CC BY
34
УДК 517. 926.2
О КОРРЕКТНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ БИЦАДЗЕ СО СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ И ОКРУЖНОСТЬЮ
Н.Р. Раджабов*, А.Б. Расулов**
^Таджикский национальный государственный университет, ул.Рудаки,17, Душанбе, 734019, Таджикистан, e-mail: [email protected];
**Московский энергетический институт, ул. Красноказарменная, 14,111250, Москва, e-mail: [email protected]
Аннотация. Для эллиптической системы второго порядка с сверхсингулярной окружностью найдено интегральное представление решения и соответствующие формулы обращения. Полученные интегральные представления могут быть применены в исследовании поведения решений при r R, а также в исследовании граничных задач.
Ключевые слова: эллиптическая система, интегральные представления, сверхсингуляр-ная окружность, задачи типа Дирихле.
1. Введение
Пусть D - круговая область с радиусом R, центром в начале координат, ограниченная замкнутым контуром dD. Далее, пусть De = D \ d£, где d£ = {z : R - є |z| R}. В области Dє рассмотрим систему уравнений со сверхсингулярной окружностью д D = {z : |z| = R}:
д^му^ J ^+ (_1J_j С^ + 3U1
dx2 dxdy dy2 (r _ r)n dx dy (R _ r)n dx dy
4 C У 4f (x y)
+ (R _r)2n bi(x-y)UJ(x-y)+(-1)Jb2(x,y)U3_j(x,y) = (Rj_ r)2n , j =1,2; (1)
где U1(x,y) и U2(x,y) - искомые функции, коэффициенты ak(x,y), bk(x,y) e C 1(Du L) ограничены в начале координат, fk(x,y) e C 1(D0 u L), k = 1,2, n e R+ = (0, oo), r = |z|. Вводим обозначения U(z) = U(x,y) + iU(x, y), 2d? = dx + idy,
a1 (x, y) + ia2(x, y) = a(z) = eieao(z); b1 (x, y) + ib2(x, y) = b(z) = e2iebo(z);
elke = cos ke + i sin ke , k = 1, 2; Є = arg z ; a0(z) = a0(x, y) + ia2(x, y);
bo(z) = b0(x,y)+ ib0(x,y).
Тогда система (1) эквивалентна следующей системе уравнений со сверхсингулярной окружностью и с оператором Бицадзе
д2 U a(z) dU b(z) f (z)
L2n U = ^2 +
dz2 (R _ r)n
dz + (R _ r)2n U = (R _ r)2n ’
Уравнение (1) при n < 1 называется уравнением со слабой особенностью, при n = 1 - уравнением с сингулярной окружностью, а при n > 1 - уравнением со сверхсингу-лярной окружностью. Еще 1948г. А.В._Бицадзе [1] доказал некорректность постановки задачи Дирихле для уравнения d2U/dz2 = 0, которая, в настоящее время, носит его имя. В вещественном форме эта задача принимает вид
U1xx — U1 yy — 2U2xy = 0 I 2U1xy + U2xx — U2yy = 0 .
Непосредственной проверкой легко убедиться, что при любом целом положительном n функции
( n-1 rn+1 ( n-1 rn+1
U1n(x, y) = r -"RT cos(n - 1)ф, U2n(x,y)= - --RT sin(n - 1)Ф
являются регулярными решениями системы, исчезающими на границе D.
