Об условии Шапиро-Лопатинского в задаче Римана-Гильберта для эллиптической системы первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

91 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ (¿¡Д Серия Математика. Физика. 2010. №17(88). Выпуск 20 УДК 517.9

ОБ УСЛОВИИ ШАПИРО-ЛОПАТИНСКОГО В ЗАДАЧЕ РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В.А. Полунин, А.П. Солдатов Белгородский государственный университет

ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. В работе рассматривается условие Шапиро-Лопатинского краевых задач для трехмерного аналога системы Коши-Римана. Это условие обеспечивает разрешимость задачи Римана-Гильберта для эллиптических систем с частными производными первого порядка и состоит в дополнительном ограничении на матрицу краевого условия. В данной работе получен критерий, позволяющий в явном виде описать условие Шапиро-Лопатинского в терминах матрицы краевого условия и нормального вектора к граничной поверхности.

Ключевые слова: задача Римана-Гильберта, условие Шапиро-Лопатинского, система Моисила-Теодореску, эллиптические системы, граничные задачи.

В пространстве К3 рассмотрим эллиптическую систему Моисила-Теодореску [1]

д д д \ , ч

М —, —, — и(х) = 0 ,

\дх\ дх2 дхз)

где дифференциальный оператор М(() = М(С1,С2,С3) определяется матрицей

1 0 Zi Z2 Z3 \

Zi 0 -Z3 Z2

С2 Z3 0 -Zi

VZs Z2 Zi 0 /

а u(x) = (ui, u2, u3, u4) - искомый вектор.

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (госконтракты № П19 от 18.03.2010г., № П693 от 20.05.2010г., № 02.740.11.0613 от 29.03.2010г.)

Отметим некоторые из свойств матричного оператора в (1), которые будут использоваться в дальнейшем. Можно показать, что справедливы соотношения

где Т - символ матричного транспонирования.

Если = 0 и ^,3 = 1, 2, 3, одновременно в нуль не обращаются, то ранг мат-

рицы М(£) равен двум. Действительно, если £і = 0, то первые две строки М(£) линейно независимы, а третья и четвертая строки являются их линейной комбинацией. Аналогично, при (2 = 0 первая и третья строки М(£) образуют линейно независимую систему.

Если же (1 + (2 + Сз = 0, тогда из (2) следует, что М(() обратима. При этом обратная М- 1 (() и присоединенная М*(£) матрицы имеют вид

и /(у) - заданный на Г непрерывный двухкомпонентный вектор. В этой задаче требуется

Как известно, условие Шапиро - Лопатинского (условие дополнительности) [2] обеспечивает фредгольмовость задачи (1), (4). Оно представляет собой дополнительное ограничение на матрицу В в (4) и состоит в следующем.

Пусть £ = £ (у) и п = п(у), соответственно, касательный и единичный нормальный векторы к поверхности Г в фиксированной точке у. В силу (2)

и, следовательно, уравнение ёе1 М(£ + гп) = 0 в верхней полуплоскости 1т г > 0 имеет один корень г = г|£| кратности 2. Тогда условие дополнительности считается выполненным, если для любого ненулевого вектора £, касательного к Г в точке у £ Г и каждого вектора - строки А = (А1, А2) соотношение

м(С)МТ(С) = с? + С2 + Сз2, ¿е!м(С) = -(С? + С2 + Сз2)2, О Є с, (2)

(4)

найти решение и{х) £ С1 (И) П С (И) системы (1), удовлетворяющее краевому условию (4).

¿е! М(£ + ги) = — (г2 + |£|2)2, г Є С ,

ХБМ*(£ + ги) = 0 mod (г — г|£|)2

(5)

для многочленов переменной г влечет А = 0.

При фиксированном у £ Г условие (5) зависит только от матрицы В = В (у) и нормали п = п(у) к поверхности Г в точке у. Рассмотрим в пространстве К3 единичную сферу Б и множество Ф - множество нормалей п £ Б, для которых условие (5) выполнено для заданной матрицы В = В (у). Очевидно, что это множество симметрично, то есть вместе с п ему принадлежит и -п.

