 0 ■ ( )

Действительно, пусть сначала |t|/2 |t | 2|t|, тогда |t — t |/|t| 3. С учетом (12)

имеем

|Ц |t|q(t )| — t |q(t)|| ltlu 2 |t — t |1—m + |t ||q(t) — q(t )|

д = |t|i

Д |t| |t — t|M|q(t)||q(t)| Если2|t | |t| или 2|t| |t |, то

|t|

+

lq(t)| |t — thq(t)||q(t )|

JtL HL

m m

2

2,

|t_t| ||t|_|t| и, следовательно,

|^м 2м+1

» |t_t|м(lф(t)l + |ф^ )|)

где учтено, что |ф(^| 1/т. Обьединяя оба случая, приходим к справедливости (14).

Обратимся к выводу оценки (13). Записывая w = аф, а = (а1 ,а2), с учетом (12) имеем:

№0 _w(t )| la(t) _ a(t )||ф(1 )| + |a(t)||ф(t) _ ф(t )| [а]м + [а] »

|t _ 11" |t _ 11" |t _ 11" т [ ]" ■

Совместно с (14) отсюда следует (13) с постоянной С = (5т + 4М )/т2.

Вспоминая определение w, имеем, таким образом, оценку

|k0(s, so) — k0(s , So)|

|s — So|M

C [a]M, a = (ai ,a2).

где C зависит только от m, M. Аналогично убеждаемся, что и

|k0(s, so) — k0(s,So)|

|s — s0|M

C [a]M.

Обе эти оценки завершают доказательство леммы. И

Теорема 1. Для системы (1) в односвязной области D с границей S е С2,+° задача (4) однозначно разрешима, причем условие ортогональности (7) необходимо и достаточно для ее разрешимости в классе См^).

П Пусть и = (и1, V), V = (и2, и3, и4), есть решение однородной задачи (4). В силу (6) это решение удовлетворяет условиям

U+ = 0, v+n = 0.

(15)

Поскольку М 0МТ(^) = |^|2, компоненты этого решения являются гармоническими функциями. Тогда и1 = 0 в области D и система (5) принимает вид

div v = 0, rot v = 0 .

(16)

Поскольку область D односвязна, в соответствии с формулой Стокса из (16) следует, что v = grad h для некоторой функции h. В силу первого равенства в (16) функция h

должна быть гармонической. По отношению к ней второе краевое условие в (15) переходит в условие Неймана, так что функция h должна быть постоянной и, следовательно,

V = 0. В силу фредгольмовости задачи (4) последнее доказывает ее однозначную разрешимость.

Покажем теперь достаточность условия (7) для разрешимости задачи (4). Убедимся сначала, что пространство решений однородного уравнения (8) одномерно. Пусть Ф + Кф = 0, тогда функция и = I (НТф), рассматриваемая в D, является решением однородной задачи (4), так что по свойству единственности и = 0.

Рассмотрим во внешней области D1 = К3 \ D функцию w = I (Н Тф), которая, очевидно, имеет поведение

w(x) = 0(|х|-2) при |х| —► . (17)

Согласно (3) для нее имеем соотношение

_w_ = 2НТф ■ (18)

Рассмотрим на поверхности S односвязную область Г с гладким краем д Г. Так как по предположению S е С2,+°, на Г можно выбрать пару неколлинеарных касательных векторов р^ е С 1,+°(Г), которые определяют 2 х 4 - матрицу

с = 0 Р1 Р2 Р3

0 q1 q2 qз ,

умножение которой на матрицу НТ из (4) приводит к нулевой матрице. В силу соотношения (18) функция w, заданная в области D1, удовлетворяет на Г однородному краевому условию

Gw_ = 0 ■ (19)

Покажем, что матрица G удовлетворяет условию дополнительности [3]. А именно, пусть дкг означает минор второго порядка, составленной из к_го и г_го столбцов матрицы G. В силу [3] это условие заключается в том, что вектор s = ^, S2, s3) с компонентами

s1 = д12 + д34, S2 = д13 _ д24, s3 = д14 + д23,

не выходит в касательную плоскость всюду на S. Легко видеть, что в рассматриваемом

случае s = [р, q] и поэтому указанное условие выполнено.

Убедимся, что функция w непрерывно дифференцируема вплоть до Г \ ЭГ. С этой целью рассмотрим подобласть D° с D1 с гладкой границей дD° е С2,+°, для которой S п д D° = Г. При этом матрица-функция G продолжена с сохранением гладкости на дD° до матрицы G0, удовлетворяющей условию дополнительности. Тогда сужение w° = w является решением задачи

с правой частью ^ е CM(ЭD0), обращающейся в нуль на Г. Функцию w можно рассматривать как слабое решение и на основании теоремы о локальном повышении гладкости [4] отсюда заключаем, что w е С 1,+°(00), где подобласть D° с D° такова, что пересечение д D° п д D° лежит строго внутри Г.

Запишем w = (и1, V), тогда краевое условие (19) для системы (5) можно записать в форме равенства нулю скалярных произведений

v_ р = v_q = 0 (20)

на границе S области D1.

Рассуждения, аналогичные использованным выше показывают, что и1 = 0 в D1. Действительно, по теореме Стокса

(rot v) (x)n(x)dsx = v (y)e(y)dy,

г аг

где e(y) есть единичный касательный вектор к контуру дГ, ориентированный положительно по отношению к n (т.е. обход этого контура, если смотреть из конца вектора n, осуществляется против часовой стрелки). В соответствии с (20) вектор v— пропорционален n на Г и, следовательно, подинтегральное выражение в правой части последнего равенства обращается в нуль. С учетом (5) последнее равенство примет вид

dun ds _ o .