Существенный вклад в развитие таких и общих эллиптических систем с регулярными коэффициентами внес А.П. Солдатов [7,8]. Модифицированное уравнение Бицадзе с добавленными младшими производными в случае регулярных коэффициентов было исследовано также Р.С. Саксом [9,10], Н.Е. Товмасяном [11] и другими. Существует класс систем эллиптических уравнений с регулярными, а также сингулярными коэффициентами, для которых обычные постановки краевых задач (задача Дирихле, Неймана и др.) являются некорректными. Поэтому возникает естественный вопрос: какие соображения должны быть положены в основу корректности краевых задач для таких систем? На возможную практическую ценность обобщенной системы Коши-Римана обращали внимание А. Пуанкаре, Д. Гильберт и другие математики. Развивая их идеи, И.Н. Ве-куа [3] построил теорию обобщенных аналитических функций. Все основные положения теории обобщенных аналитических функций перенесены для эллиптических систем с сингулярной точкой
iu+az) и + Mz) ,т=fz)
0Z - - и = - '
Л.Г. Михайлов [3] и З.Д.Усманов[6], развивая эту теорию, показали практическую значимость такого рода систем. Н.Р. Раджабовым впервые исследованы уравнения со сверхсингулярными коэффициентами [4] и уравнения с более сложной геометрией сингулярности (например, с сингулярной окружностью). В [5] Н.Р. Раджабовым исследовано задачи типа Римана-Гильберта для системы уравнений с сингулярной точкой и окружностью:
2
Дц + aü (x,y) dUS + bjs(x,y) dUS + cij (x,y) Us = fj (x,y) 1 j n
31
5=1 (К - г)г Эх ' (К - г)г Эу ' (К - г)2г2 (К - г)2г2
В нашей совместной работе [12] в области рассмотрена следующая система Э^ + А1 (и) Эп-1 W + + Ап _ f ф
3zn a(z)z + b(z) dzn-1 (a(z)z + b(z))n (a(z)z + b(z))n
где Ак(г), к _Т7к - аналитические функции, а(г) и Ь(г) - некоторые полиномы от комплексного переменного z, a(z) _ 0, f (z,z) - комплекснозначная функция переменных г и г, W (г) _ и (х,у)+ iV (х, у). Для этой системы в областях, содержащих сингулярное многообразия Е+, Е-, Е0, найдены интегральные представления решений, содержащие произвольные аналитические функции переменного г, и исследовано граничных задач типа Шварца, линейного сопряжения, Римана - Гильберта и др. Далее, нами исследованы эллиптические уравнения второго порядка:
Э2и + а(г) Эи + Ь(г) у + с(г) ц-_ ОД
Э^2 гп Эг Г2п г2п г2п ’
и третьего порядка:
Э3_и + а(г) + ь(г) Эи + с(г) и + - ад
Э^з гп Эг2 г2п Эг г3п г3п г3п ’
со сверхсингулярной точкой г _ 0, где и (г) _ и1(х,у) + 1и2(х,у), причем и2(х,у) и
и1(Х’У) - искомые функции, коэффициенты ак(х,у) и Ьк(х,у), ск(х,у) е С 1(D и L) ограничены в начале координат, ^(х,у) е иоср0 и L), к _ 1,2, п е К+ _ (о, то), г _ |г|. р
Результаты исследований уравнений со сверхсингулярной точкой опубликованы в работах [12-21].
Оказалось, что для корректности указанных задач мало традиционных условий на границе области; нужны дополнительные условия на границе некоторого оператора от решений. В данном случае, т.е. для уравнения (1), эти условия вызваны наличием сингулярной окружности гг _ К2 и ее характером (сингулярностью и сверхсингулярностью). Для построения соответствующего граничного оператора используется информация о решении, полученная с помощью анализа его интегрального представления. В полученных интегральных представлениях четко выделена особая часть решений, которая позволяет легко изучить поведение решений при г К. Изучено влияние сверхсингу-
лярной окружности к разрешимости краевых задач и выяснена корректная постановка ряда граничных задач типа Дирихле и Римана-Гильберта.
2. Интегральные представления и граничные задачи для система Бицадзе с сверхсингулярной окружностью
Через А] ^) = е|9Х°^), j = 1,2 обозначим корни определяющего уравнения
А2^) + а^)А^) + Ьф = 0; (2)
при этом А?^) - корни квадратного уравнения А2^) + а0^)А^) + Ь0^) = 0. Как показывает дальнейшее исследование, кратность корней определяющего уравнения (2) и тип сингулярностей (слабая сингулярность при п < 1, сингулярность при п =1 и сверхсингулярность при п > 1) играют большую роль в структуре решений системы (1) и их интегральных представлений.