Пусть Ьк = Ь1кЬ2, - Ь1] Ь2к означают соответствующие миноры второго порядка матрицы В, которые занумеруем а1 = Ь12,а2 = Ь13,а3 = Ь14,а4 = Ь23,а5 = Ь24,аб = Ь34. В этих обозначениях рассмотрим вектор в = (в1, в2, в3) с компонентами

«1

а + аб, в2 — а2 — а5, в3 — а3 + а4

(6)

и две симметрические 3 х 3 матрицы

( -

¿1

2аб

—а2 + а5 у —а3 — а4

—а2 + а5 —а3 — а4

2а1

Ло

(

V

2а2 —а1 — аб 0

— а1 — аб

2а5

а3 — а4

0

2а1

0

—а3 — а4 2а2

(7)

Обозначим через Б, (п) множество всех векторов £ £ Б, ортогональных векторам Л, п и п. Заметим, что если векторы Л,п и п линейно независимы, то множество Б, (п) состоит из двух элементов ±^/|^|, где V есть векторное произведение [Л,п,п]. В противном случае, п есть собственный вектор матрицы Л, и множество Б, (п) является окружностью в плоскости, ортогональной к вектору п.

Лемма 1. Вектор в с компонентами (6) отличен от нуля в каждой точке у £ Г.

□ Предположим противное, то есть в условиях леммы вектор в = 0. Пусть В(к) = (Ь1к,Ь2к) означает к-й столбец матрицы В. Тогда, в наших обозначениях, для некоторого 1 < 3 < 6 можно записать а, = det(B(k), В(8)), 1 < к < в < 4. По условию ранг матрицы В равен двум, так что а, = 0 для некоторого 3 и, следовательно, существует обратная матрица С = (В(к), В^))-1.

По аналогии с введенным обозначениям а, будем обозначать через а , соответствующие миноры матрицы В' = СВ. Тогда, с одной стороны, а, = det(CB(k), СВ(3)) = а, det С и

0

предположение в = 0 переходит в условие в' = 0 для вектора в' с компонентами в^ = а1 + а6, в2 = а;2 — а5, в3 = а3 + а4. С другой стороны, в силу выбора матрицы С столбцы матрицы В' для некоторых 1 < к < в < 4 примут вид В(к) = (1, 0), В(8) = (0,1).

По условию а, одновременно в нуль не обращаются. Пусть а1 = 0, тогда а 1 = 1, а '2 = Х2, а 3 = у2, а 4 = —Х1, а 5 = —уь а б = Х1у2 — Х2у1, где

В' =( 1 0 Х1 у1

V 0 1 Х2 у2

Тогда соотношения а\+а б = а 3+а 4 = а ;2 — а 5 = 0 приводят к противоречию Х°+Х2 = —1. Непосредственной проверкой можно убедиться, что получится такой же результат и в случаях а, = 0, 2 < 3 < 6. ■

Рассмотрим подробнее множество нормалей Ъ для которых выполнено условие (5). Лемма 2. Пусть вектор нормали п = (п1, п2, п3) £ Б и п1 = 0. Тогда п £ Ъ в том и только том случае, когда выполнено условие

(Л1£,£) = (Л1п,п), при £ £ Б1(п). (8)

Если п1 = 0, то вектор п £ Ъ тогда и только тогда, когда

(Л1£,£) = (Лln,n), при £ £ Б1(п) £1 = 0 , (9)

(Л2£,£) = (Л2п,п), при £ £ Б2(п), £1 = 0 . (10)

□ Пусть Ь1 и Ь2 означают, соответственно, первый и второй вектор - столбцы матрицы Вт. С учетом соотношений (3) выражение (5) примет вид

(г + г|£|)АВМт(£ + гп) = Р(г)(г — г|£|), г £ С

с некоторым полиномом Р(г). Полагая в последнем г = г|£|, получим эквивалентное соотношению (5) условие: для любого единичного вектора £, касательного к Г в точке у и каждого вектора-строки А = (А1, А2) соотношение АВМт(£ + гп) = 0 влечет А = 0. Это означает, что ранг матрицы М(£ + гп)Вт равен двум, то есть равенство