Г on

Так как оно верно для любой односвязной области Г поверхности S, отсюда заключаем, что нормальная производная

aaf _o.

dn

Поскольку гармоническая функция u1, представляющая собой первую компоненту вектора I (H», исчезает на бесконечности, отсюда u1 _ 0 в D1.

Таким образом, система (5) переходит в (16). Хотя область D1 не является односвязной, однако с учетом (17) можем воспользоваться теми же рассуждениями, которые использовались выше, и функцию v представить в виде v _ grad h с некоторой гармонической функцией, исчезающей на бесконечности. Краевое условие (20) переходит в

dh- _ dh-dp dq _° ,

Эти соотношения равносильны тому, что h- постоянна на поверхности S. Существует единственная гармоническая функция h° є C2(D"1), которая исчезает на бесконечности и граничное значение h- которой тождественно равно 1 на S. Поэтому h _ Ah° с некоторым X є R. Таким обр°азом, w _ (0, Agrad h0) и (18) принимает вид

-(0, Agrad h°) _ 2(ф1 ,ф2п>

откуда ф1 = 0, ф2 = Хф с функцией

ф = _(дгас1 ho) п = _ ^ .

(21)

Верно и обратное, функция ф этого типа принадлежит ядру оператора 10, где 10ф =

I (НТф) и, значит, является решением однородного уравнения (8).

По теореме Рисса оператор 1 + К фредгольмов индекса нуль, так что коразмерность его образа равна 1. В частности, условие ортогональности (7) не только необходимо, но и достаточно для разрешимости неоднородного уравнения (8). И

Теорема 2. В условиях теоремы 1 любое решение и е См^) системы (1) единственным образом представимо в виде и = I (Н Тф) с некоторой вектор-функцией ф = (ф1 ,ф2) е СМ(Б), удовлетворяющей условию

где ф фигурирует в (21).

П Пусть теперь решение и е СМ(П) системы (1) задано и ф е СМ(Б) есть решение уравнения (8) с правой частью f = Ни+. Тогда разность и _ I (НТф) является решением однородной задачи (4) и, следовательно, эта разность равна нулю, что завершает доказательство теоремы. blacksquare

На основании теоремы 2 для заданных 2 х 4 - матрицы В (у) е СМ(Б) и 2 - вектор-функции f (у) е СМ(Б) рассмотрим вопрос о редукции общей задачи Римана-Гильберта

к системе сингулярных интегральных уравнений на границе S области D. Для этого воспользуемся формулой (3), подстановка которой в (22) приводит к системе сингулярных интегральных уравнений

ф2фdsy = 0,

Б

(22)

G(Уo)ф(Уo) + 0(У0, у; у _ у°)ф(у^у = f (у°),

ф2 фdsy = 0, (23)

Б

Б

где G(yo) = (ВН Т)(у°) и

1

0(у°,у; £) = ^1у_у°1_3В(у°)МТ(£)М (п(у))НТ(у).

где [п,£]к - компоненты векторного произведения [п,£]. Для дальнейшего удобно матрицу В = (Ви) задачи (22) рассматривать в виде

В = в1 « , ек = (Вк2, Вк3, Вк4) .

В21 е2

С учетом этих обозначений имеем

с

G =

В11 е1п В21 е2п

0(у V■ У) - 1 ( В11 (уо)п(у+ е1(уо)[п(у),У] е1(у)У

Ч(Уо,У■У) 2п|(|3 В21 (уо)п(у)У + Є2(уо)[п(у),У] е2(у), У

= 1 Вц(уо) п(у)У + [Є1(уо),п(у)]У Є1 (у)У

2п|У13 В21(уо) п(у)У + [Є2(уо), п(у)]У Є2(у)У '

Таким образом задача (22) сводится к системе сингулярных интегральных уравнений (23). В частности, для задачи Шварца (22) с матрицей В - Н имеем аналогичную (23) систему, в которой

G = ( 10 0(у уУ)- _1_ ( п(у)У о

G о 1 ' 0(у°'у'У) 2п1У13 п(уо)[п(у),У] п(уо)У ■

В этом случае ядро 0(у0, у; £) имеет слабую особенность и поэтому матричное уравне- ние (23) является фредгольмовым и однозночно разрешимым при выполнении условия ортогональности (7).

Литерат

ура

1. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / М.: Наука, 1972.

2. Полунин В.А., Солдатов А.П. Трехмерный аналог интеграла типа Коши // Дифференц. уравнения. - 2011. - 47;3. - С.366-375.

3. Полунин В.А., Солдатов А.П. Задача Римана-Гильберта для системы Моисила-Теодореску в ограниченной области // Неклассические уравнения математической физики / Сб. на- уч. работ. - Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 2010.

4. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. - М.: Наука, 1991.

ON INTEGRAL REPRESENTATION OF MOISIL-TEODORESKU’s SYSTEM SOLUTIONS V.A. Polunin, A.P.

Soldatov Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: soldatov@bsu.edu.ru,

polunin@bsu.edu.ru

Abstract. The new integral representation of general solution of the Moisil-Teodorescu system in bounded domain is performed.

Key words: Moisil-Teodorescu’s system, Riemann-Gilbert’s problem, Cauchy’s type integral, Fredholm’s integral equation.