Задача типа Дирихле й1. Требуется найти решение уравнение (1) (при п > 1) из
класса С2(Э) п С(D и ЭЭ) при следующих граничных условиях:
2
Ре ехр(-Ша^)+ Wa(z)) LфU = д^),
2 ээ
Ре exp(-Wф(z))и = g2(t); д^) е С(ЭЭ), к = 1,2; (3)
ээ
t е ЭЭ ,
где Lф = Э- - фф,
м м 2ас(К)
(1 - п)(К - г)п-1 ’
Wф(z) = П ^ ,
п \ - z
о
Wa(z) = ■! «" ^>+ а(К» «.
по Я- Р+л2 «^)
Задача типа Дирихле й2. Требуется найти решение уравнения (1) (при п = 1) из класса С2(Э) п С(Э и L) при следующих граничных условиях:
2 С
Ре (К - И)^ ^ - ^ и = д1 (t),
2 д- (К - Г) эо
Ре exp(Wф(z))и = д2(0; gk(t) еС(дЭ), к = 1,2;
ээ
t е ЭЭ .
(4)
Задача типа Гильберта (в) Требуется найти решения уравнение (1) (при п > 1) из класса С2(Э) такие, что exp(-Wф^))и (z), exp(-мa(z) + Wa(z)) LфU е С°,а(О) и удовлетворяющие2на границе Э О условиям
Ре (^ (t) - 1Ь1 а)) exp(-Ma(t) + Wa(t)) LфU (z) = д1 (t),
2 ЭО (5)
Ре ^2^) - iЬ2(t)) exp(Wф(t)) и (t) = g2(t),
ээ
где ak(t), Ьк(^, дк(t), к = 1,2-заданные функции, удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем а.
Решение задачи й1.
Теорема 1. Пусть в уравнении (1) при п > 1, функции a°(z) е С 1(1Э), корни определяющего уравнения (2) являются различными и функции a(z) и Ь^) между собой связаны при помощи формулы
Ьф = -(К - 0^)^) + (К - г)пф^)), (6)
где ф^) - аналитическая функция. Пусть, кроме того, Re а0^) > 0;
Х20^) + ао(К) Ну ^ —г)\ у>п- 1 , (7)
_________ —2п
ехр(—ша (z)) К— х2 + у2 f (z) е ирсф) , р> 2.
Тогда любое решение уравнения ¿1) из класса С2^) представимо в виде
Ч
.......................(z) 1 exp (W<p(Z) -Wa(Z) + Ma(Z)) x
U (z) = exp (-W,,(z)) V(z) - - -------------z---------------x
Г Di 1
x |Ф(/) 1 exp(-Ma(t)+ Wa(t)) f (t)dt dZ
x L^(Z) -n --------------=-------n--------J dZ I .
nd R- lf+ n? (t-Z) ’
(8)
где 0(z) и Y(z) - произвольные аналитические функции комплексного переменного z.
Теорема 2. Пусть в уравнение (1) n > 1, функция a0(z) е C 1(D), корни определяющего уравнения (2) являются различными, функции a(z) и b(z) между собой связаны при помощи формулы (6) и выполнено условие (7). Кроме того, пусть Re a0(z) > 0 и f (z) = o((R - r)2n-1) при r ^ R. Тогда любое решение уравнения (1) из класса C?<D) представимо в виде
ч U (z) = exp(-W<p(z)) x г -] 1
1 exp (Wcp(Z) - Wa(Z) + Ma(Z)) I 1 exp (-Ma(t) + Wa(t)) f (t)dt | dZ ‘
I _______ 2n I dZ ’
L*(z) nd z ПD R- i? + n? (t-Z) J
(9)
где Y(z) - произвольная аналитическая функция комплексного переменного z.
Теорема 3. Пусть в уравнение (1) n > 1, a0(z) удовлетворяет условиям теоремы 1, a(z) и b(z) связаны соотношением (6) и выполнены условия (7), y > n -1. Пусть, кроме того, Re a0(z) = 0 и функция f (z) е C(D), причем f (z) = o((R - r)Y1), y1 > 2n - 1 при r R, т.е. имеет место
f (z) = O((R-r)Y1), y1 > 2n - 1 . (10)
Тогда любое решение уравнения (1) из класса C?(D) представимо в виде (3), где 0(z)
и Y(z) - произвольные аналитические функции комплексного переменного z.