А1М (()Ь1 + А2М (()Ь2 = М (() (А161 + А2Ь2) = 0, ( = £ + гп,

возможно только при А1 = А2 = 0. Таким образом, соотношение (5) эквивалентно условию:

Л161 + А2Ь2 £ кег М(() , (11)

что влечет Ai = А2 = 0. Для дальнейшего изучения (11) найдем размерность и базис ker M((). Так как по условию |£| = |n| = 1 и (j = О + inj, получим (2 + (2 + Сз = 0. Тогда,

Мт((), или, что равносильно, вектор-строки матрицы М(£) принадлежат кег М(£). Кроме того, как было отмечено выше, при условии + Сз = 0 ранг матрицы М(£) равен

двум. Это означает, что базис кегМ(£) состоит из двух линейно независимых вектор-строк матрицы М((), которые обозначим ^ ), с2 = с2(£). Поэтому условие (11) означает

линейную независимость векторов Ь1, Ь2, с1, с2.

Так как |£| = |п| = 1, то комплексные числа Zj = ^, ] = 1, 2, 3, одновременно в нуль не обращаются. При £1 = 0 базис с1 и с2 представляет собой, соответственно, первую и вторую вектор-строки матрицы М(£). Поэтому линейная независимость векторов Ь1,Ь2,с1,с2 означает, что

В случае £2 = 0 базис с1, с2 - есть первая и третья вектор-строки матрицы М(£), так что

Выражения в правых частях последних равенств представляют собой квадратичные формы относительно £ = (Съ С2, Сз) с матрицами Aj, которые определены в (7), так что можно записать hj(£) = (Aj• £,С), где (• , •) означает стандартное скалярное произведение. С учетом последнего условие (10) эквивалентно следующему: вектор п £ Ф тогда и только тогда, когда для £ = £ + ¿п, £^п справедливы соотношения

в силу равенств (2), имеем M(()MT(() = 0. Следовательно, вектор-столбцы матрицы

^ b11 b12 b13 b14 ^

b21 b22 b23 b24

= 0, (1 = °.

0 (1 (2 (3

\ (2 (3 0 -(1 )

= 0 , (2 = 0 .

Тогда c использованием теоремы Лапласа [3], получим

(ЛС,С ) = 0, если С1 = 0

(12)

(ЛС,С) = 0, если (і = о, (із)

в которых учтено, что £1 = 0 влечет = 0. В силу симметричности матриц Aj имеем

(AjС, С) = (AjС,С) - (Ajnn) + 2i(Ajnс) •

Если n1 = 0, то для произвольного вектора С Є S1(n) из (12) следует условие (8). Пусть n1 = 0, тогда в силу условия (12) либо С1 = 0 и имеем условие (9), либо С1 = 0, тогда из (13) следует условие (10). Таким образом, условие n = (0,n2,n3) Є D описывается соотношениями (9) и (10) на двух непересекающихся множествах точек С Є Sj(n), j = 1, 2. ■

На основании леммы 2 сформулируем основной результат данной работы в терминах вектора s с компонентами (6).

Теорема. Вектор n = (n1, n2, n3) Є D тогда и только тогда, когда (s, n) = 0

□ Рассмотрим подробнее условия (8)-(10) леммы 2.

Покажем, что при n1 = 0 условие (8) равносильно тому, что либо v = [A1n, n] = 0, либо

|v|2(A1n, n) = (A1v, v), v = 0 • (14)

Пусть v = 0, то есть n является собственным вектором матрицы A1. Рассмотрим сна-

чала случай, когда

(«2 — Лб)2 + (аз + а4)2 = 0 • (15)

Обозначим через Ао и А± собственные значения матрицы A1. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид

det(A — A) = (А — 2«1)(А2 + 2(а6 — а1)А — 4а1аб — (аз + а4)2 — (а2 — аб)2) = 0 •

и, следовательно, собственные значения выражаются равенствами

Ао = 2а1, А± = а1 — аб ± Д ,

где А = \J(а-! + Q'g)2 + (q'5 — Q'2)2 + (а3 + Q'4)2, при этом, в силу (15), имеем А_ < А0 < А+.