Теорема 4. Пусть коэффициенты уравнения (1) и его правая часть удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда интегральное представление (8) обратимо. Соответствующие аналитические функции 0(z) и_Ф^) находятся единственным образом внутри
области D через значение U(z) и dU/dz при помощи формул :
ич/ Л (dU . ... ... . . . .. 1 exp(-Ma(Z)+ Wa(Z)) f (Z )AY
0(z) = -^= -9(z)U exp (Wa (z) -Ma(z))^- —!^-------------------------- n dZ, (11)
dz nD (Z-z) R- F+v2
Ф(г) = и (г) ехр ^ф(z)) +1 ехр(^и«)—) + Ма(р_) х
пв (С — г) к— р+тр
!фК) — П ехр( — “а(1)+ Ша2П)) f(t)dtJ Я. (12)
" К— ?+Г ^ — 0
Теорема 5. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда задача й1 разрешима единственным образом, и её решение даётся при помощи формулы (9), в которой
аналитические функции ф(г) и Ф(г) соответственно определяются формулами:
1 £ + 2
Ф<2>=м ) (13)
!^1=к
Ф(г) (14)
2п1 £ — г ;
при | г | < Л, где дк^), к = 1,2-известные функции.
Аналогичные теоремы получены о разрешимости задачи й2.
О разрешимости задачи в для уравнения (1) имеет место следующая
Теорема 6. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Если к 0, s = 1,2, то задача в разрешима, и её решение содержит к! + к2+2 произвольных постоянных. Если к1 0,
к2 —2, то для разрешимости задачи в для уравнения (1), необходимо и достаточно
выполнение !к2 | — 2 условий разрешимости:
2п
еШ1(а)д^а^|к^а = 0, к =0,1,—к2 — 1.
0
Если к2 0, к1 —2, то для разрешимости задачи в, необходимо и достаточно выпол-
нение !к1 | — 2 условий разрешимости:
2п
е“1(а)д^а^|к(^а = 0, к =0,1,—к1 — 1.
0
3. Интегральные представления и граничные задачи для системы с оператором Бицадзе со сверхсингулярной точкой и окружностью
Пусть D0 - односвязная область, содержащая внутри себя точку г = 0, ограниченная замкнутым контуром дD. Пусть, далее, D = D0 \{0и ЭD}, Dg = D ^£, где ¿£ = ¿°£^£, причем ¿0 = {г : |г| £} и ¿1£ = {г : Л — £ |г| Л}. В области D£ рассмотрим систему
02У (а(г) Ь(г) дУ с(г) f (г)
I 2М = ——— + _ — и = — , (15)
Lп дг2 гп (Л —г)п дг г)п гп(Л г)п к '
гп(Л
где а(г), Ь(г), с(г) - заданные комплекснозначные функции, п е Л+ = (0, оо). Пусть в системе (1) п > 1, функция Ь(г) е С 1(г) и функции а(г) = гпф(г), Ь(г) и с(г) связаны между собой при помощи формулы с(г) = Ь(г)гпф(г), где ф(г) - аналитическая функция.
Задача типа Дирихле й3. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2(Э) п С<D и {0} и ЗЭ) при следующих граничных условиях:
2
Ре ехр(—шь(г) + Wb(z)) 1фУ = g1<t),
2 зэ
Ре exp(—Wф(г>>и = д2(^; gk(t> е С(дЭ), к = 1,2; (16)
зэ
t е ЗЭ ,
где Lv = 3f - 9(z);
м (z) - 2b°(R)
b( ) (n - 1)rn-1 ’
W,(z) - -1
П Z - z
D
Wb(z) - П e" (X2(Z) -b°(R)) dz.
nD R- F+F (Z-z)
Для системы Бицадзе с сверхсингулярной точкой и окружностью (15) найдено интегральное представление решения и соответствующие формулы обращения. Полученные интегральные представления позволяет исследовать поведение решений при r 0 и r - |z| ^ R. Получено утверждение, также о корректности постановке граничной задачи D3.
Литература
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / М.: Наука, 1981. — 448 с.
2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. - М.: Наука, 1988. - 510 с.
3. Михайлов Л.Г. Новые классы особых интегральных уравнений и их применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Душанбе: ТаджикНИ-ИНТИ, 1963. - 183 с.
4. РаджабовН.Р. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных сосверхсингулярными коэффициентами / Душанбе: Изд-воТГУ, 1992. — 23б с.
5. Rajabov N.R. Integral representations and boundary value problems for some second order linear elliptic systems with regular and singular coefficients // in: Complex Analysis and applications 87/ P.431-441.
6. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой/Душанбе: Изд. АН Тадж. ССР, 1993. - 244 с.
7. Солдатов А.П. Эллиптические системы второго порядка в полуплоскости // Изв. РАН. -2006. - 70;6. - С. 161-192.
8. Солдатов А.П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. I. Гладкий случай // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1991. - 55:5. - С.1070-1100.
9. Сакс Р.С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений / Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1975.
10. Сакс Р.С. О задаче Дирихле для эллиптической системы А.В. Бицадзе с младшими производными / Дифф. уравнения. - 1971. - 7. - С.121-134.
11. Товмасян Н.Е. Об устранимых особых точках эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости / Матем. сб. - 1979. - 108(150);1. - С.22-31.
12. Раджабов Н.Р. Расулов А.Б. Интегральные представление и граничные задачи для одного класса систем дифференциальных уравнений эллиптического типа с сингулярным многообразием //Дифференц. уравнения. Минск. - 1989. - 25;7. - С.1279-1981.
13. Расулов А.Б. Интегральные представление для одной системы второго порядка со сверх-сингулярной точкой // Дифференциальные уравнения, Минск. - 2004. - 40;8. - С.1133-1138.
14. Расулов А.Б. Задача Римана в полуокружности для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной линией//Дифференциальные уравнения, Минск. -2004. - 40;9. -С.1990 -1992.
15. Расулов А.Б. Исследование одной линейной эллиптической системы третьего порядка с внутренней сверхсингулярной точкой / Вестник МЭИ. - 2007. - 6. - С.43-48.
16. Расулов А.Б. Интегральные представления и граничные задачи для линейной эллиптической системы третьего порядка с внутренней сингулярной точкой / Вестник МЭИ. -2008. - 6.- С.103-107.
17. Расулов А.Б. Интегральные представления и граничные задачи для эллиптической системы второго порядка с сингулярной точкой//Дифференциальные уравнения. Минск. -2010. - 46;1. -С.1-7.
18. Расулов А.Б. Задачи типа Дирихле и Гильберта для эллиптических систем второго и третьего порядка с сверхсингулярной точкой // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2010. - 5(76). - С.127-134.
19. Расулов А.Б. Задачи типа Дирихле для некоторых модельных эллиптических уравнений эллиптического типа с сверхсингулярной точкой // Вестник МЭИ. - 2010. - 6. - С.47-54.
20. Расулов А.Б. Интегральные представления решений линейной эллиптической системы второго порядка с внутренней сверхсингулярной точкой // ДАН России. - 2009. - 429;6. -С.735-737.
21. Расулов А.Б.Интегральные представления и граничные задачи для линейной эллиптической системы третьего порядка с внутренней сверхсингулярной точкой // Дифференциальные уравнения. Минск. - 2011. - 47;2. - С.287-290.
ON CORRECT FORMULATION OF PROBLEMS FOR BITSADZE’s SYSTEM
WITH SUPERSINGULAR POINT AND CIRCLE N.R. Radjabov*, A.B. Rasulov**
*Tajik National State University,
Rudaki St., 17, Dushanbe, 734 019, Tajikistan, e-mail: [email protected];
** Moscow Power Engineering Institute,
Krasnokazarmennaya St., 14,111250, Moscow, e-mail: rasulov_abdu@ramble77ru
Abstract. Paper is devoted to integral representations and its inversion formulas for second order linear elliptic systems with supersingular circle. Obtained integral representations should be applied to examination of solution asymptotic behavior at r R and also to study the solution of boundary value problems.
Key words: elliptic systems, integral representations, supersingular circle, boundary value problems.