Рассмотрим ортонормированный базис е0 и е± собственных векторов матрицы A1, отвечающих собственным значениям А0 и А±. Непосредственно можно убедиться, что ео = vo/|vo|, е± = v±/|v±|, где

vo = (0, аз + а4, а5 — а2), v± = (—а1 — аб ± Д, а5 — а2, —аз — а4) • (16)

Если п = е+, то для любого £ = ж_е_ + ж0е0, х2 + Х0 = 1, условие (8) принимает

можно показать, что (8) выполнено и для п = е_. Если п = е0, то (8) нарушено, так как не выполнено условие п1 = 0.

Рассмотрим теперь второй случай, когда условие (15) не выполнено, то есть когда а3 + а4 = а2 — а5 = 0. В этом случае собственные значения Л0, Л± и отвечающие им собственные векторы е0, е± матрицы А1 определяются равенствами

а е_, е+ - произвольный ортонормированный базис в плоскости х1 = 0.

Для п = е_, п = е+ не выполнено условие п1 = 0, поэтому остается рассмотреть п = е0. В этом случае для любого £ = ж_е_ + е+, ж2 + = 1, условие (8) равносильно

соотношению ж2Л_ + Л+ = Л0 или а1 + = 0, и, в силу леммы 1 всегда выполнено.

Пусть теперь V = 0, то есть множество 51(п) состоит из двух элементов ±^/|^|. Подставляя £ = ±v/|v| в неравенство (8) получим соотношение (14).

Перейдем теперь к рассмотрению условий (9) и (10) леммы 2. Покажем, что при выполнении (15) вектор п £ Ф тогда и только тогда, когда

В предположении (15) рассмотрим сначала условие (9) леммы 2. Пусть сначала V = [А1п, п] = 0, тогда для любого £ = ±V/1V| имеем £1 = 0, и, следовательно, условие (9) не выполнено. Пусть теперь V = 0, то есть п является собственным вектором матрицы А1. В силу (16) остается рассмотреть п = е0. Тогда для любого £ = ж_е_ + ж+е+, ж2 + = 1,

вектор п £ Ф тогда и только тогда, когда

где (е±)1 означают первые компоненты векторов е±. Последние соотношения несовместны, так как

и, следовательно, ж_(е_)1 + (е+)1 = 0. Таким образом п £ Ф равносильно п = е0.

можно проверить непосредственно. Поскольку |£| = 1, имеем (Ai£,£) = 2ai — 2(а + ae)£i-

вид (А1£, £) = (А1е+, е+) или ж2Л_ + ж2Л0 = Л+, и, в силу (15), выполнено. Аналогично

Aq — —2аб, Л± — 2ai, eo — (1, 0, 0),

пз(аз + а4) = п2(а5 — а2), 2(а2 — аб)п2пз = (аз + «4)(n| — nj). (17)

x2Л- + х+Л+ = Л0, при x-(e-)1 + (e+)1 = 0 ,

Пусть теперь условие (15) не выполнено, то есть а3 + а4 = а2 — а5 = 0. Тогда условие (9)

С учетом этого (9) примет вид (а1 + аб)£2 = 0, и, следовательно, выполнено, поскольку числа а1 + а6, а2 — а5, а3 + а4 одновременно в нуль не обращаются.

Рассмотрим теперь условия (10). Предположим сначала, что выполнено условие (15). Пусть £ = (£2, £з), п = (п2,п3) означают единичные векторы и рассмотрим диагональный блок матрицы А2

4 / 2а5 — а3 — а4

А 2 =

у —аз — а4 2а2

Так как в нашем случае £1 = п1 = 0, то условие (10) можно переписать в форме

(А24, 4) = (^^2n, п) при (^Г2n, 4) = (п, 4) = 0 . (18)

Если А24 и п линейно независимы, то из (18) следует £ = 0, что невозможно. Поэтому 4 должен быть собственным вектором матрицы А2. Характеристическое уравнение этой матрицы

(4 — 2а5)(4 — 2а2) — (аз + а4)2 = 0

имеет корни

А± = а2 + а5 ± \/(а2 + аб)2 + (а3 + а4)2 ,

и, в предположении (15), имеем 4+ = 4_.

Пусть 4_ и 4+ означают ортонормированный базис собственных векторов матрицы А1, отвечающих собственным значениям 4±. Тогда возможны два случая. Если 4 = 4+, то £ = 4_ и (18) равносильно 4+ = 4_. Аналогично рассматривается случай 4 = 4_. Поэтому, в предположении (15) условия (10) всегда выполнены. Таким образом, вектор п £ Ф равносильно тому, что векторы А24 и 4 коллинеарны.

В случае а2 = а5, а3 + а4 = 0, условия (18) легко проверить непосредственно. В этом случае матрица А42 скалярна и (18) принимает вид

2а2(£2 + £2 — п2 — п3) = 0 , £2п2 + £3п3 = 0 •

Поскольку £| + £2 = п2 + п2 = 1, условия (18) нарушены.

В действительности рассмотренные выше случаи сводятся к одному условию (в, п) = 0. Покажем сначала, что условия п1 = 0, V = 0 и (в,п) = 0 равносильны. Для этого выпишем компоненты векторного произведения V = [А1п, п] в терминах в = (sj)

V! = —п1[в,п]1, V2 = пз(в,п) — п1[в,п]2 , Vз = — ^(в,п) — пф,п]з , (19)

где [в,п^-, ] = 1, 2, 3 означают компоненты векторного произведения [в,п]. Предположим противное, то есть (в,п) = 0. Тогда из (19) следует, что [в,п^ = 0. Так как п £ Б, то система равенств (в,п) = 0, [в,п] = 0 несовместна. Последнее означает, что (в,п) = 0.

Обратимся теперь к условию (14). Непосредственной проверкой можно убедиться, что для любого £ £ Б имеет место (А1£,£) = —2£1(в,£) + 2а1. По условию п1 = 0, так что с учетом предыдущего замечания и выражения для v1 в (19), условие (14) перепишем в виде

|V|2(в, п) = (взп2 — в2пз)(в, V) •

Последнее неравенство, с учетом того, что (в, V) = (в, п)(в2п3 — в3п2), примет вид

(в, п) (| V|2 + (в2пз — взп2)2) = 0 •

По условию V = 0, так что имеем (в, п) = 0.

Рассмотрим теперь условие (17), которое в наших обозначениях примет вид

взпз = —в2п2, 2в2п2пз = вз(п2 — п3) , в2 + в3 = 0, п = 0 •

и покажем, что оно равносильно (в, п) = 0. Предположим противное, то есть (в, п) = 0, или в2п2+в3п3 = 0. Так как по условию компоненты п2, п3 одновременно в нуль не обращаются, то можно считать п2 = 0. Тогда в2 = — в3п3/п2 и (17) равносильно в2 = в3 = 0, что противоречит условию (15). Последнее завершает доказательство теоремы. В

Литература

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.И. Бицадзе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

2. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II // Comm. Pure Appl. Math. - 1964. - 17. - P.35-92.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. - М.: Наука, 1968. - 432с.

ABOUT THE SHAPIRO-LOPATINSKII CONDITION IN THE RIEMANN-GILBERT PROBLEM OF THE FIRST ORDER ELLIPTIC SYSTEM V.A. Polunin, A.P. Soldatov

Belgorod State University,

Pobedy st., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The Shapiro-Lopatinski condition of boundary problems is reexamined for the threedimensional analogue of the Koshi-Riemann system. It is the condition that provides the solvability of the Riemann-Gilbert problem of first-order elliptic systems with partial derivatives and it consists of the additional restriction of the boundary condition matrix. In present work it is obtained the criterion allowing to describe the Shapiro-Lopatinski condition in the explicit form. It is done in terms of the boundary condition matrix and the vector being normal to the boundary surface.

Key words: the problem of Riemann-Gilbert, the condition of Shapiro-Lopatinski, system of

Moisil-Theodoresco, elliptic systems, scope problems.